(免費(fèi)下載)第六版同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)課后答案詳解

1、同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)課后答案全集第一章習(xí)題111 設(shè)A( 5(5 B10 3 寫出AB AB AB及A(AB的表達(dá)式 解 AB( 3(5 AB10 5 AB( 10(5 A(AB10 5 2 設(shè)A、B是任意兩個集合 證明對偶律 (ABCAC BC 證明 因?yàn)閤(ABCxAB xA或xB xAC或xBC xAC BC 所以 (ABCAC BC 3 設(shè)映射f X Y AX BX 證明(1f(ABf(Af(B (2f(ABf(Af(B 證明 因?yàn)閥f(ABxAB 使f(xy(因?yàn)閤A或xB yf(A或yf(Byf(Af(B 所以 f(ABf(Af(B (2因?yàn)閥f(ABxAB 使f(xy(因?yàn)閤A且xB

2、 yf(A且yf(B y f(Af(B所以 f(ABf(Af(B 4 設(shè)映射f XY 若存在一個映射g YX 使 其中IX、IY分別是X、Y上的恒等映射 即對于每一個xX 有IX xx 對于每一個yY 有IY yy 證明 f是雙射 且g是f的逆映射 gf 1 證明 因?yàn)閷τ谌我獾膟Y 有xg(yX 且f(xfg(yIy yy 即Y中任意元素都是X中某元素的像 所以f為X到Y(jié)的滿射 又因?yàn)閷τ谌我獾膞1x2 必有f(x1f(x2 否則若f(x1f(x2g f(x1gf(x2 x1x2 因此f既是單射 又是滿射 即f是雙射 對于映射g YX 因?yàn)閷γ總€yY 有g(shù)(yxX 且滿足f(xfg(yIy

3、yy 按逆映射的定義 g是f的逆映射 5 設(shè)映射f XY AX 證明 (1f 1(f(AA (2當(dāng)f是單射時 有f 1(f(AA 證明 (1因?yàn)閤A f(xyf(A f 1(yxf 1(f(A 所以 f 1(f(AA (2由(1知f 1(f(AA 另一方面 對于任意的xf 1(f(A存在yf(A 使f 1(yxf(xy 因?yàn)閥f(A且f是單射 所以xA 這就證明了f 1(f(AA 因此f 1(f(AA 6 求下列函數(shù)的自然定義域 (1解 由3x20得 函數(shù)的定義域?yàn)?(2解 由1x20得x1 函數(shù)的定義域?yàn)? 1(1 1(1 (3解 由x0且1x20得函數(shù)的定義域D1 0(0 1(4解 由4x

4、20得 |x|2 函數(shù)的定義域?yàn)?2 2 (5解 由x0得函數(shù)的定義D0 (6 ytan(x1解 由(k0 1 2 得函數(shù)的定義域?yàn)?k0 1 2 (7 yarcsin(x3 解 由|x3|1得函數(shù)的定義域D2 4 (8 解 由3x0且x0得函數(shù)的定義域D( 0(0 3 (9 yln(x1 解 由x10得函數(shù)的定義域D(1 (10 解 由x0得函數(shù)的定義域D( 0(0 7 下列各題中 函數(shù)f(x和g(x是否相同？為什么？(1f(xlg x2 g(x2lg x(2 f(xx g(x (3 (4f(x1 g(xsec2xtan2x 解 (1不同 因?yàn)槎x域不同 (2不同 因?yàn)閷?yīng)法則不同 x0時

5、g(xx (3相同 因?yàn)槎x域、對應(yīng)法則均相相同 (4不同 因?yàn)槎x域不同 8 設(shè) 求 (2 并作出函數(shù)y(x的圖形 解 9 試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性 (1 ( 1 (2yxln x (0 證明 (1對于任意的x1 x2( 1 有1x10 1x20 因?yàn)楫?dāng)x1x2時 所以函數(shù)在區(qū)間( 1內(nèi)是單調(diào)增加的 (2對于任意的x1 x2(0 當(dāng)x1x2時 有 所以函數(shù)yxln x在區(qū)間(0 內(nèi)是單調(diào)增加的 10 設(shè) f(x為定義在(l l內(nèi)的奇函數(shù) 若f(x在(0 l內(nèi)單調(diào)增加 證明f(x在(l 0內(nèi)也單調(diào)增加 證明 對于x1 x2(l 0且x1x2 有x1 x2(0 l且x1x2 因?yàn)閒(x在

6、(0 l內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù) 所以f(x2f(x1 f(x2f(x1 f(x2f(x1 這就證明了對于x1 x2(l 0 有f(x1 f(x2 所以f(x在(l 0內(nèi)也單調(diào)增加11 設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間(l l上的 證明 (1兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù) 兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)(2兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù) 兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù) 偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù) 證明 (1設(shè)F(xf(xg(x 如果f(x和g(x都是偶函數(shù) 則F(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x為偶函數(shù) 即兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù) 如果f(x和g(x都是奇函數(shù) 則F(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(

7、x為奇函數(shù) 即兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù) (2設(shè)F(xf(xg(x 如果f(x和g(x都是偶函數(shù) 則F(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x為偶函數(shù) 即兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù) 如果f(x和g(x都是奇函數(shù) 則F(xf(xg(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x為偶函數(shù) 即兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù) 如果f(x是偶函數(shù) 而g(x是奇函數(shù) 則F(xf(xg(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x為奇函數(shù) 即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù) 12 下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù) 哪些是奇函數(shù) 哪些既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？(1yx2(1x2 (2y3x2x3(3 (4yx(x1(x1(5ysin xco

