2021年江蘇高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第8章第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1、i第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系最新考綱1能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系2 能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題 3 初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.必備知識(shí)填充1. 判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1) 三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.(2) 兩種研究方法:口 相交得-=次方程圓心到直線的距離為&半徑為丁dvr?相交，弦長(zhǎng) 1= 2 . r2-d2d= r? 相切d r?相離2. 圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓 Oi： (x ai)2+ (y- bi)2= ri(ri0),圓 02： (x- a2)2+ (y- b2)2=

2、 r2(r20).位置關(guān)系幾何法：圓心距 d 與 ri, r2的 關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離dri+ r2無(wú)解外切d = ri+ r2一組實(shí)數(shù)解相交Iri r2ldri+ r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d = Iri r2|(ri工 r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0 d|ri r2(ri工 r2)無(wú)解護(hù)密底獨(dú)也坍.課前自主幾何法2常用結(jié)論31. 當(dāng)兩圓相交(切)時(shí)，兩圓方程(x2, y2項(xiàng)的系數(shù)相同)相減便可得公共弦(公 切線)所在的直線方程.2.圓的切線方程常用結(jié)論過(guò)圓 x2+ y2= r2上一點(diǎn) P(xo, yo)的圓的切線方程為 xox + yoy= r2(2) 過(guò)圓(x- a)2

3、+ (y- b)2=r2上一點(diǎn) P(xo, yo)的圓的切線方程為(xo a)(x a)2+ (yo b)(y b) = r .(3) 過(guò)圓 x2+ y2= r2外一點(diǎn) M(xo, yo)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為 xox+ yoy= r2學(xué)情自測(cè)驗(yàn)收:一、思考辨析(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)(1) 如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切.()(2) 如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.()(3) 從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.()(4) 過(guò)圓 0: x2+ y2=r2外一點(diǎn) P(xo, yo)作圓的兩條

4、切線，切點(diǎn)分別為 A，B， 則 0, P, A, B 四點(diǎn)共圓且直線 AB 的方程是 xox+ yoy= r2()答案(1)X(2)X(3)X V二、教材改編1 .若直線 xy+1 = o 與圓(x a)2+ y22 有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是()A. 3, 1B . 1,3C.3,1D.(,3U1, +)4C 由題意可得，圓的圓心為(a,o)，半徑為.2,5|a 0+ 1| li -W：J2,即 |a+ 1|w2,解得一 3waw1.-12+ - 122圓(x+ 2)2+ y2= 4 與圓(x 2)2+ (y- 1)2= 9 的位置關(guān)系為()A 內(nèi)切B 相交C 外切D 相離B 兩圓圓

5、心分別為(-2,0)，(2,1)，半徑分別為 2 和 3，圓心距 d=42+ 12=17./ 3-2d(1)一題多解直線 I: mx y+ 1 -0 與圓 C： x2+ (y_1)2= 5 的位置關(guān)系是()A 相交B 相切C相離D不確定(2)若直線 x+ my= 2+ m 與圓 x2+ y2 2x 2y+ 1= 0 相交，則實(shí)數(shù) m 的取值 范圍為()A.( x,+x)C.(0,+x)D.( x,o)u(0,+x)圓(x 3)2+ (y 3)2= 9 上到直線 3x+4y 11 = 0 的距離等于 1 的點(diǎn)的個(gè)數(shù)mx y+ 1 m= 0,(1)AD (3)C (1)法一：(代數(shù)法)由22x2+

6、 y 12= 5,消去 y,整理得(1 + m2)x2 2m2x+ m2 5 = 0,因?yàn)? 16m2+ 200,所以直線 I 與圓相交.法二：(幾何法)圓心(0,1)到直線 I 的距離 d =1/5.故直線 I 與圓/m2+ 1相交.法三：(點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法)直線 l: mx y+ 1 m= 0 過(guò)定點(diǎn)(1,1), 點(diǎn)(1,1) 在圓 C： x2+(y 1)2= 5 的內(nèi)部，二直線 l 與圓 C 相交.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 1)2+ (y 1)2= 1,圓心 C(1,1),半徑 r = 1因?yàn)橹本€與|1 + m2 m|圓相交，所以 d=0 或 mr 或 dvr 建立關(guān)于參數(shù)的等式或不等

