第五節(jié)：空間曲線及其方程ppt課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 空間曲線及其方程空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程 二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 四、小結(jié)四、小結(jié) 練習(xí)題練習(xí)題 0),(0),(zyxGzyxF稱為空間曲線的一般方程稱為空間曲線的一般方程 曲線上的點(diǎn)都同時(shí)曲線上的點(diǎn)都同時(shí)滿足兩個(gè)方程，同時(shí)滿足滿足兩個(gè)方程，同時(shí)滿足兩個(gè)方程的點(diǎn)都在曲線上，兩個(gè)方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程滿足兩個(gè)方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點(diǎn)：特點(diǎn)：一、

2、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程例例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線為橢圓交線為橢圓.例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圓柱面圓柱面,交線如圖交線如圖. )()()(tzztyytxx空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程xyzoL),(zyxM 若動(dòng)點(diǎn)若動(dòng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)

3、的坐標(biāo) x , y , z 均可均可表示為參數(shù)表示為參數(shù) t 的函數(shù)的函數(shù)動(dòng)點(diǎn)從動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò) t 時(shí)間，時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，設(shè) M ( x , y , z ) MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間取時(shí)間t為參數(shù)，為參數(shù)，解解xyzoA螺旋線的參數(shù)方程變?yōu)槁菪€的參數(shù)方程變?yōu)?bzayaxsincos vbt ,令令重要性質(zhì)：重要性質(zhì)：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比即上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距,2 時(shí)時(shí)

4、當(dāng)當(dāng) ,costax ,sintay vtz 上升高度為上升高度為 ： b解：解：,cos x)26(31yxz 例例2：將曲線：將曲線 6321:22yzxyxL表示為參數(shù)方程形式表示為參數(shù)方程形式xyzo 如圖，曲線為一圓柱面如圖，曲線為一圓柱面與一平面的交線。與一平面的交線。 M),(zyx M )0 ,(yx,sin y)sincos26(31 sin31cos322sincos:zyxL 20 0),(0),(zyxGzyxFL消去變量消去變量z后得：后得：）（10),( yxH曲線關(guān)于曲線關(guān)于 的投影柱面的投影柱面xoy設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線以此空

5、間曲線 L 為準(zhǔn)線，母線垂直于所投影的坐標(biāo)面為準(zhǔn)線，母線垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的特征：投影柱面的特征：三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影方程方程1表示一個(gè)母線平行于表示一個(gè)母線平行于 z 軸的柱面。軸的柱面。且曲線且曲線 L 上的所有點(diǎn)都在該柱面上。上的所有點(diǎn)都在該柱面上。投影柱面與投影柱面與 xoy 面的交線稱為曲線面的交線稱為曲線 L 在在 xoy 面上的面上的投影曲線，簡(jiǎn)稱投影。投影曲線，簡(jiǎn)稱投影。類(lèi)似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影類(lèi)似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲線面上的投影曲線,yoz面

6、上的投影曲線面上的投影曲線,xoz 00),(zyxH所以空間曲線所以空間曲線 L 在在 xoy 面上的投影曲線方程為面上的投影曲線方程為 0),(0),(zyxGzyxFL消去變量消去變量z后得：后得：）（10),( yxH曲線關(guān)于曲線關(guān)于 的投影柱面的投影柱面xoy設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：如圖如圖:投影曲線的研究過(guò)程投影曲線的研究過(guò)程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面（2確定投影柱面與確定投影柱面與 xoy 面的交線面的交線 00),(zyxH在在 xoy 面上的投影曲線方程的一般步驟面上的投影曲線方程的一般步驟 0),(0),(zyxGzyxFL（1消

7、去變量消去變量z后得后得 xoy 面上的投影柱面：面上的投影柱面：）（10),( yxH求空間曲線：求空間曲線：即為所求投影曲線的方程即為所求投影曲線的方程例例4 4 求曲線求曲線 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影. . 211222zzyx例例4 4 求曲線求曲線 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影. . 211222zzyx解解（1消去變量消去變量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy,04322 zyxxyzo例例4 4 求曲線求曲線 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影. . 211222zzyx解解xyzo（2因?yàn)榍€在平面因?yàn)榍€在平面 上，上，21 z所以在所以