8、s x1(6解 (1因?yàn)閒(x(x21(x2x2(1x2f(x 所以f(x是偶函數(shù) (2由f(x3(x2(x33x2x3可見f(x既非奇函數(shù)又非偶函數(shù) (3因?yàn)?所以f(x是偶函數(shù) (4因?yàn)閒(x(x(x1(x1x(x1(x1f(x 所以f(x是奇函數(shù) (5由f(xsin(xcos(x1sin xcos x1可見f(x既非奇函數(shù)又非偶函數(shù) (6因?yàn)?所以f(x是偶函數(shù) 13 下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù) 指出其周期 (1ycos(x2解 是周期函數(shù) 周期為l2 (2ycos 4x解 是周期函數(shù) 周期為(3y1sin x解 是周期函數(shù) 周期為l2(4yxcos x解 不是周期函數(shù)(5

9、ysin2x解 是周期函數(shù) 周期為l14 求下列函數(shù)的反函數(shù) (1 解 由得xy31 所以的反函數(shù)為yx31(2解 由得 所以的反函數(shù)為(3(adbc0 解 由得 所以的反函數(shù)為(4 y2sin3x 解 由y2sin 3x得 所以y2sin3x的反函數(shù)為(5 y1ln(x2 解 由y1ln(x2得xey12 所以y1ln(x2的反函數(shù)為yex12(6 解 由得 所以的反函數(shù)為15 設(shè)函數(shù)f(x在數(shù)集X上有定義 試證 函數(shù)f(x在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界 證明 先證必要性 設(shè)函數(shù)f(x在X上有界 則存在正數(shù)M 使|f(x|M 即Mf(xM 這就證明了f(x在X上有下界M和

10、上界M 再證充分性 設(shè)函數(shù)f(x在X上有下界K1和上界K2 即K1f(x K2 取Mmax|K1| |K2| 則 M K1f(x K2M 即 |f(x|M 這就證明了f(x在X上有界 16 在下列各題中 求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù) 并求這函數(shù)分別對應(yīng)于給定自變量值x1和x2的函數(shù)值 (1 yu2 usin x 解 ysin2x (2 ysin u u2x 解 ysin2x (3 u1x2 x11 x2 2解 (4 yeu ux2 x1 0 x21解 (5 yu2 uex x11 x21解 ye2x y1e21e2 y2e2(1e217 設(shè)f(x的定義域D0 1 求下列各函數(shù)的定義域 (1 f(

11、x2 解 由0x21得|x|1 所以函數(shù)f(x2的定義域?yàn)? 1(2 f(sinx 解 由0sin x1得2nx(2n1 (n0 1 2 所以函數(shù)f(sin x的定義域?yàn)?n (2n1 (n0 1 2 (3 f(xa(a>0 解 由0xa1得ax1a 所以函數(shù)f(xa的定義域?yàn)閍 1a(4 f(xaf(xa(a0 解 由0xa1且0xa1得 當(dāng)時 ax1a 當(dāng)時 無解 因此當(dāng)時函數(shù)的定義域?yàn)閍 1a 當(dāng)時函數(shù)無意義18 設(shè) g(xex 求fg(x和gf(x 并作出這兩個函數(shù)的圖形 解 即 即 19 已知水渠的橫斷面為等腰梯形 斜角40(圖137 當(dāng)過水?dāng)嗝鍭BCD的面積為定值S0時 求濕

12、周L(LABBCCD與水深h之間的函數(shù)關(guān)系式 并指明其定義域 圖137解 又從得 所以 自變量h的取值范圍應(yīng)由不等式組h0 確定 定義域?yàn)?20 收斂音機(jī)每臺售價為90元 成本為60元 廠方為鼓勵銷售商大量采購 決定凡是訂購量超過100臺以上的 每多訂購1臺 售價就降低1分 但最低價為每臺75元 (1將每臺的實(shí)際售價p表示為訂購量x的函數(shù) (2將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數(shù) (3某一商行訂購了1000臺 廠方可獲利潤多少？解 (1當(dāng)0x100時 p90 令001(x01009075 得x01600 因此當(dāng)x1600時 p75 當(dāng)100x1600時 p90(x100001910 01x

13、綜合上述結(jié)果得到 (2 (3 P3110000011000221000(元 習(xí)題121 觀察一般項(xiàng)xn如下的數(shù)列xn的變化趨勢 寫出它們的極限 (1 解 當(dāng)n時 0 (2解 當(dāng)n時 0 (3解 當(dāng)n時 2 (4 解 當(dāng)n時 0 (5 xnn(1n 解 當(dāng)n時 xnn(1n沒有極限2 設(shè)數(shù)列xn的一般項(xiàng) 問? 求出N 使當(dāng)nN時 xn與其極限之差的絕對值小于正數(shù) 當(dāng) 0001時 求出數(shù)N解 0 要使|x n0| 只要 也就是 取 則nN 有|xn0| 當(dāng) 0001時 10003 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明(1分析 要使 只須 即 證明 因?yàn)? 當(dāng)nN時 有 所以 (2分析 要使 只須 即 證明 因?yàn)?/p>

