初二幾何中常用輔助線的添加

1、一. 教學(xué)內(nèi)容：寒假專(zhuān)題初二幾何中常用輔助線的添加 【典型例題】（一）添加輔助線構(gòu)造全等三角形  例1. 已知：ABCD，ADBC。       求證：ABCD       分析：證明線段相等的方法有：（1）中線的定義；（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；（3）等式的性質(zhì)。       在本題中，我們可通過(guò)連結(jié)AC，構(gòu)造全等三角形來(lái)證明線段相等

2、。       證明：連結(jié)AC       ABCD，ADBC       13，24       在ABC和CDA中              ABCCDA（ASA） 

3、      ABCD （二）截長(zhǎng)補(bǔ)短法引輔助線       當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、b、c有下列情況時(shí)：，如直接證不出來(lái)，可采用截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等，這兩種方法放在一起叫截長(zhǎng)補(bǔ)短法。       通過(guò)線段的截長(zhǎng)補(bǔ)短，構(gòu)造全等把分散的條件集中起來(lái)。  例2. 如圖，ABC中，ACB2B，12。&

4、#160;      求證：ABACCD       證法一：（補(bǔ)短法）       延長(zhǎng)AC至點(diǎn)F，使得AFAB       在ABD和AFD中              ABDAFD（S

5、AS）       BF       ACB2B       ACB2F       而ACBFFDC       FFDC       CDCF   

6、;    而AFACCF       AFACCD       ABACCD       證法二：（截長(zhǎng)法）       在AB上截取AEAC，連結(jié)DE       在AED和ACD中  &

7、#160;           AEDACD（SAS）                 例3. 如圖，在RtABC中，ABAC，BAC90°，12，CEBD交BD的延長(zhǎng)線于E，證明：BD2CE。       分析：這是一道證明一條

8、線段等于另一條線段的2倍的問(wèn)題，可構(gòu)造線段2CE，轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問(wèn)題，分別延長(zhǎng)BA，CE交于F，證BEFBEC，得，再證ABDACF，得BDCF。       證明：分別延長(zhǎng)BA、CE交于點(diǎn)F       BECF       BEFBEC90°       在BEF和BEC中  &

9、#160;           BEFBEC（ASA）              BAC90°，BECF       BACCAF90°，1BDA90°，1BFC90°      

10、 BDABFC       在ABD和ACF中              ABDACF（AAS）       BDCF       BD2CE （三）加倍法和折半法     

11、60; 證明一條線段是另一條線段的兩倍，常用如下方法：將較短線段延長(zhǎng)一倍，然后證明它和較長(zhǎng)線段相等，或?qū)⑤^長(zhǎng)線段折半，然后證明它和較短線段相等，這種方法稱為加倍法和折半法。  例4. 已知：如圖，AD是ABC的中線，AE是ABD的中線，ABDC，BADBDA。       求證：AC2AE       分析：欲證AC2AE，只要取AC的中點(diǎn)，證其一半與AE相等，或延長(zhǎng)AE至等長(zhǎng)，證其與AC相等，由于AE是ABD的中線

12、，故考慮延長(zhǎng)AE至F，使EFAE，證AFAC。（此種方法我們又稱為中線倍長(zhǎng)法）       只要證ABFADC，觀察圖形發(fā)現(xiàn)，可以證明ADEFBE，則可得出BFAD，尚需條件ADCFBA，而這可由外角的性質(zhì)推出。       證明：延長(zhǎng)AE至F，使EFAE，連結(jié)BF       AE是ABD的中線       BEED

13、       在BEF和DEA中              BEFDEA       EBFBDA，BFDA       BADBDA       EBFBAD 

14、0;            在ADC和FBA中              ADCFBA       ACAF       又AF2AE     

15、60; AC2AE （四）利用角平分線的性質(zhì)來(lái)添加輔助線       有角平分線（或證明是角平分線）時(shí)，常過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角兩邊作垂線段，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等證題。  例5. 已知：ABC的B、C的外角平分線交于點(diǎn)P。       求證：AP平分BAC       證明：過(guò)P點(diǎn)作PDAC于D點(diǎn)，PFAB于F點(diǎn)，PEBC于

16、E點(diǎn)       PC，BP為ABC的B、C的外角平分線       PDAC，PEBC       PDPE（角平分線性質(zhì)）       同理：PFPE       PDPF（等量代換）      

17、 AP平分BAC（角平分線性質(zhì)逆定理）   例6. 已知：如圖，12，P為BN上一點(diǎn)，且PDBC于D，ABBC2BD。       求證：BAPBCP180°       分析：要證BAPBCP180°，而由圖可知BAPEAP180°，故只要證EAPBCP即可。由12，PDBC，想到過(guò)P點(diǎn)向BA作垂線PE，有PEPD，BEBD，又由，得AECD，故APECPD，從而有EAPBC

18、P，問(wèn)題得證。       證明：過(guò)點(diǎn)P作PEBA于E       PDBC，12       PEPD（角平分線的性質(zhì)）       在RtBPE和RtBPD中              RtBPERtBPD（HL）       BEBD                     P