2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義：向量運(yùn)算與復(fù)數(shù)運(yùn)算、算法、推理與證明

1、第二講 向量運(yùn)算與復(fù)數(shù)運(yùn)算、算法、推理與證明本部分內(nèi)容在備考時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)方面:(i)加強(qiáng)對(duì)向量加法、減法的平行四邊形法則與三角形法則的理解、掌握兩向量共線與垂直的條件，熟記平面向量的相關(guān)公式，掌握求模、夾角的方法.(2) 掌握復(fù)數(shù)的基本概念及運(yùn)算法則，在備考時(shí)注意將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式再進(jìn)行求解,同時(shí)注意“分母實(shí)數(shù)化”的運(yùn)用.(3) 關(guān)注程序框圖和基本算法語句的應(yīng)用與判別，尤其是含循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖要高度 重視.咼考考點(diǎn)考點(diǎn)解讀平面向量的運(yùn)算及運(yùn)用1以平面圖形為載體，借助向量考查數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系、向 量的線性運(yùn)算及幾何意義2.以平面向量基本定理為出發(fā)點(diǎn)，與向量的坐標(biāo)運(yùn)算、 數(shù)量積 交匯命題3

2、.直接利用數(shù)量積運(yùn)算公式進(jìn)行運(yùn)算，求向量的夾角、模或判 斷向量的垂直關(guān)系復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算1復(fù)數(shù)的概念、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)相等、共軛復(fù)數(shù)等2復(fù)數(shù)的幾何意義及四則運(yùn)算，重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算程序框圖1主要考查程序框圖的應(yīng)用及基本算法語句，尤其是含循環(huán)結(jié) 構(gòu)的程序框圖2.與分段函數(shù)的求值、數(shù)列求和或求積、統(tǒng)計(jì)等有規(guī)律的重復(fù) 計(jì)算問題放在一起綜合考查合情推理1主要考查合情推理和演繹推理，重點(diǎn)考查歸納推理和類比推 理2以數(shù)表、數(shù)陣、圖形等為背景與數(shù)列、周期性等數(shù)學(xué)知識(shí)相 結(jié)合考查歸納推理召把握考點(diǎn)明確方向高矛署點(diǎn)聚焦I HHAOIH*I JU jMrOIL .J備考策略r(4) 掌握各種推理的特點(diǎn)和推理過程，

3、同時(shí)要區(qū)分不同的推理形式，對(duì)歸納推理要做到歸納到位、準(zhǔn)確；對(duì)類比推理要找到事物的相同點(diǎn)，做到類比合，對(duì)演繹推理要做到過程嚴(yán)預(yù)測(cè) 2020 年命題熱點(diǎn)為:(1)利用平面向理的基本運(yùn)算解決數(shù)量積、 夾角、模或垂直、共線等問題，與三角函數(shù)、 解析幾何交匯命題.(2)單獨(dú)考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念、復(fù)數(shù)的幾何意義等相互交匯考查.程序框圖主要是以循環(huán)結(jié)構(gòu)為主的計(jì)算、輸出、程序框圖的補(bǔ)全，與函數(shù)求值、方程求解、不等式求解數(shù)列求和、統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算等交匯在一起命題.(4)推理問題考查歸納推理和類比推理，主要與數(shù)列、立體幾何、解析幾何等結(jié)合在一起命題.鎖識(shí)螯合易錯(cuò)警示2知識(shí)整合?：Z-Zhi shi z

4、he ng he1.重要公式(1)兩個(gè)非零向量平行、垂直的充要條件若a=(xi,yi), b= (x2,y2),貝 U1a/ b? a= ?b(bz0,入 R)? xiy2二 X2yi=0.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則(a + bi) + di) = (a) + (bl)i(a, b, c, d R).(a + bi)(c+ di) = (ac bd)土(bc+ ad)i(a, b, c, d R).ac+ bd be ad(a+bi) (e+di)=c2+d2土c2+d2i(a,b,c,dR,c+di豐0).2.重要性質(zhì)及結(jié)論(i)若 a 與 b 不共線，且 ?a+小=0，貝U L u=0.已知 OA