14、0 當(dāng)nN時 有 所以 (3 分析 要使 只須 證明 因?yàn)? 當(dāng)nN時 有 所以 (4分析 要使|099 91| 只須 即 證明 因?yàn)? 當(dāng)nN時 有|099 91| 所以 4 證明 并舉例說明 如果數(shù)列|xn|有極限 但數(shù)列xn未必有極限 證明 因?yàn)?所以0 NN 當(dāng)nN時 有 從而|un|a|una| 這就證明了 數(shù)列|xn|有極限 但數(shù)列xn未必有極限 例如 但不存在 5 設(shè)數(shù)列xn有界 又 證明 證明 因?yàn)閿?shù)列xn有界 所以存在M 使nZ 有|xn|M 又 所以0 NN 當(dāng)nN時 有 從而當(dāng)nN時 有 所以6 對于數(shù)列xn 若x2k1a(k x2k a(k 證明 xna(n 證明 因?yàn)?/p>

15、x2k1a(k x2k a(k 所以0 K1 當(dāng)2k12K11時 有| x2k1a| K2 當(dāng)2k2K2時 有|x2ka| 取Nmax2K11 2K2 只要nN 就有|xna| 因此xna (n習(xí)題131 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明 (1 分析 因?yàn)閨(3x18|3x9|3|x3| 所以要使|(3x18| 只須 證明 因?yàn)? 當(dāng)0|x3|時 有|(3x18| 所以 (2 分析 因?yàn)閨(5x212|5x10|5|x2| 所以要使|(5x212| 只須 證明 因?yàn)?0 當(dāng)0|x2|時 有|(5x212| 所以 (3 分析 因?yàn)?所以要使 只須 證明 因?yàn)?0 當(dāng)0|x(2|時 有 所以 (4 分析 因

16、為 所以要使 只須 證明 因?yàn)?0 當(dāng)時 有 所以 2 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明 (1 分析 因?yàn)?所以要使 只須 即 證明 因?yàn)?0 當(dāng)|x|X時 有 所以 (2 分析 因?yàn)?所以要使 只須 即 證明 因?yàn)? 當(dāng)xX時 有 所以 3 當(dāng)x2時 yx24 問等于多少 使當(dāng)|x2|<時 |y4|<0001？解 由于當(dāng)x2時 |x2|0 故可設(shè)|x2|1 即1x3 要使|x24|x2|x2|5|x2|0001 只要 取00002 則當(dāng)0|x2|時 就有|x24|0 001 4 當(dāng)x時 問X等于多少 使當(dāng)|x|X時 |y1|001?解 要使 只要 故 5 證明函數(shù)f(x|x|當(dāng)x0時極限為

17、零 證明 因?yàn)閨f(x0|x|0|x|x0| 所以要使|f(x0| 只須|x| 因?yàn)閷? 使當(dāng)0|x0| 時有|f(x0|x|0| 所以 6 求 當(dāng)x0時的左右極限 并說明它們在x0時的極限是否存在 證明 因?yàn)?所以極限存在 因?yàn)?所以極限不存在 7 證明 若x及x時 函數(shù)f(x的極限都存在且都等于A 則 證明 因?yàn)?所以>0 X10 使當(dāng)xX1時 有|f(xA| X20 使當(dāng)xX2時 有|f(xA| 取XmaxX1 X2 則當(dāng)|x|X時 有|f(xA| 即 8 根據(jù)極限的定義證明 函數(shù)f(x當(dāng)xx0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等 證明 先證明必要性 設(shè)f(x

18、A(xx0 則>0 0 使當(dāng)0<|xx0|< 時 有|f(xA|< 因此當(dāng)x0<x<x0和x0<x<x0 時都有|f(xA|< 這說明f(x當(dāng)xx0時左右極限都存在并且都等于A 再證明充分性 設(shè)f(x00f(x00A 則>0 1>0 使當(dāng)x01<x<x0時 有| f(xA< 2>0 使當(dāng)x0<x<x0+2時 有| f(xA|< 取min1 2 則當(dāng)0<|xx0|< 時 有x01<x<x0及x0<x<x0+2 從而有| f(xA|< 即f(xA(x

19、x0 9 試給出x時函數(shù)極限的局部有界性的定理 并加以證明 解 x時函數(shù)極限的局部有界性的定理 如果f(x當(dāng)x時的極限存在 則存在X0及M0 使當(dāng)|x|X時 |f(x|M 證明 設(shè)f(xA(x 則對于 1 X0 當(dāng)|x|X時 有|f(xA| 1 所以|f(x|f(xAA|f(xA|A|1|A| 這就是說存在X0及M0 使當(dāng)|x|X時 |f(x|M 其中M1|A| 習(xí)題141 兩個無窮小的商是否一定是無窮小？舉例說明之 解 不一定 例如 當(dāng)x0時 (x2x (x3x都是無窮小 但 不是無窮小 2 根據(jù)定義證明 (1當(dāng)x3時為無窮小; (2當(dāng)x0時為無窮小 證明 (1當(dāng)x3時 因?yàn)? 當(dāng)0|x3|

20、時 有 所以當(dāng)x3時為無窮小 (2當(dāng)x0時 因?yàn)? 當(dāng)0|x0|時 有 所以當(dāng)x0時為無窮小 3 根據(jù)定義證明 函數(shù)為當(dāng)x0時的無窮大 問x應(yīng)滿足什么條件 能使|y|104？證明 分析 要使|y|M 只須 即 證明 因?yàn)镸0 使當(dāng)0|x0|時 有 所以當(dāng)x0時 函數(shù)是無窮大取M104 則 當(dāng)時 |y|104 4 求下列極限并說明理由 (1; (2 解 (1因?yàn)?而當(dāng)x 時是無窮小 所以 (2因?yàn)?x1 而當(dāng)x0時x為無窮小 所以 5 根據(jù)函數(shù)極限或無窮大定義 填寫下表f(xAf(xf(xf(xxx00 0 使當(dāng)0|xx0|時 有恒|f(xA| xx0xx0x0 X0 使當(dāng)|x|X時 有恒|f(

