第二節(jié)數(shù)列的極限ppt課件

1、1第一次作業(yè)P21,22 ( 2.3.7.10.11.12)第二次作業(yè) P30 1, 2,3 (2) (4) , 4,5,6第三次作業(yè) P56 4 (1) , (3)提示: 4 (3) 222nx12nx可用數(shù)學(xué)歸納法證 2nx第三節(jié) 預(yù)習(xí)預(yù)習(xí) ：第三節(jié)：第三節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限2 第一章 三、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、收斂數(shù)列的性質(zhì) 四四* 極限存在準(zhǔn)那么極限存在準(zhǔn)那么 一、數(shù)列復(fù)習(xí)一、數(shù)列復(fù)習(xí)二、數(shù)列極限的定義二、數(shù)列極限的定義第二節(jié)第二節(jié)數(shù)列的極限數(shù)列的極限3這個(gè)概念貫衣著整個(gè)高等數(shù)學(xué)，并在數(shù)學(xué)的其它領(lǐng)域中起重要作用.高等數(shù)學(xué)的許多根本概念都是用極限概念來(lái)表示的, 如微分、積分等都可用極限來(lái)

2、描繪,因而掌握極限的概念和運(yùn)算很重要。極限概念是由求某些實(shí)際問(wèn)題的準(zhǔn)確解答而產(chǎn)生的。 變量的變化有各種各樣的情況，有一類(lèi)變量是經(jīng)常遇到，這就是它在變化的過(guò)程中逐步趨向于相對(duì)也就是說(shuō)它在變化的過(guò)程中無(wú)限的接近于某一確定的常數(shù)。穩(wěn)定的狀態(tài), 極限概念是高等數(shù)學(xué)中最根本的概念,4“割之彌細(xì)，所失彌少，割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以致于不可割之又割，以致于不可割，那么與圓周合體而割，那么與圓周合體而無(wú)所失矣無(wú)所失矣播放播放劉徽劉徽,nAAAA321S正六邊形的面積 A 1正十二邊形的面積 A 2nnA邊形的面積正126R1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：一、數(shù)列一、數(shù)列52 2、數(shù)列的定義、數(shù)列的定義依次排

3、列的無(wú)窮多個(gè)數(shù)：, 3, 2, 1nxxxx稱(chēng)為數(shù)列， 其中每一個(gè)數(shù)稱(chēng)為數(shù)列的項(xiàng)，第 n 項(xiàng) xn稱(chēng)為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)， 下標(biāo)), 2 , 1(nn表示數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。nx或), 2 , 1(nxn依照一定的法那么，定義定義1數(shù)列簡(jiǎn)記為6可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取nxxxx, 3, 2, 11x4x3x2xnx數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列,說(shuō)明：數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)2,nnx如 , 2, 1nnfxnx( )2 ,xf xxN73、 數(shù)列的性質(zhì)1 有界性有界性設(shè)知數(shù)列,nx則假設(shè)存在 M 0 , 對(duì)于一切 n 都有Mxn那么稱(chēng)數(shù)列nx是有界的；否那么，稱(chēng)數(shù)列 nx是無(wú)界的。例如：數(shù)列例如：數(shù)列nnnnn1

4、2,1,11都是有界的， 而數(shù)列nn21是無(wú)界的。8( 2 單調(diào)性單調(diào)性nxxxx321那么稱(chēng)此數(shù)列是單調(diào)減少的。單調(diào)增加或單調(diào)減少的數(shù)列，統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)數(shù)列,例如:1nn是單調(diào)增加數(shù)列;n1是單調(diào)減少數(shù)列其特點(diǎn)是 數(shù)列的點(diǎn)作定向挪動(dòng)：?jiǎn)卧鱿蛴遥?單減向左。反之假設(shè)那么稱(chēng)此數(shù)列是單調(diào)增加的；假設(shè)nx的項(xiàng) xn 隨著項(xiàng)數(shù) n 的增大而增大，即滿(mǎn)足nxxxx3219 數(shù)列 的子列 nx 關(guān)于子列的腳標(biāo)有三點(diǎn)規(guī)定:;,kknnkk 即即knx(2) 子列的序號(hào)不是 ,而是 k ,knknx表示是子列的第 k 項(xiàng), 是原數(shù)列的第 項(xiàng);knkn(1) 子列序號(hào)形成的數(shù)列是嚴(yán)格單調(diào)上升的,在數(shù)列 中依次任意抽