5、 = OB +QC(入為常數(shù))，則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是:土尸 i.(3)平面向量的三個(gè)性質(zhì)1若 a= (x, y)，則 |a|= a a = x2+ y2.2若 A(xi, yi), B(X2, y2),則 |AB|= , X2 x22+丸yi2.密.a 丄 b? a b= 0?xix2+ yiy2= 0.a b3設(shè)B為a與b(a工0,bz0)的夾角，且a=(xi,yi),b= (x2,y2),貝 Ucos0=lallblX1X2+ y2x?+y2,扇+y2(4)復(fù)數(shù)運(yùn)算中常用的結(jié)論:21+i1i(12=切：口=i2齊廠=1, i4n+3= i,其中 n N3.推理與證明(1)歸納推

6、理的思維過程實(shí)驗(yàn)、觀察概括、推廣f猜測(cè)一般性結(jié)論(2)類比推理的思維過程實(shí)驗(yàn)、觀察聯(lián)想、類推f猜測(cè)新的結(jié)論(3)(理)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟1(歸納奠基)證明當(dāng) n 取第一個(gè)值 n= no(n N*)時(shí)，命題成立；2(歸納遞推)假設(shè) n= k(kn, k N )時(shí)命題成立，證明當(dāng)n = k+ 1 時(shí)，命題也成立.只要完成了這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)于任何nno的正整數(shù)都成立.易錯(cuò)警示Y*i cuo jing shi1.忽略復(fù)數(shù)的定義：在解決與復(fù)數(shù)概念有關(guān)的問題時(shí)，在運(yùn)用復(fù)數(shù)的概念時(shí)忽略某一條件而致誤.2.不能準(zhǔn)確把握循環(huán)次數(shù)解答循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖(流程圖)問題，要注意循環(huán)次數(shù)，防止多一次或少一

7、次的錯(cuò)誤.3.忽略特殊情況：兩個(gè)向量夾角為銳角與向量的數(shù)量積大于為鈍角與向量的數(shù)量積小于 0 不等價(jià).1 i1. (2018 全國(guó)卷I，1)設(shè) z=不 + 2i，則 |z|= ( C )1A . 0B . 2C. 1D . . 221 i1 i 2i+ 2i =+ 2i=+ 2i = i，1 + i1 + i 1 i2i; 一 b + ai = i(a+ bi); i4n= 1, i4n+1= i,0 不等價(jià)；兩個(gè)向量夾角忒高考真題*把握規(guī)律解析 |z|=1.故選 C.2.(2018 全國(guó)卷n,1)2i=(D)C.4 3.5 5i-5+3i3 4. i553+4.-5+5i1+ 2i2(1 +

8、 2i)解析1 21-2i 1 + 2 廠 1- 2i21 4 + 4i 3 + 4i 345+5i.故選 D .3. (2018 全國(guó)卷n,4)已知向量 a, b 滿足|a|= 1, a b= 1,貝Ua (2a b)= ( B )A . 4B . 3C. 2D . 022解析a (2a b)= 2a a b= 2|a| a b.T|a|= 1, a b= 1 ,.原式=2x12+ 1 = 3.故選 B.4.（2018 全國(guó)卷I,6）在厶 ABC 中，AD 為 BC 邊上的中線，E 為 AD 的中點(diǎn)，則 EB = （ A ）3T1TA. 3ABpc3T1TC.：AB+；AC44解析作出示意圖

9、如圖所示.1T3TB.TAB；AC44T T T1T1TEB=ED+DB=2AD+?CB1、/ 1T1TT.=2X2(AB+AC)+2(AB3T1T=4AB4AC.故選 A .5. (2018 北京卷,12）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù):的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于1 iA .第一象限C.第三象限B.第二象限D(zhuǎn).第四象限1 1 i1 i解析=2+ 2，其共軛復(fù)數(shù)為12，對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第四象限.1 i2 22 2111 116.（2018 全國(guó)卷n,7）為計(jì)算S=1 2+ 3_4+ 99而，設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入（B ）（岀）M=n,r=o|uA. i = i + 1B. i = i + 2C.