21、x|Mxx解f(xAf(xf(xf(xxx00 0 使當(dāng)0|xx0|時 有恒|f(xA| M0 0 使當(dāng)0|xx0|時 有恒|f(x|MM0 0 使當(dāng)0|xx0|時 有恒f(xMM0 0 使當(dāng)0|xx0|時 有恒f(xMxx00 0 使當(dāng)0xx0時 有恒|f(xA| M0 0 使當(dāng)0xx0時 有恒|f(x|MM0 0 使當(dāng)0xx0時 有恒f(xMM0 0 使當(dāng)0xx0時 有恒f(xMxx00 0 使當(dāng)0x0x時 有恒|f(xA| M0 0 使當(dāng)0x0x時 有恒|f(x|MM0 0 使當(dāng)0x0x時 有恒f(xMM0 0 使當(dāng)0x0x時 有恒f(xMx0 X0 使當(dāng)|x|X時 有恒|f(xA| 0

22、 X0 使當(dāng)|x|X時 有恒|f(x|M0 X0 使當(dāng)|x|X時 有恒f(xM0 X0 使當(dāng)|x|X時 有恒f(xMx0 X0 使當(dāng)xX時 有恒|f(xA| 0 X0 使當(dāng)xX時 有恒|f(x|M0 X0 使當(dāng)xX時 有恒f(xM0 X0 使當(dāng)xX時 有恒f(xMx0 X0 使當(dāng)xX時 有恒|f(xA| 0 X0 使當(dāng)xX時 有恒|f(x|M0 X0 使當(dāng)xX時 有恒f(xM0 X0 使當(dāng)xX時 有恒f(xM6 函數(shù)yxcos x在( 內(nèi)是否有界？這個函數(shù)是否為當(dāng)x 時的無窮大？為什么？解 函數(shù)yxcos x在( 內(nèi)無界這是因?yàn)镸0 在( 內(nèi)總能找到這樣的x 使得|y(x|M 例如y(2k2k

23、 cos2k2k (k0 1 2 當(dāng)k充分大時 就有| y(2k|M 當(dāng)x 時 函數(shù)yxcos x不是無窮大 這是因?yàn)镸0 找不到這樣一個時刻N(yùn) 使對一切大于N的x 都有|y(x|M 例如(k0 1 2 對任何大的N 當(dāng)k充分大時 總有 但|y(x|0M 7 證明 函數(shù)在區(qū)間(0 1上無界 但這函數(shù)不是當(dāng)x0+時的無窮大 證明 函數(shù)在區(qū)間(0 1上無界 這是因?yàn)镸0 在(0 1中總可以找到點(diǎn)xk 使y(xkM 例如當(dāng)(k0 1 2 時 有 當(dāng)k充分大時 y(xkM當(dāng)x0+ 時 函數(shù)不是無窮大 這是因?yàn)镸0 對所有的0 總可以找到這樣的點(diǎn)xk 使0xk 但y(xkM 例如可取(k0 1 2 當(dāng)k

24、充分大時 xk 但y(xk2ksin2k0M 習(xí)題151 計(jì)算下列極限 (1 解 (2解 (3解 (4解 (5解 (6解 (7解 (8解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù) 極限為零 或 (9解 (10解 (11解 (12解 (13解 (分子與分母的次數(shù)相同 極限為最高次項(xiàng)系數(shù)之比 或 (14解 2 計(jì)算下列極限 (1解 因?yàn)?所以 (2解 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù) (3 解 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù) 3 計(jì)算下列極限 (1解 (當(dāng)x0時 x2是無窮小 而是有界變量 (2解 (當(dāng)x時 是無窮小 而arctan x是有界變量 4 證明本節(jié)定理3中的(2習(xí)題151 計(jì)算下列極限 (1 解 (2解 (3解

25、(4解 (5解 (6解 (7解 (8解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù) 極限為零 或 (9解 (10解 (11解 (12解 (13解 (分子與分母的次數(shù)相同 極限為最高次項(xiàng)系數(shù)之比 或 (14解 2 計(jì)算下列極限 (1解 因?yàn)?所以 (2解 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù) (3 解 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù) 3 計(jì)算下列極限 (1解 (當(dāng)x0時 x2是無窮小 而是有界變量 (2解 (當(dāng)x時 是無窮小 而arctan x是有界變量 4 證明本節(jié)定理3中的(2習(xí)題 171 當(dāng)x0時 2xx2 與x2x3相比 哪一個是高階無窮?。?解 因?yàn)?所以當(dāng)x0時 x2x3是高階無窮小 即x2x3o(2xx2 2 當(dāng)x

26、1時 無窮小1x和(11x3 (2是否同階？是否等價？解 (1因?yàn)?所以當(dāng)x1時 1x和1x3是同階的無窮小 但不是等價無窮小 (2因?yàn)?所以當(dāng)x1時 1x和是同階的無窮小 而且是等價無窮小 3 證明 當(dāng)x0時 有 (1 arctan xx (2證明 (1因?yàn)?提示 令yarctan x 則當(dāng)x0時 y0 所以當(dāng)x0時 arctanxx (2因?yàn)?所以當(dāng)x0時 4 利用等價無窮小的性質(zhì) 求下列極限 (1(2(n m為正整數(shù)(3 (4 解 (1 (2 (3 (4因?yàn)?x0 (x0(x0所以 5 證明無窮小的等價關(guān)系具有下列性質(zhì) (1 (自反性(2 若 則(對稱性 (3若 則(傳遞性證明 (1 所