5、出無(wú)窮多項(xiàng): nx12,knnnxxx12()knnn其下標(biāo)所構(gòu)成的新數(shù)列knx叫做數(shù)列 nx 的子數(shù)列.4. 數(shù)列的子數(shù)列數(shù)列的子數(shù)列(3),kknkkn 因此一定有.10r二、數(shù)列極限的定義二、數(shù)列極限的定義引例引例1.設(shè)有半徑為 r 的圓 ,nA迫近圓面積 S .n如下圖 , 可知nAnnnrcossin2),5,4,3(n當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí), nA無(wú)限迫近 S (劉徽割圓術(shù)) . 用其內(nèi)接正 n 邊形的面積11之半，如此分割下去問(wèn)：共去棒長(zhǎng)多少？解：解：01214181把所去之半排列起來(lái)：21221321n21此是公比為的等比數(shù)列引例引例2第一次去其一半, 第二次再去所余“一尺之棰，日

6、截其半，萬(wàn)世不竭一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭021n一尺之棒，21q共去棰長(zhǎng)nns2121212n211)211 (21n1n21112注：等比數(shù)列的前注：等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和的公式項(xiàng)和的公式設(shè)等比數(shù)列na前n 項(xiàng)的和為S n ,即nnaaaS21根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式， 上式可以寫(xiě)成：上式兩邊同時(shí)乘以q 有：上1式兩邊分別減去2式的兩邊得：) 1 (112111nnqaqaqaaSnnqaaSq11)1 ()2(131211nnqaqaqaqaqSqqaSnn1)1 (11q當(dāng)時(shí)13引例引例3nxnn11. 1111. 4nnxnnx2. 3n 當(dāng)時(shí)0nx2nxnxnx在1 與 1 之間跳動(dòng)

7、觀察可見(jiàn)：nx的變化趨勢(shì)只要兩種： 不是無(wú)限地接近某個(gè)確定的常數(shù)，就是不接近于任何確定的常數(shù)。由此， 得到數(shù)列極限的定義如下：觀察以下數(shù)列的變化趨勢(shì):1212.nnnxn ( 1)2nn14定義定義2假設(shè)當(dāng) n時(shí)，一般項(xiàng)無(wú)限地接近于某個(gè)那么稱(chēng) A 為數(shù)列nx的極限，記作Axnnlim或)(nAxn(讀作 n 無(wú)限變大時(shí),nx無(wú)限接近于常數(shù)A .假設(shè)當(dāng) n時(shí)，不接近于任何確定常數(shù)A ,nx確定的常數(shù) A ,nxnx那么稱(chēng)數(shù)列沒(méi)有極限。1501lim1nnnnnnn112lim而11nnxnnx2無(wú)極限我們稱(chēng)有極限的數(shù)列為收斂數(shù)列，無(wú)極限的數(shù)列為發(fā)散數(shù)列。212(lim1nnn例如例如16.) 1

8、(11時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列nnn為了準(zhǔn)確的反映nx接近 a 的水平與 n 之間的關(guān)系,17.) 1(11時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列nnn18.) 1(11時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列nnn19.) 1(11時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列nnn20.) 1(11時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列nnn21.) 1(11時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列nnn22.) 1(11時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列nnn23.) 1(11時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列nnn24.) 1(11時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列nnn25.) 1(11時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列nnn26.) 1(11時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列nnn27.) 1(11時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列nnn28直

9、觀上說(shuō)明：直觀上說(shuō)明：當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列無(wú)限接近“ 1，但它永遠(yuǎn)達(dá)不到 1。 無(wú)限增大無(wú)限增大 無(wú)限接近無(wú)限接近1與與 的的距距離離越越來(lái)來(lái)越越小小，nx1nx 即即越越來(lái)來(lái)越越小小，10 ().nxn 或或，. nn越來(lái)越大, 即1),(1nnxn 29( 1)111nnxn 如要使1110n 1()10 只要項(xiàng)號(hào) n 滿(mǎn)足10n (10)N 1nx 11100n 要使只要項(xiàng)號(hào) n 滿(mǎn)足100n 而要使11110000nxn 1()100 (100)N 110000n 故只要項(xiàng)號(hào) n 滿(mǎn)足1()10000 (10000)N 30只要項(xiàng)號(hào) n 滿(mǎn)足1n 一般，要使11nxn 1()N 一