10、 i = i + 3D. i = i + 4解析把各循環(huán)變量在各次循環(huán)中的值用表格表示如下循環(huán)次數(shù)（50）10+1 +1 10+廿1+111N0+10 +1+31 11 1 + + +3 559911 11110+ 2 +0+?+4+T0+20+2+41 11 1-+ -+ +-4 66 1001 11 1 11 ;+匚1二+；二11 112 323 4S121_+_12341 1 11 1- + 二+ +一 -456991001因?yàn)?N = N+ -，由上表知 i 是1-3-5，所以 i =i+2.故選 B .N=Nirl.L7.（2018 天津卷，3）閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序

11、，若輸入 N 的值為 20,則輸出 T 的值為（B ）A.1C. 3解析輸入 N 的值為 20，第一次執(zhí)行條件語句，N= 20, i = 2, N = 10 是整數(shù),T = 0+ 1 = 1 , i = 35 ;第二次執(zhí)行條件語句，N= 20, i = 3,N=20不是整數(shù),i 3 i= 4 5 成立，輸出 T= 2.故選 B .6+ 7i(6+ 7i (1 2i ) 20 5i解析=5 = 4 i.1+ 2i(1+ 2i J1 2i )59.(2018 北京卷，9)設(shè)向量 a= (1,0), b= ( 1, m).若 a 丄(ma b),貝 U m= 1.解析a= (1,0), b= ( 1

12、, m),則 ma b= (m+ 1, m).由 a 丄 ma b)得 a (ma b)= 0,/wir/& (2018 天津卷,9）i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)也=4 - i.1 + 2iT-ri上 5即 m+ 1 = 0,得 m= 1.10. (2018 全國(guó)卷川，13)已知向量 a = (1,2), b= (2, 2), c= (1,從若c/ (2a + b), 則X=.1解析2a + b= (4,2)，因?yàn)?c/(2a+ b),所以 442,得X=刁V 經(jīng)典例題提升能力 A命題方向 1 平面向量的運(yùn)算例 1 (1)如圖，正方形 ABCD 中, M 是 BC 的中點(diǎn)，若 AC =瓜 M +祝，則

13、入方法二：因?yàn)?AC= ?AM +0BD =xAB+ BMl)+1BA + AD) =XAB+ AD)+0AB + AD)C.158解析方法一：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 2,則 A(0,0), B(2,0),C(2,2), M(2,1), D(0,2)，所以 AC = (2,2), AM = (2,1),BD= ( 2,2).由 AC = AM + pBD，得2 2(1=2,(2,2)=)+ 12,2)，即(2,2)=(22 卩,H20,所以、入 + 2 尸 2,解得5所以 H 尸 3故選 B .fef (UiM TV 押5得A=3所以A=-.1.平面向量的線性運(yùn)算要抓住兩

14、條主線：一是基“形”，通過作出向量，結(jié)合圖形分析；二是基“數(shù)”，借助坐標(biāo)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn).2.正確理解并掌握向量的概念及運(yùn)算，強(qiáng)化想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.“坐標(biāo)化”的解題意識(shí)，注重?cái)?shù)形結(jié)合思提醒：運(yùn)算兩平面向量的數(shù)量積時(shí)，務(wù)必要注意兩向量的方向.跟蹤訓(xùn)練Gen zong xun lia n1.過點(diǎn) P(1，.3)作圓 x2+ y2= 1 的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，貝yPA PBT=2解析圓心為 0(0,0)，則 |=2, PA = 1 逬 |卡,/OPA=/OPB =才，則/APB =n3,所以cosZAPB=.33cosn=弓.322.已知向量 a= (3,1), b= (x, 2),

15、c= (0,2)，若 a 丄(b c),則實(shí)數(shù) x 的值為(A )3C.44解析因?yàn)?b c= (x， 4)，又 a 丄 b c)，所以 a (b c)= 3x 4= 0，所以 x= 3.命題方向 2 復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算5入一尸 1,T1T=(AAB +(2 Jdr AD，所以、2 = 1,故選 B .在平行四邊形 ABCD 中，M 為 BC 的中點(diǎn)，若 AB=瓜 M +QB，貝V A= |.解析由圖形可得：AM=AB+|AD,DB = AB AD ,2 1 2X2+得：2AM + DB = 3AB，即 AB = 3AM + 3DB，所以A=-，尸-，所以 入=9.33339規(guī)律總結(jié)例 2 (1