27、以 (2 若 則 從而 因此 (3 若 因此習(xí)題181 研究下列函數(shù)的連續(xù)性 并畫出函數(shù)的圖形 (1 解 已知多項(xiàng)式函數(shù)是連續(xù)函數(shù) 所以函數(shù)f(x在0 1和(1 2內(nèi)是連續(xù)的 在x1處 因?yàn)閒(11 并且 所以 從而函數(shù)f(x在x1處是連續(xù)的 綜上所述，函數(shù)f(x在0 2上是連續(xù)函數(shù) (2 解 只需考察函數(shù)在x1和x1處的連續(xù)性 在x1處 因?yàn)閒(11 并且 所以函數(shù)在x1處間斷 但右連續(xù) 在x1處 因?yàn)閒(11 并且f(1 f(1 所以函數(shù)在x1處連續(xù) 綜合上述討論 函數(shù)在( 1和(1 內(nèi)連續(xù) 在x1處間斷 但右連續(xù) 2 下列函數(shù)在指出的點(diǎn)處間斷 說明這些間斷點(diǎn)屬于哪一類 如果是可去間斷點(diǎn)

28、則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù) (1 x1 x2解 因?yàn)楹瘮?shù)在x2和x1處無定義 所以x2和x1是函數(shù)的間斷點(diǎn) 因?yàn)?所以x2是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) 因?yàn)?所以x1是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn) 并且是可去間斷點(diǎn) 在x1處 令y2 則函數(shù)在x1處成為連續(xù)的 (2 xk (k0 1 2 解 函數(shù)在點(diǎn)xk(kZ和(kZ處無定義 因而這些點(diǎn)都是函數(shù)的間斷點(diǎn) 因(k0 故xk(k0是第二類間斷點(diǎn) 因?yàn)?(kZ 所以x0和(kZ 是第一類間斷點(diǎn)且是可去間斷點(diǎn) 令y|x01 則函數(shù)在x0處成為連續(xù)的 令時 y0 則函數(shù)在處成為連續(xù)的 (3 x0 解 因?yàn)楹瘮?shù)在x0處無定義 所以x0是函數(shù)的間斷點(diǎn) 又因?yàn)椴淮嬖?所以x

29、0是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) (4 x 1解 因?yàn)?所以x1是函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn) 3 討論函數(shù)的連續(xù)性 若有間斷點(diǎn) 判別其類型 解 在分段點(diǎn)x1處 因?yàn)?所以x1為函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn) 在分段點(diǎn)x1處 因?yàn)?所以x1為函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn) 4 證明 若函數(shù)f(x在點(diǎn)x0連續(xù)且f(x00 則存在x0的某一鄰域U(x0 當(dāng)xU(x0時 f(x0證明 不妨設(shè)f(x0>0 因?yàn)閒(x在x0連續(xù) 所以 由極限的局部保號性定理 存在x0的某一去心鄰域 使當(dāng)x時f(x>0 從而當(dāng)xU(x0時 f(x>0 這就是說 則存在x0的某一鄰域U(x0 當(dāng)xU(x0時 f(x0 5 試分別舉

30、出具有以下性質(zhì)的函數(shù)f(x的例子 (1x0 1 2 n 是f(x的所有間斷點(diǎn) 且它們都是無窮間斷點(diǎn) 解 函數(shù)在點(diǎn)x0 1 2 n 處是間斷的 且這些點(diǎn)是函數(shù)的無窮間斷點(diǎn) (2f(x在R上處處不連續(xù) 但|f(x|在R上處處連續(xù) 解 函數(shù)在R上處處不連續(xù) 但|f(x|1在R上處處連續(xù) (3f(x在R上處處有定義 但僅在一點(diǎn)連續(xù) 解 函數(shù)在R上處處有定義 它只在x0處連續(xù) 習(xí)題191 求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間 并求極限 及 解 函數(shù)在( 內(nèi)除點(diǎn)x2和x3外是連續(xù)的 所以函數(shù)f(x的連續(xù)區(qū)間為( 3、(3 2、(2 在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)x0處 在函數(shù)的間斷點(diǎn)x2和x3處 2 設(shè)函數(shù)f(x與g(x在點(diǎn)x0連續(xù) 證明函

31、數(shù)(xmaxf(x g(x (xminf(x g(x在點(diǎn)x0也連續(xù) 證明 已知 可以驗(yàn)證 因此 因?yàn)?(x0所以(x在點(diǎn)x0也連續(xù) 同理可證明(x在點(diǎn)x0也連續(xù) 3 求下列極限 (1 (2 (3 (4(5(6(7解 (1因?yàn)楹瘮?shù)是初等函數(shù) f(x在點(diǎn)x0有定義 所以 (2因?yàn)楹瘮?shù)f(x(sin 2x3是初等函數(shù) f(x在點(diǎn)有定義 所以 (3因?yàn)楹瘮?shù)f(xln(2cos2x是初等函數(shù) f(x在點(diǎn)有定義 所以 (4 (5(6 (74 求下列極限 (1(2 (3(4 (5 (6 解 (1 (2 (3 (4 (5 因?yàn)?所以 (6 5 設(shè)函數(shù) 應(yīng)當(dāng)如何選擇數(shù)a 使得f(x成為在( 內(nèi)的連續(xù)函數(shù)？ 解