10、般地，當(dāng)取任意小的正數(shù) ，都能說(shuō)明可以找到這樣的項(xiàng)號(hào)N, 只要位于N 項(xiàng)以后的一切項(xiàng) 即nN 事實(shí)上就 用量化方式說(shuō)清了 無(wú)限接近 a .可以nx()n 都滿(mǎn)足nxa ,31nx及常數(shù) a 有以下關(guān)系 :,0,N正整數(shù)當(dāng) n N 時(shí), 總有記作此時(shí)也稱(chēng)數(shù)列收斂 , 否那么稱(chēng)數(shù)列發(fā)散 .axan)( Nn即),(axn)( Nnaxnnlim或)(naxnaxn那么稱(chēng)該數(shù)列nx的極限為 a ,假設(shè)數(shù)列為準(zhǔn)確的反映nx接近 a 的水平與 n 之間的關(guān)系，有定義定義332假設(shè)不存在這樣的定數(shù)a,那么說(shuō)數(shù)列 沒(méi)有極限,nx或說(shuō)數(shù)列 發(fā)散，nx也說(shuō) 不存在.limnnx 刻畫(huà) 與a可以無(wú)限接近的水平,n

11、x1)正數(shù) 是“任意給定的，“可以任意??；|nxa 被滿(mǎn)足的時(shí)刻，指明對(duì)給定的正數(shù)，2)正整數(shù)N = N( ) “N 不唯一、“N 依 而定、“N 可大不可小.但是一旦給出之后,它就是確定了;33|nxa 3) 絕對(duì)值不等式 那么說(shuō)明 與a可以無(wú)限接近.nx,()naxanN 1x2x2Nx1Nx3x2aaxa121,.NNxxxx 當(dāng)n N 所有的點(diǎn) 都將落在nx內(nèi)，(,)aa而此區(qū)間外至多只要有限個(gè)點(diǎn)即的幾何意義:limnnxa 4)即xn有沒(méi)有極限, 主要看“后面的無(wú)窮多項(xiàng).345 數(shù)列極限的定義通常是用來(lái)進(jìn)展推理和證明極限,而不是用來(lái)求極限,因?yàn)檫@里需要預(yù)先曉得極限值是多少.35例例1

12、. 知知,) 1(1nxnn證明數(shù)列nx的極限為1. 證證: 1nx1) 1(1nnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因而 , 取, 1N那么當(dāng)Nn 時(shí), 就有1) 1(1nn故1) 1(limlimnnxnnnn36例例2. 設(shè)設(shè),1q證明等比數(shù)列,112nqqq證證:0nx01nq0 ,欲使,0nx只要,1nq即(1)lnln,.nq（不妨設(shè)（0,1）亦即因而 , 取qNlnln1, 那么當(dāng) n N 時(shí), 就有01nq故0lim1nnqln1lnnq 的極限為 0 . 1nq37例例3. 知知,) 1() 1(2nxnn證明.0limnnx證證:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1

13、n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要1,1n即n取11 ,N那么當(dāng)Nn 時(shí), 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由21(1)0nnx11 .N 與 有關(guān), 但不唯一.不一定取最小的 N .說(shuō)明說(shuō)明: 取11N38231223limnnn證：證：231223nnaxn10n ，只要1N取10323212NnnNn 則對(duì)， 存在，當(dāng)時(shí) 恒有成立231223limnnn例例4 4 求證求證1221n121nn1n39說(shuō)明：用定義證明數(shù)列極限的步驟 1) 化簡(jiǎn)axn必要時(shí)適當(dāng)?shù)胤糯?) 用倒推法得到與n有關(guān)的一系列不等式的函數(shù)）僅是）中不

14、含（）（, nn n3)=取 N（）40三、三、 收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)1. 極限的唯一性2. 收斂數(shù)列的有界性3. 收斂數(shù)列的保號(hào)性4. 收斂數(shù)列與其子序列間的關(guān)系41ab證證: 用反證法用反證法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax從而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使當(dāng) n N2 時(shí), 有1. 收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng) n N1 時(shí), 2ba2ab2ab假設(shè),2abnbx從而2banx23ba22abnabax2banx22abnabbxnbax223ab4223ba22ab