16、)已知復(fù)數(shù) zi= 3 三的實(shí)部為 a,復(fù)數(shù) Z2= i(2 + i)的虛部為 b，復(fù)數(shù) z= b + ai 的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在(D )A 第一象限B 第二象限C.第三象限D(zhuǎn) 第四象限分析先計(jì)算 zi、Z2求出 a、b，再由共軛復(fù)數(shù)的定義求得z，最后寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).3+ i(3 + if1 + i 解析zi= 1 + 2i,1- i(1 - i(1 + i)Z2= i(2 + i) = 1 + 2i ,a = 1, b= 2,.z= 2+ i,-= 2 i 在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(2, 1)在第四象限.(2) 設(shè)(1 + i)x= 1 + yi，其中 x, y 是實(shí)數(shù)，則 |x+ y

17、i| = ( B )A. 1B.2C.3D. 2解析 因?yàn)?1 + i)x= x+ xi = 1 + yi，所以 x= y= 1, |x+ yi| = |1 + i|= 12+ 12= ,2,故 選 B .(3) (2018 鄭州質(zhì)檢二)設(shè) i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z= 比，則|z|= ( B )A. 1B.2C.3D. 22i2解析|z|=1+i=邁=羽規(guī)律總結(jié)1.解決復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算問題，一般都是直接用運(yùn)算法則求或用復(fù)數(shù)相等的條件求解一般是先變形分離出實(shí)部和虛部，把復(fù)數(shù)的非代數(shù)形式化為代數(shù)形式.然后再根據(jù)條件，列方程或方程組.2熟記復(fù)數(shù)表示實(shí)數(shù)、純虛數(shù)的條件，復(fù)數(shù)相等的條件、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的

18、幾何意義是解決復(fù)數(shù)問題的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練匸:Gen zong xun lian1 + z1.設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 =i，則|Z|= ( A)1 zA. 1B.2C .3D . 21 + z 1 + i f 1+ i(1 i 解析因?yàn)?=i，所以 z= i，故|z|= 1.1 z1 + i(1 + i p i)2 若復(fù)數(shù)zz 滿足匚廠1，其中 i 為虛數(shù)單位，則z=(A)B 1+ iC 1 iz_解析由 =i，得 z = i(1 i) = 1 + i, z= 1 i.1 i3.已知 z= (m+ 3) + (m 1)i 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是A ( 3,1)B ( 1,3

19、)C. (1 ,+ )D( a,3)m+ 30解析由已知可得復(fù)數(shù)z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(m+ 3,m 1)，所以m 10解得3m36,輸出 x, y,滿足 C 選項(xiàng).(2)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出 k 的值為 8，則判斷框內(nèi)可填入的條件是(C )第二次： k= 4, s=孑；第三次：k= 6, s= 召；第四次:k= 8, s= 25 輸出 k = 8, swg.規(guī)律總結(jié)解答程序框圖問題的關(guān)注點(diǎn)(1)首先要讀懂程序框圖，要熟練掌握程序框圖的三種基本結(jié)構(gòu)，特別是循環(huán)結(jié)構(gòu)，如累加求和、累乘求積、多次輸入等有規(guī)律的科學(xué)計(jì)算中，都有循環(huán)結(jié)構(gòu).(2)準(zhǔn)確把握控制循環(huán)的變量，變量的初值和循環(huán)

20、條件，弄清在哪一步結(jié)束循環(huán)；弄清循環(huán)體和輸入條件、輸出結(jié)果.(3)對(duì)于循環(huán)次數(shù)比較少的可逐步寫出，對(duì)于循環(huán)次數(shù)較多的可先依次列出前幾次循環(huán) 結(jié)果，找出規(guī)律.易錯(cuò)提醒：解答循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖(流程圖)問題要注意輸出循環(huán)次數(shù)的情況，防止多一次或少一次的錯(cuò)誤.跟蹤訓(xùn)練G.en zong xun lia n1.根據(jù)如圖所示的框圖，對(duì)大于 2 的整數(shù) N，輸出的數(shù)列的通項(xiàng)公式是(C )A.sw3411C.sW石B.SN,執(zhí)行循環(huán)體，a2= 4, S= 4, i = 3,若不滿足條件 iN,執(zhí)行循環(huán)體,a3= 8, S= 8, i = 4,若不滿足條件 iN,執(zhí)行循環(huán)體,a4= 16, S= 16, i