32、要使函數(shù)f(x在( 內(nèi)連續(xù) 只須f(x在x0處連續(xù) 即只須 因?yàn)?所以只須取a1 習(xí)題1101 證明方程x53x1至少有一個根介于1和2之間證明 設(shè)f(xx53x1 則f(x是閉區(qū)間1 2上的連續(xù)函數(shù) 因?yàn)閒(13 f(225 f(1f(20 所以由零點(diǎn)定理 在(1 2內(nèi)至少有一點(diǎn)(12 使f(0 即x 是方程x53x1的介于1和2之間的根 因此方程x53x1至少有一個根介于1和2之間 2 證明方程xasinxb 其中a0 b0 至少有一個正根 并且它不超過ab證明 設(shè)f(xasin xbx 則f(x是0 ab上的連續(xù)函數(shù) f(0b f(aba sin (abb(abasin(ab10 若f(

33、ab0 則說明xab就是方程xasinxb的一個不超過ab的根 若f(ab0 則f(0f(ab0 由零點(diǎn)定理 至少存在一點(diǎn)(0 ab 使f(0 這說明x 也是方程x=asinxb的一個不超過ab的根 總之 方程xasinxb至少有一個正根 并且它不超過ab 3 設(shè)函數(shù)f(x對于閉區(qū)間a b上的任意兩點(diǎn)x、y 恒有|f(xf(y|L|xy| 其中L為正常數(shù) 且f(af(b0 證明 至少有一點(diǎn)(a b 使得f(0 證明 設(shè)x0為(a b內(nèi)任意一點(diǎn) 因?yàn)?所以 即 因此f(x在(a b內(nèi)連續(xù) 同理可證f(x在點(diǎn)a處左連續(xù) 在點(diǎn)b處右連續(xù) 所以f(x在a b上連續(xù)因?yàn)閒(x在a b上連續(xù) 且f(af(

34、b0 由零點(diǎn)定理 至少有一點(diǎn)(a b 使得f(04 若f(x在a b上連續(xù) ax1x2 xnb 則在x1 xn上至少有一點(diǎn) 使證明 顯然f(x在x1 xn上也連續(xù) 設(shè)M和m分別是f(x在x1 xn上的最大值和最小值 因?yàn)閤ix1 xn(1 in 所以有mf(xiM 從而有 由介值定理推論 在x1 xn上至少有一點(diǎn) 使 5 證明 若f(x在( 內(nèi)連續(xù) 且存在 則f(x必在( 內(nèi)有界證明 令 則對于給定的0 存在X0 只要|x|X 就有|f(xA| 即Af(xA 又由于f(x在閉區(qū)間X X上連續(xù) 根據(jù)有界性定理 存在M0 使|f(x|M xX X 取NmaxM |A| |A| 則|f(x|N x(

35、 即f(x在( 內(nèi)有界6 在什么條件下 (a b內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x為一致連續(xù)？總習(xí)題一1 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個正確的填入下列空格內(nèi) (1數(shù)列xn有界是數(shù)列xn收斂的_條件 數(shù)列xn收斂是數(shù)列xn有界的_的條件(2f(x在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界是存在的_條件 存在是f(x在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界的_條件 (3 f(x在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界是的_條件 是f(x在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界的_條件 (4f(x當(dāng)xx0時的右極限f(x0及左極限f(x0都存在且相等是存在的_條件解 (1 必要 充分 (2 必要 充分(3 必要 充分(4 充分必要 2 選擇以下題中給出的

36、四個結(jié)論中一個正確的結(jié)論 設(shè)f(x2x3x2 則當(dāng)x0時 有( (Af(x與x是等價無窮小 (Bf(x與x同階但非等價無窮小 (Cf(x是比x高階的無窮小 (Df(x是比x低階的無窮小 解 因?yàn)?令2x1t 3x1u 所以f(x與x同階但非等價無窮小 故應(yīng)選B 3 設(shè)f(x的定義域是0 1 求下列函數(shù)的定義域 (1 f(ex (2 f(ln x (3 f(arctan x (4 f(cos x 解 (1由0ex1得x0 即函數(shù)f(ex的定義域?yàn)? 0 (2 由0 ln x1得1xe 即函數(shù)f(ln x的定義域?yàn)? e(3 由0 arctan x 1得0xtan 1 即函數(shù)f(arctan x的

37、定義域?yàn)? tan 1(4 由0 cos x1得(n0 1 2 即函數(shù)f(cos x的定義域?yàn)?(n0 1 2 4 設(shè) 求ff(x gg(x fg(x gf(x 解 因?yàn)閒(x0 所以ff(xf(x 因?yàn)間(x0 所以gg(x0因?yàn)間(x0 所以fg(x0因?yàn)閒(x0 所以gf(xf 2(x 5 利用ysin x的圖形作出下列函數(shù)的圖形 (1y|sin x| (2ysin|x| (3 6 把半徑為R的一圓形鐵片 自中心處剪去中心角為的一扇形后圍成一無底圓錐 試將這圓錐的體積表為的函數(shù) 解 設(shè)圍成的圓錐的底半徑為r 高為h 依題意有R(22r 圓錐的體積為 (02 7 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明 證