15、nabax2banx22abnabbxnbax223ab矛盾.因而收斂數(shù)列的極限必唯一.那么當(dāng) n N 時(shí), ,max21NNN 取故假設(shè)不真 !nx滿(mǎn)足的不等式43例例5. 證明數(shù)列證明數(shù)列),2, 1() 1(1nxnn是發(fā)散的. 證證: 用反證法用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂 , 那么有唯一極限 a 存在 .取,21那么存在 N ,2121axan但因nx交替取值 1 與1 , ),(2121aa內(nèi),而此二數(shù)不可能同時(shí)落在21a21aa長(zhǎng)度為 1 的開(kāi)區(qū)間 使當(dāng) n N 時(shí), 有因而該數(shù)列發(fā)散 .nx442. 收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界.證證: 設(shè)設(shè),limaxnn取,1,N那么當(dāng)Nn 時(shí)

16、, 從而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1那么有. ),2,1(nMxn由此證明收斂數(shù)列必有界.說(shuō)明說(shuō)明: 此性質(zhì)反過(guò)來(lái)不一定成立此性質(zhì)反過(guò)來(lái)不一定成立 . 例如,1)1(n雖有界但不收斂 .aaxn)(, 1axn有數(shù)列453. 收斂數(shù)列的部分保號(hào)性收斂數(shù)列的部分保號(hào)性假設(shè),limaxnn且0a,NN則Nn 當(dāng)時(shí), 有0nx, )0(. )0(證證: 對(duì) a 0 , 取,2aN則,時(shí)當(dāng)Nn axn2anx02aaax2a2a推論推論: 假設(shè)數(shù)列從某項(xiàng)起0nx,limaxnn且0a則)0(. )0(用反證法證明)46*,axkn4. 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限收斂數(shù)列的任

17、一子數(shù)列收斂于同一極限 .證證: 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列knx是數(shù)列nx的任一子數(shù)列 .假設(shè),limaxnn那么,0,N當(dāng) Nn 時(shí), 有axn現(xiàn)取正整數(shù) K , 使,NnK于是當(dāng)Kk 時(shí), 有knKnN從而有由此證明 .limaxknk*NKnNxKnx471假設(shè)數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx發(fā)散 !那么原數(shù)列一定發(fā)散 .即原數(shù)列不收斂, 但可以有收斂的子列說(shuō)明說(shuō)明: 由此性質(zhì)可知由此性質(zhì)可知 483) 定理中的 結(jié)論仍成立.(:)aor ， 那么原數(shù)列 一定發(fā)散.nx2假設(shè) 有一個(gè)子列發(fā)散, nx1111 ,3 ,

18、5,246如數(shù)列： 49四、極限存在準(zhǔn)那么四、極限存在準(zhǔn)那么(P50)1. 夾逼準(zhǔn)那么; 2. 單調(diào)有界準(zhǔn)那么;3. 柯西準(zhǔn)那么* 50azynnnnlimlim)2(1. 夾逼準(zhǔn)那么夾逼準(zhǔn)那么 (準(zhǔn)那么準(zhǔn)那么1),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim證證: 由條件 (2) ,010,N當(dāng)1Nn 時(shí),ayn當(dāng)2Nn 時(shí),azn令,max21NNN 那么當(dāng)Nn 時(shí), 有,ayan,azan由條件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn20,N 51例例6. 證明證明11211lim222nnnnnn證證: 利用夾逼準(zhǔn)那利用夾逼準(zhǔn)那么么 .nnnnn2221211nnn

19、2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由522. 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限 ( 準(zhǔn)那么準(zhǔn)那么2 ) ( P52) Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 證明略 )ab只給出幾何解釋?zhuān)褐唤o出幾何解釋?zhuān)?3例例7. 設(shè)設(shè), ),2, 1()1 (1nxnnn證明數(shù)列nx極限存在 . (P53)證證: 利用二項(xiàng)式公式利用二項(xiàng)式公式 , 有有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nn

20、nnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n5411nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又比較可知55根據(jù)準(zhǔn)那么 2 可知數(shù)列nx記此極限為 e ,ennn)1 (lim1 e 為無(wú)理數(shù) , 其值為590457182818284. 2e即有極限 .11)1 (1nnnx

21、!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n56故極限存在，例例8 8 設(shè) )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：設(shè)Axnnlim那么由遞推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,01x故axnnlim利用極限存在準(zhǔn)那么,0nx57例例9. 設(shè)設(shè), ),2, 1(0iai證證: 顯然,1nnxx證明數(shù)列)1 ()1)(1 ()1)(1 (12121211nnaaaaaaaaanx),2, 1(n有極限.即nx單調(diào)增, 又nkkknaaax11)1 ()1 (1111a1(1