21、= 5.所以an= 2n.C. 9解析由題意得，輸出的S 為數(shù)列 的前三項(xiàng)和,(2n 12 n+ 1 )1 = 1 2n 1 2n+ 121 1)，所以 Sn= 2(12n + 12n+ 1，所以 S3= 7.gf=i*lI2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖.S= ( B例 4 觀察下列等式:照此規(guī)律，（.n卜丄.2n 2丄3n 2丄丄 2nn 24 ,柯市丿+Hn+V+卜n瑋丿=in（n+.4解析每組角的分母恰好等于右邊兩個(gè)相鄰正整數(shù)因數(shù)的和因此答案為？n（n+ 1）.規(guī)律總結(jié)1.在進(jìn)行歸納推理時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論.2 在進(jìn)行類比推理時(shí)，

22、要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過程，然后通過類比，推導(dǎo)出 類比對(duì)象的性質(zhì).3歸納推理關(guān)鍵是找規(guī)律，類比推理關(guān)鍵是看共性.跟蹤訓(xùn)練：*:Gen zong xun lia n（2018 湖北八校聯(lián)考）祖暅（公元前 56 世紀(jì)）是我國(guó)齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家，是祖沖之的兒子他提出了一條原理：“幕勢(shì)既同，則積不容異.”這里的“幕”指水平截面的面積，“勢(shì)”指高.這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩2 2個(gè)幾何體體積相等設(shè)由橢圓=1（ab0）所圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體（如圖）（稱為橢球體），課本中介紹了應(yīng)用祖暅原理求球體體積公式的做法， 請(qǐng)類比此法

23、，求出橢球體體積，其體積等于2n-24x1x2-33一 ?2 nY2 ,.3-25+sin?-:J2 n2 _327+sin7-1J2n-92+ 3sin?吟2)sin竽)2 =齊3X4;+ .+sinf2+sinT2+帥sin3+sinsinf-2+sin+isin4n2=4x2x3；+ +烈竽；2=fx 4X5;4nba.解析橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 a，短半軸長(zhǎng)為 b,現(xiàn)構(gòu)造兩個(gè)底面半徑為 b，高為 a 的圓柱,52n24n2得出橢球的體積 v= 2(V圓柱一 V圓錐)=2(nXb2xa 3Xb2a) = -3xb2a.!課后強(qiáng)化訓(xùn)練1. (2017 全國(guó)卷n,1)號(hào)=(D )A . 1 + 2

24、iB . 1 2iC. 2 + iD . 2 i3+ i (3 + i (1 H 3 3i + i + 1解析帚=；+P=2 =2-i.故選 D .13i2.（文）已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 1+r=（C）B . 2 iD . 1 + 2i1 3i (1 3i (1 i 解析硏廠-T =-1-2i，故選C.(理)若(1 + 2ai)i = 1 bi，其中 a、b R，則 |a + bi| = ( C )A.1+iB.5C_5C.2D.54解析(1+2ai)i=2a+i=1bi,1-a=2，b=1,/5=2 .|a+bi|=|2-i |=.-12+ -123. （2018 濟(jì)南二模）已知數(shù)列an，

25、觀察如圖所示的程序框圖，若輸入=7,則輸出的結(jié)果為（C ）然后在圓柱內(nèi)圓柱上底面為底面的圓錐， 根據(jù)祖暅原理A . 2+ iC. 1 2ia1= 1, d= 2, kC. 52D . 551 1 1 65+11_也)=石.4.設(shè)向量 a, b 滿足 |a + b|=i 20, ab= 4,則 |a b|= (C )A.2B . 2.3C. 2D.6解析向量的數(shù)量積. |a+ b|=Q20, a b= 4,(a + bf |a b|2= 4a b= 16,沖一 b|= 2,故選 C.5.設(shè) x R，向量 a = (x,1), b= (1, 2)，且 a 丄 b,則 |a + b|= ( B )A