38、明 對于任意給定的0 要使 只需|x3| 取 當(dāng)0|x3|時 就有|x3| 即 所以 8 求下列極限 (1 (2 (3 (4 (5(a0 b0 c0 (6 解 (1因?yàn)?所以 (2 (3 (4(提示 用等價無窮小換(5 因?yàn)?所以 提示 求極限過程中作了變換ax1t bx1u cx1v (6 因?yàn)?所以 9 設(shè) 要使f(x在( 內(nèi)連續(xù) 應(yīng)怎樣選擇數(shù)a?解 要使函數(shù)連續(xù) 必須使函數(shù)在x0處連續(xù) 因?yàn)閒(0a 所以當(dāng)a0時 f(x在x0處連續(xù) 因此選取a0時 f(x在( 內(nèi)連續(xù) 10 設(shè) 求f(x的間斷點(diǎn) 并說明間斷點(diǎn)所屬類形 解 因?yàn)楹瘮?shù)f(x在x1處無定義 所以x1是函數(shù)的一個間斷點(diǎn) 因?yàn)?提

39、示 (提示 所以x1是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) 又因?yàn)?所以x0也是函數(shù)的間斷點(diǎn) 且為第一類間斷點(diǎn) 11 證明 證明 因?yàn)?且 所以 12 證明方程sin xx10在開區(qū)間內(nèi)至少有一個根 證明 設(shè)f(xsin xx1 則函數(shù)f(x在上連續(xù) 因?yàn)?所以由零點(diǎn)定理 在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使f(0 這說明方程sin xx10在開區(qū)間內(nèi)至少有一個根 13 如果存在直線L ykxb 使得當(dāng)x(或x x時 曲線yf(x上的動點(diǎn)M(x y到直線L的距離d(M L0 則稱L為曲線yf(x的漸近線 當(dāng)直線L的斜率k0時 稱L為斜漸近線 (1證明 直線L ykxb為曲線yf(x的漸近線的充分必要條件是 (2求曲線的斜漸

40、近線 證明 (1 僅就x的情況進(jìn)行證明按漸近線的定義 ykxb是曲線yf(x的漸近線的充要條件是 必要性 設(shè)ykxb是曲線yf(x的漸近線 則 于是有 同時有 充分性 如果 則 因此ykxb是曲線yf(x的漸近線 (2因?yàn)?所以曲線的斜漸近線為y2x1 習(xí)題211 設(shè)物體繞定軸旋轉(zhuǎn) 在時間間隔0 t內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為 從而轉(zhuǎn)角是t的函數(shù) (t 如果旋轉(zhuǎn)是勻速的 那么稱為該物體旋轉(zhuǎn)的角速度 如果旋轉(zhuǎn)是非勻速的 應(yīng)怎樣確定該物體在時刻t0的角速度？解 在時間間隔t0 t0t內(nèi)的平均角速度為 故t0時刻的角速度為 2 當(dāng)物體的溫度高于周圍介質(zhì)的溫度時 物體就不斷冷卻 若物體的溫度T與時間t的函數(shù)關(guān)系為T

41、T(t 應(yīng)怎樣確定該物體在時刻t的冷卻速度？解 物體在時間間隔t0 t0t內(nèi) 溫度的改變量為TT(ttT(t 平均冷卻速度為 故物體在時刻t的冷卻速度為 3 設(shè)某工廠生產(chǎn)x單位產(chǎn)品所花費(fèi)的成本是f(x元 此函數(shù)f(x稱為成本函數(shù) 成本函數(shù)f(x的導(dǎo)數(shù)f(x在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為邊際成本 試說明邊際成本f(x的實(shí)際意義 解 f(xxf(x表示當(dāng)產(chǎn)量由x改變到xx時成本的改變量 表示當(dāng)產(chǎn)量由x改變到xx時單位產(chǎn)量的成本 表示當(dāng)產(chǎn)量為x時單位產(chǎn)量的成本4 設(shè)f(x10x2 試按定義 求f (1 解 5 證明(cos xsin x 解 6 下列各題中均假定f (x0存在 按照導(dǎo)數(shù)定義觀察下列極限 指出A表示什

42、么 (1 解 (2 其中f(00 且f (0存在 解 (3 解 f (x0f (x02f (x0 7 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1yx4 (2 (3yx1 6(4 (5(6(7 解 (1y(x44x414x3 (2 (3y(x1 616x1 6116x 0 6 (4 (5(6(78 已知物體的運(yùn)動規(guī)律為st3(m 求這物體在t2秒(s時的速度 解v(s3t2 v|t212(米/秒 9 如果f(x為偶函數(shù) 且f(0存在 證明f(00 證明 當(dāng)f(x為偶函數(shù)時 f(xf(x 所以 從而有2f (00 即f (00 10 求曲線ysin x在具有下列橫坐標(biāo)的各點(diǎn)處切線的斜率 x 解 因?yàn)閥cos x 所以

43、斜率分別為 11 求曲線ycos x上點(diǎn)處的切線方程和法線方程式 解ysin x 故在點(diǎn)處 切線方程為 法線方程為 12 求曲線yex在點(diǎn)(01處的切線方程 解yex y|x01 故在(0 1處的切線方程為y11(x0 即yx1 13 在拋物線yx2上取橫坐標(biāo)為x11及x23的兩點(diǎn) 作過這兩點(diǎn)的割線 問該拋物線上哪一點(diǎn)的切線平行于這條割線？解 y2x 割線斜率為 令2x4 得x2 因此拋物線yx2上點(diǎn)(2 4處的切線平行于這條割線 14 討論下列函數(shù)在x0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性(1y|sin x|(2 解 (1因?yàn)閥(00 所以函數(shù)在x0處連續(xù) 又因?yàn)?而y(0y(0 所以函數(shù)在x0處不可導(dǎo) 解

