極值點(diǎn)偏移問(wèn)題專題.(精選)

1、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題專題（0）偏移新花樣（拐點(diǎn)偏移）2例1已知函數(shù)f x 2ln x x x，若正實(shí)數(shù)xi, X2滿足f Xi +f x? =4 ,求證：x1 x22。證明：注意到 f 1 =2，f +f x? =2f 1f x1 +f x2 =2f 12f x =+2x 10xf x = J22，f 1 =0，則（1,2 ）是f X圖像的拐點(diǎn)，若拐點(diǎn)（1,2）也是f x的x對(duì)稱中心，則有X1 X2=2，證明x1 x2 2則說(shuō)明拐點(diǎn)發(fā)生了偏移，作圖如下想到了“極值點(diǎn)偏移”，想到了“對(duì)稱化構(gòu)造”，類似地，不妨將此問(wèn)題命名為“拐點(diǎn)偏 移”，仍可用“對(duì)稱化構(gòu)造”來(lái)處理.不妨設(shè)0x11 x2，要證X1X2X

2、2f22 x1 x2f12X14f X1f2 X4f xf2 %FXf Xf2 x , x 0,1 ,則FXf Xf 2 x222x 12 2x1X2 x得F x在0,1上單增，有F xF 1214，得證。2、極值點(diǎn)偏移PK拐點(diǎn)偏移常規(guī)套路1、極值點(diǎn)偏移（f xo0）二次函數(shù)f % f x2x 屜2冷2、拐點(diǎn)偏移 f x00f x1f x2X22xo極值點(diǎn)偏移問(wèn)題專題（例1（ 2010天津）已知函數(shù)f X（1 ）求函數(shù)f X的單調(diào)區(qū)間和極值；X2 2xox1T x2X1 X2 2xof x f x22f x0X2X1X22xo1）對(duì)稱化構(gòu)造（常規(guī)套路）Xxe（2 ）已知函數(shù)g X的圖像與f X

3、的圖像關(guān)于直線 X 1對(duì)稱，證明：當(dāng)X 1時(shí),(3)如果 Xi X2，且 f Xif X2 ，證明：為 x22.解:<l)/f(x)=e"(l-x)'得/(力在(一比1)上/，在(1代)上'(工)有極大值 /(l)=i r磁小值：e(2) g(x)的圍像與/(天)的圍像關(guān)于直線畫二1對(duì)禰則承©的解忻貳為v = /(2x), 構(gòu)適輔助團(tuán)數(shù)尸(幻=/心)一=F(x)二 f (工)+ 廣(2-Q= e-x(l-x)+e(x-l)=(龍_1)(嚴(yán)胡x-l>0 f嚴(yán)Lb 0 r則F(x)aO 得F(工I在口燦)上單増胡F(x)>F(l)=Of fiP

4、/(x)>(x).(和由結(jié)合凡力的單調(diào)性可設(shè)AiVlVXi 將藝代入(2)中不等式得”又f(比) = /(£故(易)> 屯)又<1 r 2-x, <1 ,/(丸)在(yd)上單増,故兩> 2-JP； r jq +理>2來(lái)源：微信公眾尋中學(xué)數(shù)學(xué)硏討部落點(diǎn)評(píng)：該題的三問(wèn)由易到難，層層遞進(jìn)，完整展現(xiàn)了處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般方法一一對(duì)稱化構(gòu)造的全過(guò)程，直觀展示如下：X例1是這樣一個(gè)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題：對(duì)于函數(shù)f x xe ，已知f Xjf x2 ，X! x2，證明Xj X22.再次審視解題過(guò)程，發(fā)現(xiàn)以下三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1) Xi, X2 的范圍 0 Xj 1

5、X2 ；(2) 不等式 f x f 2 x x 1 ；（3）將X2代入（2）中不等式，結(jié)合 f X的單調(diào)性獲證結(jié)論.把握以上三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，就可輕松解決一些極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.- x 2例2 （2016新課標(biāo)I卷）已知函數(shù) f x x 2 e a x 1有兩個(gè)零點(diǎn).（1 ）求a的取值范圍；（2）設(shè)為,x2是f x的兩個(gè)零點(diǎn)，證明： 捲 x2 2 .解：（1） 0,，過(guò)程略；（2 ）由（1 ）知f X在 ,1上，在1,上Z，由f X1f X20,可設(shè)x-i 1 x2 .構(gòu)造輔助函數(shù)F x f x f 2 xF x f x f 2 xx 1 ex 2a 1 x e2 x 2ax 1 ex e2 x當(dāng) x

6、1 時(shí)，x 10 , ex e2 x0,則 Fx 0,得F x 在 ,1上 Z，又 F 10 ,故 Fx 0 x 1，即 fx f 2 x x 1 .將捲代入上述不等式中得 f為f x2f 2x-i，又x21 , 2 x11 , f x在1, 上 Z ，故 x1 2 x1 , x1 x2 2.通過(guò)以上兩例，相信讀者對(duì)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題以及對(duì)稱化構(gòu)造的一般步驟有所了解.2但極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的結(jié)論不一定總是X1 X22x。，也可以是X1X2x0，借鑒前面的解題經(jīng)驗(yàn)，我們就可給出類似的過(guò)程.例3已知函數(shù)fxxl nx的圖像與直線ym交于不同的兩點(diǎn)A X1,y1 , B x?,y2 ,求證：1X1X22 .

7、e證明：(i) f xIn x 1,得 f x 在 0,1上，在1上Z ;當(dāng)0 x 1時(shí),eef X0 ； f 10 ；當(dāng) x 1 時(shí)，f x0 ；當(dāng)x 0時(shí)，fx0 （洛必達(dá)法則）；當(dāng)x時(shí)，f X是f x的圖像如下，得0 Xi-e(ii)構(gòu)造ffl»F(x)=/(x)-/f則f丄1+恤丄； e xjy<0 F則K(r)>0 r得戸在0=- ；±/ .有當(dāng) Oc 耳 <丄時(shí)* 1+ In a <0 r 1 in ee"x珥對(duì)"-1 = 0 f即幾工）仁人（iii）將兩代入（ii）中不等式得f （西）I 又 /(*!)= /()故上 / r 故 x, < -<-y .來(lái)瀝:微信公2中學(xué)數(shù)學(xué)硏討部落 e"小結(jié)：用對(duì)稱化構(gòu)造的方法解極佳點(diǎn)偏移問(wèn)題大致分為以下三步: stepi :求導(dǎo)，獲得f x的單調(diào)性，極值情況，作出f x的圖像，由f石 f X,得Xi,X2的取值范圍（數(shù)形結(jié)合）；step2 :構(gòu)造輔助函數(shù)（對(duì)結(jié)論 x22x0，構(gòu)造F x f x f 2x0 x ；對(duì)結(jié)2論x1x2球