26、.5B. 10C. 2 5D. 10解析d Jb,Aa b= 0,.x 2= 0,：x= 2,a + b= (3, 1), |a + b|= . 10.6.(2018 大連一模)某種樹的分枝生長(zhǎng)規(guī)律如圖所示，第1 年到第 5 年的分枝數(shù)分別為1,1,2,3,5，則預(yù)計(jì)第 10 年樹的分枝數(shù)為(D )解析由題中程序框圖知，/SATTZ?715輸出 S=1X3 3X5 5X7J + 丄 +亠=1X(1-1+1-11X13 233S-S-tM第 L 年第詢 勒吋3U 諱和甲A. 21B . 34解析由題意可得，這種樹從第一年的分枝數(shù)分別是1,1,2,3,5,則 2= 1+ 1,3= 1 +2,5=

27、2+ 3,即從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和，所以第10 年樹的分枝數(shù)是 21 + 34=55.故選 D .7下面框圖所給的程序運(yùn)行結(jié)果為S= 28,那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k 的條件是(D )A.k=8?B.kw7?C. k7?解析 開始Tk= 10, S= 1,滿足條件TS= 1 + 10= 11, k= 10 1= 9,滿足條件TS =11 + 9=20, k= 9 1 = 8,滿足條件TS= 20+ 8= 28, k= 8 1= 7由于輸出 S 的值為 28, 故 k= 7 不再滿足條件，故選 D.&設(shè) D , E, F 分別為 ABC 的三邊 BC、CA、AB 的中點(diǎn)，貝 U EB

28、+ FC = ( A )1TT1TB.2AD C.BC D.2BC解析如圖,EB+ FC1TT1TT=2(BA+BC)尹+CA)1 -T-T1 -T-T-T=2 BA+CA)=(AB+AC)=AD.9對(duì)任意向量 a, b,下列關(guān)系式中不恒成立的是(B )A.|ab|w|a|b|A. ADB.|ab|w|a|b|2 2C.(a+b)=|a+b|2 .2D.(a+b) (ab)=ab解析由 |a b|=|a| |b| cosq.因?yàn)?wcosq1,所以 |a b| |a| |b|,故 B 選項(xiàng)不成立；根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律C, D 選項(xiàng)恒成立.10. 36 的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)?

29、36 = 22X32,所以 36 的所有正約數(shù)之和為(1 + 3 + 32)+ (2 + 2X3 + 2X32) + (22+ 22x3 + 22x32) = (1 + 2 + 22)(1 + 3 + 32) = 91,參照上述方法，可求得 200 的所有正約數(shù)之和為(C )A. 201B. 411 C. 465 D. 565解析200 的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)?200 = 23X52,所以 200 的所有正約數(shù)之和為(1 + 2 + 22+ 23) (1 + 5+ 52)= 465,所以 200 的所有正約數(shù)之和為 465.11.設(shè) aR，若復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)

30、應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則a=J.解析(1 + i)(a+ i) = (a 1) + (a+ 1)i,所以 a+ 1= 0, a = 1.12.已知 a = (1,2), b= ( 2, m)，若 a / b,則 |2a+ 3b|等于 4.5.解析 由 a /b? m + 4 = 0,解得 m = 4，故 2a + 3b= 2(1,2) + 3( 2, 4) = ( 4,8),因此 |2a + 3b| = -.42+ 82= 4 5.13 .已知 ABC 的面積為 2百，且 B = 則 AB BC = 4.解析設(shè)ABC 的三角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c,則 S= acsinB43

31、ac= 2 .3,即 ac= 8,AB BC=|AB|BC| cos(nB)=cacos 8X殳=4.14.執(zhí)行下邊的程序框圖，若輸入的x的值為1,則輸出的y 的值為 13.解析第一次執(zhí)行程序，滿足條件XV2, x= 1+ 1 = 2;第二次執(zhí)行程序，不滿足條件XV2, y= 3X22+ 1 = 13,輸出 y= 13,結(jié)束答案為 13.121233123415.（2018 聊城一模）觀察等式：電）+ 叼=1 ； f（4）+f（?+f（4）= 2；f（5）+?。?f（5 + f（5）123455=2； f（6）+ f（6）+ f（6 + f（6）+ f（6）= 2 ；1232 018f(2 0

