高數(shù)第一講函數(shù)及函數(shù)的極限ppt課件

1、引引 言言一、什么是高等數(shù)學(xué)一、什么是高等數(shù)學(xué) ?初等數(shù)學(xué) 研究對象為常量, 以靜止觀點(diǎn)研究問題.高等數(shù)學(xué) 研究對象為變量, 運(yùn)動(dòng)和辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)和辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù).有了變數(shù) , 運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué) ,有了變數(shù) , 微分和積分也就立刻成為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)生. 恩格斯恩格斯笛卡兒 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1. 分析基礎(chǔ): 函數(shù) , 極限, 連續(xù) 2. 微積分學(xué): 一元微積分(上冊)(下冊)3. 向量代數(shù)與空間解析幾何4. 無窮級數(shù)5. 常微分方程主要內(nèi)容主要內(nèi)容多元微積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、如何學(xué)習(xí)高

2、等數(shù)學(xué)二、如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué) ?1. 認(rèn)識高等數(shù)學(xué)的重要性, 培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣.2. 學(xué)數(shù)學(xué)最好的方式是做數(shù)學(xué).聰明在于學(xué)習(xí)聰明在于學(xué)習(xí) , 天才在于積累天才在于積累 .學(xué)而優(yōu)則用學(xué)而優(yōu)則用 , 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng)學(xué)而優(yōu)則創(chuàng) .由薄到厚由薄到厚 , 由厚到薄由厚到薄 .馬克思馬克思 恩格斯恩格斯要辨證而又唯物地了解自然 ,就必須熟悉數(shù)學(xué).一門科學(xué), 只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才能達(dá)到真正完善的地步 .第一節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 華羅庚華羅庚給出了幾何問題的統(tǒng)一笛卡兒笛卡兒 (15961650)法國哲學(xué)家, 數(shù)學(xué)家, 物理學(xué)家, 他 是解析幾何奠基人之一 . 1637年他發(fā)表的論文分析了幾何學(xué)

3、與 代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn), 進(jìn)而提出了 “ 另外 一種包含這兩門科學(xué)的優(yōu)點(diǎn)而避免其缺點(diǎn)的方法”, 從而提出了解析幾何學(xué)的主要思想和方法, 恩格斯把它稱為數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn).把幾何問題化成代數(shù)問題 ,作圖法,華羅庚華羅庚(19101985)我國在國際上享有盛譽(yù)的數(shù)學(xué)家.他在解析數(shù)論,自守函數(shù)論,高維數(shù)值積分等廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中,程,都作出了卓越的貢獻(xiàn) ,發(fā)表專著與學(xué)術(shù)論文近 300 篇.偏微分方多復(fù)變函數(shù)論,矩陣幾何學(xué), 典型群,他對青年學(xué)生的成長非常關(guān)心, 他提出治學(xué)之道是 “ 寬, 專, 漫 ”, 即基礎(chǔ)要寬, 專業(yè)要專, 要使自己的專業(yè)知識漫到其它領(lǐng)域. 1984年來中國礦業(yè)大學(xué)視察時(shí)給給師生題詞:

4、“ 學(xué)而優(yōu)則用, 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng) ”.第一講分析基礎(chǔ)分析基礎(chǔ) 函數(shù)函數(shù) 極限極限 連續(xù)連續(xù) 研究對象 研究方法 研究橋梁函數(shù)及函數(shù)的極限 第一講 一、鄰域一、鄰域第一節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 函數(shù)二、函數(shù)二、函數(shù)三、復(fù)合函數(shù)三、復(fù)合函數(shù)四、初等函數(shù)四、初等函數(shù)一、鄰域一、鄰域 (其中其中 為大于為大于 0 的常的常數(shù)數(shù))的一切的一切 x，稱為點(diǎn)，稱為點(diǎn) x0 的的d 鄰域，記作鄰域，記作 U( x0 , d ). 0 xx滿足不等式滿足不等式它的幾何意義是：以它的幾何意義是：以 x0 為中心，為中心，d 為半徑的為半徑的開區(qū)間開區(qū)間 (x0 - d , x0 + d) ，即，即 x0

