淺談中專數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合

1、淺談中專數(shù)學(xué)中利用“數(shù)形結(jié)合”法解題在數(shù)學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的解題思想方法，它不僅給我們的解題帶來方便，更重要的是讓我們形象的體會(huì)到數(shù)學(xué)各分支之間的內(nèi)在聯(lián)系和數(shù)學(xué)的美。在中專數(shù)學(xué)中，幾乎每一章書里都或多或少涉及了“數(shù)形結(jié)合”的思想：“集合與邏輯用語”中的“文氏圖”，“不等式”中的“利用數(shù)軸來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小”，“函數(shù)的概念和性質(zhì)”中“函數(shù)的圖像”、“一元二次函數(shù)的圖像”等，“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”中利用“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)”，“三角函數(shù)”中的“三角函數(shù)的圖像”、“解三角形”等，“數(shù)列”中“在解決實(shí)際問題的時(shí)候常常要利用到輔助圖像”；至于“平面向量”、“直線”、

2、“二次曲線”中，“數(shù)形結(jié)合”的思想就不必一一列舉了。因此掌握這種方法十分關(guān)鍵，那么如何能夠較好的運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”呢？一學(xué)會(huì)畫草圖。所謂草圖，就是能夠基本反映題目要求的圖像。例如：一元一次函數(shù)和二元一次方程就是直線，而兩點(diǎn)就能夠確定一條直線；一元二次函數(shù)就是拋物線，而頂點(diǎn)及開口方向就能基本確定一條拋物線；等等。例1 判斷反比例函數(shù)在（0，+）上的單調(diào)性。0 xy解析：在直角坐標(biāo)系中畫出反比例函數(shù)在（0，+）上的草圖：所以，反比例函數(shù)在（0，+）上是減函數(shù)。當(dāng)然，草圖越精確就越有利于解題。因此：二草圖要畫得基本準(zhǔn)確。所謂基本準(zhǔn)確，就是說圖像要能較好的反映題目的要求。例如：畫函數(shù)的草圖，那么要求能夠

3、通過圖像直接反映出函數(shù)的增減性、奇偶性（對(duì)稱性）、極值、與x軸的交點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)等等；又如，在同一直角坐標(biāo)系中，有兩個(gè)或兩個(gè)以上的圖像時(shí)，它們之間的交點(diǎn)位置、上下左右關(guān)系等，都要在圖像中清楚明了，這樣才有利用比較。例2 設(shè)，求。此題可以通過解一元二次方程組來解，通過聯(lián)立兩個(gè)方程與，解出，立刻得到。-1 0 1 1.5 2 xy210.5-1但是我們也可以用“數(shù)形結(jié)合”法來解：在同一直角坐標(biāo)系中畫出直線與的圖像， 兩條直線的交點(diǎn)為（1.5，0.5），所以。例3 判斷直線與圓的位置關(guān)系。此題可以通過解二元二次方程組來解，通過聯(lián)立兩個(gè)方程與，如果方程組無解，那么直線與圓相離；如果方程組有一組解，那

4、么直線與圓相切；如果方程組有兩組解，那么直線與圓相交。但是解二元二次方程組對(duì)于許多中專生來說并不是一件容易的事，因此我們考慮用“數(shù)形結(jié)合”法來解：-2 -1 0 1 2 xy21在同一直角坐標(biāo)系中畫出直線與圓的圖像：直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，因此直線與圓相切。三利用“數(shù)形結(jié)合”，要學(xué)會(huì)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)。例4 判斷方程的解的個(gè)數(shù)。解法1：考慮到一元二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為方程的解的個(gè)數(shù)； ，一元二次函數(shù)是開口方向是向上，頂點(diǎn)為：的拋物線；0 xy畫一元二次函數(shù)的草圖：從圖像可以看出一元二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，因此方程有兩個(gè)解。解法2：把方程進(jìn)行變形，得：，考慮到一元二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為方程的解的個(gè)數(shù)； 一元二次函數(shù)是原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向上的拋物線；-2 0 xy2畫一元二次函數(shù)和直線的草圖：從圖像可以看出一元二次函數(shù)與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，因此方程有兩個(gè)解。上例可以看出，由相同的方程可以構(gòu)造出的不同函數(shù)，不會(huì)影響到結(jié)果。但是如果構(gòu)造的函數(shù)適當(dāng)?shù)脑挘梢越o數(shù)形結(jié)合思想帶來很大的方便和簡(jiǎn)潔。例5 判斷方程的解的個(gè)數(shù)。分析：考慮到函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為方程的解的個(gè)數(shù)，但是，要畫出函數(shù)的圖像并不是一件容易的事，所以先把方程進(jìn)行變形，得：，再考慮函數(shù)與的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。解：把方程進(jìn)行變形，得：，畫出函數(shù)與的草圖