32、19)+f(2 019)+f(2 019)+f(2 019)=1_009.352345解析從所給四個(gè)等式看：等式右邊依次為1 , , 2, 2，將其變?yōu)?2，2，2，2，可以一 232 018+f(2 019)+f(2 019)+f(2 019)=B 組1 設(shè)復(fù)數(shù) Z1= 1 + i, Z2= 2 + bi，若絲為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù) b 等于(D )Z1A. - 2B. - 1 C. 1 D. 2b 2若其為實(shí)數(shù)，則有 =0，解得 b = 2.2.（文）（2018 石景山檢測(cè)）已知復(fù)數(shù) z= （a2 1）+ （a+ 1）i,若 z 是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) a 等于（B ）A . 2B . 1C. 0D .

33、 1a 1 = 0,解析.Z 為純虛數(shù)，-a = 1.a + 1 工 0,（理）已知復(fù)數(shù) Z1= 1 + i, Z2= a + i，若 Z1Z2為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的值為（B ）A . 1B . 1C. 2D . 2解析-Z1Z2= (a 1) + (a+ 1)i 為純虛數(shù),由以上幾個(gè)等式的規(guī)律可猜想得到右邊是一個(gè)分?jǐn)?shù)，分母為2,分子與左邊最后一項(xiàng)中自變量的分子相同，所以f(12 019)2 0182=1 009.Z22+ bi解析不1 i2+ bia 1 = 0a+ 1 工 0H.3.（2017 全國(guó)卷n,4）設(shè)非零向量 a, b 滿足|a + b|=|a b|,則（A ）A . a 丄

34、bB . |a= |b|C. a / bD . |a|b|解析 方法一 ：Tla + b|= |a b|,|a + bf= |a b|2.2 2 2 2a2+ b2+ 2a b= a2+ b2 2a b.a b= 0.a 丄故選 A .方法二：利用向量加法的平行四邊形法則.在？ABCD 中，設(shè) AB= a, AD = b,由 |a + b|= a b|知 |AC|= |DB|,/.|AC|= |DB|從而四邊形 ABCD 為矩形，即 AB 丄 AD，故 a Jb.故選 A .4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a 值為 1，則輸出的 k 值為（B ）,-a=1.站束 輸人口./ 輸/C. 3一

35、1解析輸入 a = 1，則 b= 1,第一次循環(huán)，a =1 + 1一 1=一 2, k= 2;第三次循環(huán)，a= 1,此時(shí) a= b,結(jié)束循環(huán)，輸出 k= 2故選 B.1 25. (2018 濰坊一模)若復(fù)數(shù) z= m(m 1) + (m 1)(m 2)i 是純虛數(shù)，其中 m 是實(shí)數(shù)，i21=1,則 z 等于(D )解析因?yàn)閺?fù)數(shù) z= m(m 1) + (m 1) (m 2)i 是純虛數(shù)，所以 m(m 1) = 0 且(m 1)(m11i-2)豐o,所以m=,則=-=-.6.設(shè)向量 a, b 滿足 |a|= |b|= |a+ b|= 1，則 |a tb|(t R)的最小值為(A )C. 1D .

36、 2_ _ 2 2 2解析由于 |a|= |b|= |a+ b|= 1,于是 |a+ b| = 1,即 a + 2a b+ b = 1,1即 a b=-.2|a tb|2= a2 2ta b+ t2b2= (1 +12) 2ta b= t2+1 + 14,故 |a tb|的最小值為 于7.如圖所示將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有 n(n1 , n N)個(gè)點(diǎn),9999相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為 an,則- +-+-+-= ( C )a2a3a3a4a4a5a2 018a2 0192 015A -A. 2 01612, k= 1 ；第二次循環(huán),a=2 016B. 2 017ii2 018D . 2 019解析每條邊有 n 個(gè)點(diǎn)，所以三條邊有 3n 個(gè)點(diǎn)，三角形的 3 個(gè)頂點(diǎn)都被重復(fù)計(jì)算了2 017C -.2 01899111一次，所以減 3 個(gè)頂點(diǎn)，即 an= 3n 3,那么- =-=- = -,anan+1(3n 3)x 3n (n 1 p n 1nnr999911111111則融+花+ 猛+ + a2 01832 019=(彳-2)+(23)+(34)+ (20172018)=112 017 c2 018= 2 018故選