5、- d x x0 + d ，如圖如圖 (a)所示所示 .對于不等式對于不等式 0 | x - x0 | 0,1當(dāng) x = 0,0當(dāng) x 0,1xyo11取整函數(shù)xy 當(dāng)Znnxn,1,nxyo134212機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第一講 二二 、函數(shù)的極限、函數(shù)的極限 一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限第二節(jié)第二節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 極限的概念極限的概念r一一 、數(shù)列的極限、數(shù)列的極限引例引例. 設(shè)有半徑為 r 的圓 ,nA逼近圓面積 S .n如下圖 , 可知nAnnnrcossin2),5,4,3(n當(dāng) n 無限增大時(shí), nA無限逼近 S (劉徽割圓術(shù)) , 用其內(nèi)接正

6、n 邊形的面積劉徽 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定義定義: :按自然數(shù)順序排列的一串?dāng)?shù)稱為數(shù)列,記作)(nfxn或.nxnx稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng)) .若數(shù)列nx及常數(shù) a 有下列關(guān)系 : n 無限增大時(shí),它的一般項(xiàng)記作此時(shí)也稱數(shù)列收斂 , 否則稱數(shù)列發(fā)散 .幾何解釋 :aaa)(axnnlim或)(naxn1Nx2Nxnx則稱該數(shù)列nx的極限為 a ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定義定義: :如果數(shù)列的項(xiàng)數(shù)如果數(shù)列的項(xiàng)數(shù)無限趨近于某個(gè)確定的常數(shù) a ,例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2n

7、nnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢不定收 斂發(fā) 散機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 常見的數(shù)列極限：常見的數(shù)列極限：.limCCn)001lim（nn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )1(q0lim1nnq 1.并非任何數(shù)列都有極限值3. 數(shù)列無限趨近于極限值的方式是多種多樣的 axnnx2. a但不一定取到極限值4.若不存在的原因是: 當(dāng)時(shí),無限增大.nnx的極限為無窮大,記為nx為方便此時(shí)也稱.limnnx說明說明:1. 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則 (準(zhǔn)則準(zhǔn)則1) azynnnnlimlim)2(),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁

8、 下頁 返回 完畢 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則; 柯西審斂準(zhǔn)則 .2. 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限 ( 準(zhǔn)則準(zhǔn)則2 )Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 證明略 )ab機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx

9、!21!31!1n又比較可知機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 劉徽劉徽(約約225 295年年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家. 他撰寫的對中的方法和公式作了全面的評 注, 指出并糾正了其中的錯(cuò)誤 , 在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué) 理論上作出了杰出的貢獻(xiàn) . 他的 “ 割圓術(shù) ” 求圓周率 “ 割之彌細(xì)割之彌細(xì) , 所失彌小所失彌小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 ,則與圓合體而無所失矣則與圓合體而無所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精確的重要極限思想 . 的方法 :一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限 x)4(0)

10、1(xx 0)2(xx0)3(xxx)5(x)6(, )(xfy 對自變量變化過程的六種形式:二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 引例引例: 考察考察x011xx無限減小，即xy1注注:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 .10接近的圖像在水平方向無限與直線xyyoxyxy1)(x記為一、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限時(shí),函數(shù)的變化趨勢.有右圖可知：時(shí)，xx（記為）XXAAoxy)(xfy A,x定義定義1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf當(dāng))(大于某一正數(shù)時(shí)有定義,假設(shè)Axfx)(lim)(

11、)(xAxf當(dāng)或幾何解釋幾何解釋:直線 y = A 為曲線)(xfy 的水平漸近線時(shí)的極限, 記作x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 則稱常數(shù) A 為函數(shù)當(dāng)自變量的絕對值無限增大時(shí),即則相應(yīng)的函數(shù)值無限趨近于常數(shù) A, 當(dāng))(xfx1x11oyx兩種特殊情況兩種特殊情況 :直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .幾何意義幾何意義 :xxgxxf11)(,1)(例如，都有水平漸近線;0y都有水平漸近線. 1yxxxgxf21)(,21)(又如，oxyx21x21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 Axfx)(lim當(dāng)當(dāng) x 無限變大時(shí)無限變大時(shí), f ( x ) 趨向于趨向

12、于 A Axfx)(lim當(dāng)當(dāng) -x 無限變大時(shí)無限變大時(shí), f ( x ) 趨向于趨向于 A例如例如;02lim ;01lim xxxx;011lim1lim2 xxxxxx. arctanlim,2arctanlim,2arctanlim不不存存在在所所以以xxxxxx Axfx)(limAxfxfxx)(lim)(lim定理定理: :二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限)(0 xx x1. 0 xx 時(shí)函數(shù)極限的定義時(shí)函數(shù)極限的定義112xxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 引例引例: : 考察考察時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)的變化趨勢的變化趨勢.顯然，當(dāng)顯然，當(dāng) x1