44、因?yàn)?又y(00 所以函數(shù)在x0處連續(xù) 又因?yàn)?所以函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo) 且y(00 15 設(shè)函數(shù)為了使函數(shù)f(x在x1處連續(xù)且可導(dǎo) a b應(yīng)取什么值？解 因?yàn)?f(1ab 所以要使函數(shù)在x1處連續(xù) 必須ab1 又因?yàn)楫?dāng)ab1時 所以要使函數(shù)在x1處可導(dǎo) 必須a2 此時b1 16 已知求f(0及f(0 又f (0是否存在？解 因?yàn)閒(0 f(0 而f(0f(0 所以f (0不存在 17 已知f(x 求f (x 解 當(dāng)x<0時 f(xsin x f (xcos x 當(dāng)x>0時 f(xx f (x1 因?yàn)?f(0 f(0 所以f (01 從而f (x 18 證明 雙曲線xya2上任一點(diǎn)處

45、的切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于2a2 解 由xya2得 設(shè)(x0 y0為曲線上任一點(diǎn) 則過該點(diǎn)的切線方程為 令y0 并注意x0y0a2 解得 為切線在x軸上的距 令x0 并注意x0y0a2 解得 為切線在y軸上的距 此切線與二坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積為 習(xí)題 221 推導(dǎo)余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (cot xcsc2x (csc xcsc xcot x 解 2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1(2 y5x32x3ex (3 y2tan xsec x1(4 ysin xcos x (5 yx2ln x (6 y3excos x (7(8(9 yx2ln x cos x (10解 (1 (2

46、y(5x32x3ex15x22x ln23ex (3 y(2tan x sec x12sec2xsec xtan xsec x(2sec xtan x (4 y(sin xcos x(sin xcos xsin x(cos xcos xcos xsin x(sin xcos 2x (5 y(x2ln x2xln xx2x(2ln x1 (6 y(3excos x3excos x3ex(sin x3ex(cos xsin x (7(8(9 y(x2ln x cos x2xln x cos xx2cos xx2 ln x(sin x2x ln x cos xx cos xx2 ln x sin x

47、 (103 求下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(1 ysin xcos x 求和 (2求 (3 求f (0和f (2 解 (1ycos xsin x (2 (3 4 以初速v0豎直上拋的物體 其上升高度s與時間t的關(guān)系是 求 (1該物體的速度v(t (2該物體達(dá)到最高點(diǎn)的時刻 解 (1v(ts(tv0gt(2令v(t0 即v0gt0 得 這就是物體達(dá)到最高點(diǎn)的時刻 5 求曲線y2sin xx2上橫坐標(biāo)為x0的點(diǎn)處的切線方程和法線方程解 因?yàn)閥2cos x2x y|x02 又當(dāng)x0時 y0 所以所求的切線方程為y2x 所求的法線方程為 即x2y0 6 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1 y(2x54(2 ycos(

48、43x(3(4 yln(1x2(5 ysin2x (6(7 ytan(x2(8 yarctan(ex(9 y(arcsin x2(10 ylncos x解 (1 y4(2x541(2x54(2x5328(2x53 (2 ysin(43x(43xsin(43x(33sin(43x (3 (4 (5 y2sin x(sin x2sin xcos xsin 2x (6(7 ysec2(x2(x22xsec2(x2 (8 (9 y (10 7 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1 yarcsin(12x(2(3(4(5(6(7(8(9 yln(sec xtan x(10 yln(csc xcot x解 (1 (2

49、(3 (4 (5 (6 (7 (8 (9 (10 8 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1(2(3(4(5ysinnxcos nx (6(7(8 y=lnln(ln x (9(10解 (1 (2 (3 (4 (5 yn sinn1x(sin xcos nxsinnx(sin nx(nxn sinn1xcos x cos nxsinnx(sin nxnn sinn1x(cos xcos nxsin xsin nx n sinn1xcos(n1x (6(7(8 (9 (109. 設(shè)函數(shù)f(x和g(x可導(dǎo) 且f2(xg2(x0 試求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解 10 設(shè)f(x可導(dǎo) 求下列函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)(1 yf(x2(2 yf(s

50、in2xf(cos2x解 (1 yf (x2(x2 f (x22x2xf (x2 (2 yf (sin2x(sin2xf (cos2x(cos2xf (sin2x2sin xcos xf (cos2x2cosx(sin xsin 2xf (sin2x f (cos2x11 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1 ych(sh x (2 ysh xech x (3 yth(ln x(4 ysh3x ch2x (5 yth(1x2 (6 yarch(x21(7 yarch(e2x(8 yarctan(th x(9(10解 (1 ysh(sh x(sh xsh(sh xch x (2 ych xech xsh xe

51、ch xsh xech x(ch xsh2x (3 (4 y3sh2xch x2ch xsh x sh xch x(3sh x2 (5 (6 (7 (8 (9(10 12 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1 yex(x22x3 (2 ysin2xsin(x2(3(4(5(6(7(8(9 (10解 (1 yex(x22x3ex(2x2ex(x24x5 (2 y2sin xcos xsin(x2sin2xcos(x22xsin2xsin(x22xsin2xcos(x2 (3 (4 (5 (6 (7 (8(9 (10習(xí)題 231 求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) (1 y2x2ln x(2 ye2x1(3 yxcos x (4 yet sin t (5(6 yln(1x2(7 ytan x(8(9 y(1x2arctan x (10(11(12 解 (1 (2 ye2x1 22e2x1 y2e2x1 24e2x1 (3 yxcos x ycos xxsin x ysin xsin xxcos x2sin xxcos x (4 yetsin tetcos tet(cos