7、式求解；(2)圓上的點(diǎn)到直線距離為定值的動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題多借助數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解.臉琢 1已知點(diǎn) M(a, b)在圓 O： x2+ y2= 1 夕卜，則直線 ax+ by= 1 與圓 0 的位置關(guān)系是()A 相切D .不確定B 因?yàn)?M(a, b)在圓 0: x2+ y2 1 夕卜，所以 a2+ b2 1,而圓心 0 到直線1ax+ by 1 的距離 d-v1所以直線與圓相交.A/a2+ b22.若直線 I: x+ y m 與曲線 C: y：1 x2有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則 m 的取值范圍是_1 ,2)畫(huà)出圖象如圖，當(dāng)直線 I 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A, B 時(shí)，m 1,此時(shí)直線 I 與x2有兩個(gè)

8、公共點(diǎn)；當(dāng)直線 I 與曲線相切時(shí)，m ”，因此當(dāng) K m0)截直線 x+ y= 0 所得線段的長(zhǎng)度 是2 2，則圓 M 與圓 N : (x 1)2+ (y 1)2= 1 的位置關(guān)系是()A .內(nèi)切B .相交C.外切D .相離2 2x + y 2ay= 0,B 由得兩交點(diǎn)為(0,0), ( a, a).x+ y= 0,圓 M 截直線所得線段長(zhǎng)度為 2 2, ：a? + a 2= 2.2.又 a0,10圓 M 的方程為 X + y2 4y= 0,即 x2+ (y 2)2= 4,圓心 M(0,2),半徑 ri= 2.又圓 N: (x 1)2+ (y 1)2= 1,圓心 N(1,1),半徑 r2= 1

9、,|MN|=0 12+ 2 12= .2. r1 r2= 1, r1+ r2= 3,1|MN|4,點(diǎn)M在圓 C 外部.當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為 x= 3,即 x 3 = 0.又點(diǎn) C(1,2)到直線 x 3 = 0 的距離 d= 3 1 = 2= r,即此時(shí)滿足題意，所以直線 x= 3 是圓的切線.當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y1 = k(x 3),即 kx y + 1 3k= 0,|k 2+ 1 3k|3則圓心 C 到切線的距離 d=r = 2,解得 k=：.詔 k2+13 4E/5(1)圓的切線問(wèn)題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建3 切線方程為 y 1= 4(

10、x 3), 即卩 3x 4y 5= 0.綜上可得，過(guò)點(diǎn)M的圓 C 的切線方程為 x 3 = 0 或 3x 4y 5= 0.|MC|=3 12+ 1 22= 5,過(guò)點(diǎn) M 的圓 C 的切線長(zhǎng)為jMC|2 r2= 5 4= 1.當(dāng)切線為 x= 3 時(shí)，切線長(zhǎng)為 1.12立關(guān)系解決問(wèn)題；(2)過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的 切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過(guò)程是否正確外，還要考慮斜 率不存在的情況，以防漏解.旳比藥 由直線 y= X+ 1 上的動(dòng)點(diǎn) P 向圓 C： (x 3)2+寸=1引切線，則切 線長(zhǎng)的最小值為()A. 1B . 2 2C.7D . 3C 如圖，切線

11、長(zhǎng)|PM|= , |PC|21,顯然當(dāng)|PC|為 C 到直線 y=x+ 1 的距上I1: 2 弦長(zhǎng)問(wèn)題矗強(qiáng)弦長(zhǎng)的 2 種求法(1) 代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程.在判別式0 的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng).(2) 幾何方法：若弦心距為 d,圓的半徑長(zhǎng)為 r，貝 U 弦長(zhǎng) I 二 2 r2 d2.FJU 啜設(shè)圓 x2+ y2 2x 2y 2= 0 的圓心為 C，直線 I 過(guò)(0,3),且與圓 C 交于 A，B 兩點(diǎn)，若 AB| = 23,貝 U 直線 I 的方程為()A.3x+ 4y 12 = 0 或 4x 3y+ 9= 0B.3x+ 4y

12、12= 0 或 x = 0C.4x 3y+ 9 = 0 或 x= 0D.3x 4y+ 12 = 0 或 4x+ 3y+ 9= 013(2)(2018 全國(guó)卷I)直線 y= x+ 1 與圓 x2+ y2+ 2y 3 = 0 交于 A, B 兩點(diǎn)，則|AB|=_ .(1)B (2)2 2 (1)當(dāng)直線 I 的斜率不存在時(shí)，直線 I 的方程為 x= 0,聯(lián)立方x= 0，x= 0，x= 0,程得22得或L -AB|= 2 3x2+y22x2y2=0，y=1/3y=1+3，符合題意.當(dāng)直線 I 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 I 的方程為 y= kx+ 3，圓 x2+ y22x 2y 2 = 0,即(x 1)2+