13、時(shí)時(shí),函函數(shù)數(shù)1112xxxy趨向于趨向于4.定義定義2 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,數(shù) A,則稱常數(shù) A 為函數(shù))(xf當(dāng)0 xx 時(shí)的極限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf當(dāng)記作幾何解釋幾何解釋:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 極限存在函數(shù)局部有界這表明: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 如果當(dāng) x 無限接近于 x0 時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值無限逼近于 常2. 左極限與右極限左極限與右極限左極限 :)(0 xfAxfxx)(lim0右極限 :)(0 xfAxfxx)(lim0定理定理 ：Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(l

14、im00( P38 題8 )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 當(dāng)當(dāng) x 從從x0左側(cè)無限趨近于左側(cè)無限趨近于x0時(shí)時(shí), f ( x ) 趨向于趨向于 A 當(dāng)當(dāng) x 從從x0的右側(cè)無限趨近于的右側(cè)無限趨近于x0時(shí)時(shí), f ( x ) 趨向于趨向于 A 例例5. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)0,10,00, 1)(xxxxxxf討論 0 x時(shí))(xf的極限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理利用定理 3 .因?yàn)?(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1顯然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢

15、第一講 二、二、 無窮大無窮大 三三 、無窮小與無窮大的關(guān)系、無窮小與無窮大的關(guān)系 一、一、 無窮小無窮小 第三節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 無窮小與無窮大四、無窮小的比較四、無窮小的比較當(dāng)一、一、 無窮小無窮小定義定義1 . 假設(shè)假設(shè)0 xx 時(shí) , 函數(shù),0)(xf則稱函數(shù))(xf0 xx 例如 :,0)1(lim1xx函數(shù) 1x當(dāng)1x時(shí)為無窮小;,01limxx函數(shù) x1x時(shí)為無窮小;,011limxx函數(shù) x11當(dāng)x)x(或?yàn)闀r(shí)的無窮小 .時(shí)為無窮小.)x(或機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 說明說明: 除除 0 以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小

16、! 0 xx 時(shí)時(shí) , 函數(shù)函數(shù),0)(xf(或 )x則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf為為0 xx 定義定義1. 假設(shè)假設(shè)(或 )x那么那么時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 稱某個(gè)變量是無窮小量時(shí)稱某個(gè)變量是無窮小量時(shí),必須指明自變量必須指明自變量的變化過程的變化過程.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理 1. 有限個(gè)無窮小有限個(gè)無窮小(當(dāng)當(dāng) x x0 或或 x 時(shí)時(shí))的代數(shù)和仍然是無窮小量的代數(shù)和仍然是無窮小量 .定理定理 3. 有界函數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量有界函數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量.定理定理 2. 有限個(gè)無窮小有限個(gè)無窮小(當(dāng)當(dāng) x x0 或或 x

17、時(shí)時(shí))之積為無窮小量之積為無窮小量 .無窮小的性質(zhì)無窮小的性質(zhì)推論推論 常數(shù)與無窮小量之積為無窮小量常數(shù)與無窮小量之積為無窮小量 .oyx例例1. 求求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxxxxysin說明說明 : y = 0 是是xxysin的漸近線 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、二、 無窮大無窮大定義定義2 .若函數(shù)若函數(shù) y = f ( x ) 的絕對值的絕對值 | f ( x )| 在在 x 的某種的某種趨向下無限增大，趨向下無限增大， 則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)為無窮大,.)(lim0 xfxx)(lim

18、)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(x)(lim(xfx記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 若在若在 x 的某種趨向下，的某種趨向下，f ( x ) 恒正地?zé)o限變大恒正地?zé)o限變大,或者或者恒負(fù)，但絕對值無限變大，則記為恒負(fù)，但絕對值無限變大，則記為注意注意:1. 無窮大不是很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2. 函數(shù)為無窮大 , 必定無界 . 但反之不真 !例如例如, 函數(shù)函數(shù)),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n當(dāng)n2但0)(2nf所以x時(shí) ,)(xf不是無窮大 !oxyxxycos機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 稱某個(gè)變量是無窮大量時(shí),也必須指明自變量