8、在 yoz 面上的投影為線段面上的投影為線段.,021 xz23| y（3同理在同理在 xoz 面上的投面上的投 影也為線段影也為線段.23|,021 xyz截線方程為截線方程為 0222zyxxzy解解（1）消去）消去z得得 xoy 面面上上的的投影投影 ,004522 zxxyyx,0042522 yxxzzx（2）消去）消去 y 得得 xoz 面上的投影面上的投影 例例5 5 求求拋拋物物面面xzy 22與與平平面面 02 zyx 的的截截線線在在三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的投投影影曲曲線線方方程程.截線方程為截線方程為 0222zyxxzy解解（3）消消去去x得得 yoz 面面上上的的

9、投投影影 .00222 xzyzy四、空間曲面或立體在坐標(biāo)面上的投影四、空間曲面或立體在坐標(biāo)面上的投影. . M),(zyx M )0 ,(yxSDxyzo稱區(qū)域稱區(qū)域 D 為為空間曲面空間曲面 S在在 xoy 面上面上的投影。的投影。上述概念可推廣到空間立體在坐標(biāo)面上投影的情形上述概念可推廣到空間立體在坐標(biāo)面上投影的情形. .空間立體空間立體曲面曲面四、空間曲面或立體在坐標(biāo)面上的投影四、空間曲面或立體在坐標(biāo)面上的投影. .例例6解解半球面和錐面的交線為半球面和錐面的交線為 , )(3,4:2222yxzyxzCxyzo面面上上的的投投影影為為在在則則交交線線xoyC . 0, 122zyx面

10、上的投影為面上的投影為所求立體在所求立體在 xoy. 122 yx.,)(322面上的投影面上的投影求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成xoyyxz 和和由由上上半半球球面面設(shè)設(shè)一一個(gè)個(gè)立立體體224,yxz 空間曲線的一般方程、參數(shù)方程空間曲線的一般方程、參數(shù)方程四、小結(jié)四、小結(jié)空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT習(xí)題75: 5, 7, 8 第七章作業(yè)第七章作業(yè)第五節(jié)：空間曲線及其方程第五節(jié)：空間曲線及其方程思考題思考題 求求橢橢圓圓拋拋物物面面zxy 222

11、與與拋拋物物柱柱面面zx 22的的交交線線關(guān)關(guān)于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和和在在xoy面面上上的的投投影影曲曲線線方方程程.思考題解答思考題解答,22222 zxzxy交線方程為交線方程為消消去去z得得投投影影柱柱面面 , 122 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy.0122 zyx一、一、 填空題：填空題：1 1、 曲面曲面zyx10922 與與yoz平面的交線是平面的交線是_；2 2、 通過(guò)曲線通過(guò)曲線162222 zyx, ,0222 yzx，且，且 母線平行于母線平行于y軸的柱面方程是軸的柱面方程是_；3 3、 曲線曲線01, 0332322 zyzxyzzx在在 xoz

12、平面上的投影方程是平面上的投影方程是_；4 4、 方程組方程組 3215xyxy在平面解析幾何中表示在平面解析幾何中表示_；5 5、 方程組方程組 319422yyx在平面解析幾何中表示在平面解析幾何中表示_ _ _，在空間解析幾何中表示，在空間解析幾何中表示_；練練 習(xí)習(xí) 題題6 6 、旋轉(zhuǎn)拋物面、旋轉(zhuǎn)拋物面22yxz ( (40 z) ) 在在xoy面的投影為面的投影為_(kāi)， 在在yoz面的投影為面的投影為_(kāi)， 在在zox面上的投影為面上的投影為_(kāi)._. 二二、 畫(huà)畫(huà)出出下下列列曲曲線線在在第第一一卦卦限限的的圖圖形形： 1 1、 0422yxyxz 2 2、 222222azxayx 三三

13、、 將將曲曲線線 xyzyx9222化化為為參參數(shù)數(shù)方方程程 四、四、 求螺旋線求螺旋線 bzayaxsincos在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程的直角坐標(biāo)方程 . .五、五、 求 由 上 半 球 面求 由 上 半 球 面222yxaz , , 柱 面柱 面022 axyx及平面及平面0 z所圍成的立體，在所圍成的立體，在xoy面和面和xoz面上的投影面上的投影 . .一、一、1 1、 09102xzy； 2 2、1623 ,1632222 zxzy；3 3、 0032422yxzx；4 4、兩直線的交點(diǎn)、兩直線的交點(diǎn), ,兩平面的交線；兩平面的交線；5 5、橢圓與其