高等數(shù)值分析作用――面積坐標(biāo)

1、 將三角形劃分為三個部分,代表整個三角形單元的面積,i 、j 、m 分別代表三角形Pjm 、Pmi 、Pij 的面積,它們分別與三角形單元的3個頂點i 、j 、m 相對應(yīng)。那么i 、j 、m 分別與的比值L i 、L j 、L m 則稱為P 點的面積坐標(biāo)。i j m L , L , L j i m =又=i +j +m ,所以L i +L j +L m =1根據(jù)面積坐標(biāo)的定義,在平行于jm 邊的直線上各點,其L i 坐標(biāo)值等于該平行線到j(luò)m 邊的距離與i 點到j(luò)m 邊的距離之比。對于平行于ij ,im 邊的直線,也有相同的性質(zhì),于是三角形單元上三個節(jié)點的面積坐標(biāo)為L i L j L m i 點

2、 1 0 0 j 點 0 1 0 m 點1經(jīng)過二維一次插值,直角坐標(biāo)和面積坐標(biāo)的關(guān)系為i j m 1L (a +b x+c y,21L (a +b x+c y, 21L (a +b x+c y2i i i j j j m m m =將(,(,(,i i j j m m i x y j x y m x y 代入上式,上式也可以推導(dǎo)為1111 i i j m j ijm m L x x x x L y y y y L =由上式可知,面積坐標(biāo)不僅把節(jié)點位移插值成內(nèi)位移,而且把節(jié)點坐標(biāo)插值成內(nèi)部坐標(biāo),這樣面積坐標(biāo)把單元的節(jié)點插值成內(nèi)部量。通過直角坐標(biāo)到面積坐標(biāo)的變換,可將三角形單元變換為直角三角形形態(tài)

3、,如下圖。 L j i采用面積坐標(biāo)分析三角形單元的另一個突出優(yōu)點,是便于形成形狀函數(shù),他可以由下列兩個條件唯一確定,即(1 形狀函數(shù)的階次和形狀與位移函數(shù)相同;(2 形狀函數(shù)N i 在節(jié)點i 其值為1,在其余的節(jié)點(i 其值為0 下面針對六節(jié)點三角形單元舉例說明面積坐標(biāo)下形狀函數(shù)的確定。i(1,0,0m(0,0,11(1/2,1/2,02(0,1/2, 1/2 3(1/2,0 , 1/2。 。 。1先求三角形頂點i ,j ,m 的形狀函數(shù)。形狀函數(shù)N i 在除了i 點之外的其余5個節(jié)點其值應(yīng)為0,顯然兩條直線j2m 和31通過這5個節(jié)點,其方程分別為i i 1L 0, L =2=這樣,構(gòu)建函數(shù)

4、i i 1L (L 2-,使其在這5個節(jié)點之值為0,又六節(jié)點三角形單元有12個自由度,位移函數(shù)u 或v 取為完全二次多項式,則形狀函數(shù)的階次與位移函數(shù)相同也取為二次。再利用N i 在節(jié)點i 之值應(yīng)為1的條件,即可得i i 12L (L 2i N =-對于直線j2m ,即L i =0時,N i =0 對于直線31,即L i =1/2時,N i =0 對于點i ,即L i =1時,N i =1同理可得,12L (L 2j j j N =-,12L (L 2m m m N =-2再來求副節(jié)點1,2,3的形狀函數(shù)。如N 1在除了1點之外的其余5個節(jié)點上其值應(yīng)為0,顯然,直線j2m 和i3m 通過這5個節(jié)點,其方程分別為i L 0, L =0j =于是,構(gòu)建函數(shù)L i L j ,使其在這些節(jié)點上的值為0,且為二次函數(shù),再利用N 1在節(jié)點1的值為1,立即可得1i 4L LjN =,24L L j m N =,34L L m i N =在點1時,即L i =1/2,L j =1/2,則1i 4L L j N =1 在點2時,即L