19、的變化過程.例例 . 因?yàn)橐驗(yàn)?1lim1xx所以11xy假設(shè) ,)(lim0 xfxx則直線0 xx 為曲線)(xfy 的鉛直漸近線 .漸近線1說明說明:xyo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 函數(shù) 11x是當(dāng)1x時(shí)的無窮大量;.111限接近的圖像在垂直方向上無與直線xyx定義定義:三、無窮小與無窮大的關(guān)系三、無窮小與無窮大的關(guān)系假設(shè))(xf為無窮大,)(1xf為無窮小 ;假設(shè))(xf為無窮小, 且,0)(xf那么)(1xf為無窮大.那么(自證)據(jù)此定理 , 關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為 無窮小來討論.定理定理4. 在自變量的同一變化過程中在自變量的同一變化過程中,說明說明:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁

20、 下頁 返回 完畢 20sinlimxxx,xxx3lim20,0 xxx3sinlim0,31,0時(shí)xxxxsin,32都是無窮小,引例引例 .但 可見無窮小趨于 0 的速度是多樣的 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 四、無窮小的比較四、無窮小的比較,0limCkb定義定義.,0limb假設(shè)則稱 是比 高階的無窮小,)(bo,limb假設(shè)假設(shè)假設(shè), 1limb假設(shè)bb,0limCb或b,設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱 是比 低階的無窮小;則稱 是 的同階無窮小;則稱 是關(guān)于 的 k 階無窮小;則稱 是 的等價(jià)無窮小,記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 0 x時(shí),xarc

21、sinx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 x sin x， x tan x，arctan x x.11nxxn1xcos1,221xex - 1 x， ln(1 + x) x.常見的等價(jià)無窮小公式常見的等價(jià)無窮小公式定理定理1 . 設(shè)設(shè),bb且blim存在 , 那么blimb lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (等價(jià)無窮小替換原理)231x221x例例1. 求求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時(shí)當(dāng) x1)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式32機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢

22、.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 32210limxxxx例例2. 求求解解: 原式 第一講 一、一、 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則 二、二、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則 第四節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 極限運(yùn)算法則一、一、 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則,)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 1 . 假假設(shè)設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 說明說明: 定理定理 1 可推廣到有限個(gè)函數(shù)相

23、加、減、積的情可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減、積的情形形 定理定理 2 . 假假設(shè)設(shè),)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA推論推論 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 為常數(shù) )推論推論 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù) )例例1. 設(shè)設(shè) n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式,)(10nnnxaxaaxP試證).()(lim00 xPxPnnxx證證:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (詳見詳見P44)B2bB1)(1xg)(0 xx定理定理

24、3 . 假設(shè)假設(shè),)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理4. 假設(shè)假設(shè),lim,limByAxnnnn則有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(時(shí)且當(dāng)BynBAyxnnnlimBA提示提示: 因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù)因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù) ,故定理 4可得 x = 3 時(shí)分母為 0 !31lim3xxx例例2. 設(shè)有分式函數(shù)設(shè)有分式函數(shù),)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多項(xiàng)式 ,0)(0 xQ試證: . )()(lim00 xRxRx

25、x證證: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR說明說明: 假設(shè)假設(shè),0)(0 xQ不能直接用商的運(yùn)算法則 .例例3.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 假設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4. 求求.4532lim21xxxx解解: x = 1 時(shí)時(shí)3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5 . 求求.125934lim22xxxxx解解: x時(shí),分子.22111125934lim

26、xxxxx分子分母同除以,2x那么54分母“ 抓大頭抓大頭”原式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 一般有如下結(jié)果：一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 mn 當(dāng)mn 當(dāng)二、二、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理定理5. 設(shè)設(shè),)(lim0axxx且 x 滿足100 xx時(shí),)(ax 又,)(limAufau則有 )(lim0 xfxxAufau)(lim機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 說明說明: 1. 若定理中若定理中,)(lim0 xxx則類似可得

27、)(lim0 xfxxAufu)(lim2. 由此定理知復(fù)合函數(shù)的最外一層運(yùn)算與極限運(yùn)算可交換次序例例6. 求求解解: 令令.93lim23xxx932xxu知ux3lim61 原式 =uu61lim6166機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例87. 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 那么, 1lim1ux令11112uuxx1u 原式原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時(shí), 用代入法( 分母不為 0 )000)2xx 時(shí), 對型 , 約去公因子x)3時(shí) , 分子分母同除最高次冪 “ 抓大頭”(2) 復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