13、 (y 1)2= 4,其圓心為 C(1,1),圓的半徑 r = 2,圓心C(1,1)到直線 y = kx+ 3 的距離 d=k：+3|=|k：21,d2+ 愕1 2= r2,寸 k2+1彳 k2+12=0.綜上，直線 I 的方程為 3x + 4y 12= 0 或 x= 0.故選 B.(2)由題意知圓的方程為 x2+ (y+ 1)2= 4,所以圓心坐標(biāo)為(0, 1),半徑為 2, 則圓心到直線 y=x+ 1 的距離 d=2 = 2,所以|AB| =222 J22= 2.2E-5 求圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為-1 列方程來(lái)簡(jiǎn)化

14、運(yùn)算.提醒：對(duì)于已知弦長(zhǎng)求直線方程的問(wèn)題，常因漏掉直線斜率不存在的情形致誤，如本例(1).詡遁(2019 太原一模)已知在圓 x2+ y2 4x+ 2y= 0 內(nèi)，過(guò)點(diǎn) E(1,0)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是 AC 和 BD，貝 U 四邊形 ABCD 的面積為()A. 3 5B. 6 5C. 4.15D.2 15k+ 22k2+1+ 3= 4,解得k=-3,3直線 I 的14D 將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x 2)2+ (y+ 1)2= 5,圓心坐標(biāo)為 F(2,1),半徑 r = .5,如圖，顯然過(guò)點(diǎn) E 的最長(zhǎng)弦為過(guò)點(diǎn) E 的直徑，即 AC| = 2 5,而過(guò)點(diǎn) E 的最短弦為垂直于 EF 的弦,

15、|BD|=2?r2-|EF|2=2 3,S四邊形ABCD=1|AC|X|BD|=2 15.E 向活直線與圓的綜合問(wèn)題蠹辭直線與圓的綜合問(wèn)題的求解策略(1) 利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問(wèn)題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn) 題，通過(guò)代數(shù)的計(jì)算，使問(wèn)題得到解決.(2) 直線與圓和平面幾何聯(lián)系十分緊密，可充分考慮平面幾何知識(shí)的運(yùn)用.啜 已知直線 1: 4x+ 3y+ 10= 0,半徑為 2 的圓 C 與 I 相切，圓心 C 在 x 軸上且在直線 I 的右上方.(1) 求圓 C 的方程；(2) 過(guò)點(diǎn) M(1,0)的直線與圓 C 交于 A，B 兩點(diǎn)(A 在 x 軸上方)，問(wèn)在 x 軸正半 軸上是否存在定

16、點(diǎn) N,使得 x 軸平分/ ANB?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) N 的坐標(biāo)；若不 存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5|4a+10|解(1)設(shè)圓心 C(a,0) a-，則5 = 2? a = 0 或 a=-5(舍)所以圓 C: x2+ y2= 4.(2)當(dāng)直線 AB 丄 x 軸時(shí)，x 軸平分/ ANB.15當(dāng)直線 AB 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 AB 的方程為 y= k(x- 1)，N(t,0)，A(x1,y1)，B(X2，y2)，16得，(/+ 1)x2 2k2x+ k24 = 0,V1V2若 x 軸平分/ ANB，貝 U kAN= kBN?+= 0?X1 t X2 t2 k2 4 2k2t+ 12X1X2 (t+ 1)(X1+ X2)+ 2t= 0?22+ 2t = 0? t= 4,k2+ 1k2+ 1所以當(dāng)點(diǎn) N 為(4,0)時(shí)，能使得/ANM=ZBNM 總成立.E，-本例是探索性問(wèn)題，求解的關(guān)鍵是把幾何問(wèn)題代數(shù)化，即先把條件“X 軸平分/ ANB”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“直線斜率的關(guān)系：kAN= kBN”，然后借助方程思想求解.教師備選例題如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知以M為圓心的圓M: X2+ y212X14y+ 60 = 0 及其上一點(diǎn) A(2,4).(2)設(shè)平行于 OA