雨中行走問題的數(shù)學建模

1、雨中行走問題的數(shù)學建模 要在雨中沿直線從一處跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學模型討論是否跑得越快，淋雨量越少。 將人體簡化為長方體，高a=1.5米（頸部以下），寬b=0.5米，厚c=0.2米，設跑步距離d=1000米，跑步最大速度Vm=5米/秒，雨速u=4米/秒，降雨量w=2cm/h,記跑步速度為v,按一下步驟進行討論。 （1）不考慮雨的方向，設降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計跑完全程的總淋雨量。 （2）雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體 的夾角為x，如圖一，建立總淋雨量與速度v以及參數(shù)a、b、c、d、u、w、x之間關系，問速度v多大，總淋雨量最少，計算x=0，

2、x=30時的總淋雨量。 （3）雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為y,如圖2，建立總淋雨量與速度v以及參數(shù)a、d、c、d、u、w、y之間的關系，問速度v多大，總淋雨量最少，計算y=30時的總淋雨量。 （4） 以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對（3）進行作圖，并解釋結(jié)果的實際意義。 （5）若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會有什么變化 。問題分析：在我們的日常生活中，下雨天氣是不可避免的，當我們遇到此類的天氣且身上沒有攜帶避雨的雨具時，是否快跑就會減少身上的淋雨量呢？就此問題我們做一個模型假設查探我們的問題。模型假設：將人體簡化成一個長方體，高a=1.5m,寬b=

3、0.5m.厚c=0.2m；設跑步的距離為1000m，跑步的最大速度Vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h模型建立：  模型一:（1）題中所述不考慮雨的方向，假設降雨淋遍全身，此時的雨速也是均勻下落，由假設人體為長方體可知，該人體的表面積s=2ab+2ac+bc，因為跑步距離d=1000m，所以該人在雨中的淋雨時間t=d/Vm，在該時間內(nèi)的降雨量w=2cm/h=(0.0001/18)m/s 所以，總淋雨量Q=s*t*w。 模型二：（2）1當雨迎面吹來時該人只有頭頂和迎面淋雨，設頭頂部淋雨量為Q1，由圖一可知淋雨面積s1=bc,淋雨的時間t1=d/v，淋雨量（降

4、雨方向與雨速方向應在一條線上）為w*cosx,由此可知淋雨總量Q1=s1*t1*w*cosx。 2由圖一可知，雨速在水平方向上的水平分量為u*sinx（方向與v相反），設定參照物后水平方向上的合成速度為u*sinx+v,淋雨面積s2=a*b,淋雨的時間t2=d/v,淋雨量為w*sinx+w*v/u(即本身的淋雨量加上人相對雨速的淋雨量)，迎面淋雨量Q2=s2*t2*w*(usinx+v)/u。由此可以得到該人在單位時間和單位面積內(nèi)的總淋雨量Q=Q1+Q2=(0.01cosx)/(18*v)+0.075*(4sinx+v)/(18*v)模型三：(3)當雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向一致時，設定

5、參照物后人參考速度|u*siny-v|，當u*siny-v>0時，即雨速在水平上的分量小于人的速度，此時在水平方向上的合成速度是v-u*siny，此時的人的淋雨總量可分為兩部分：頭頂部分Q3和背面部分Q4,；1頭頂部淋雨量為Q3，由圖二可知淋雨面積s1=bc,淋雨的時間t3=d/v，淋雨量（降雨方向與雨速方向應在一條線上）為w*cosx,由此可知該人在單位時間和單位面積內(nèi)的淋雨總量Q3= s1*t1*w*cosx。2由圖二可知，雨速在水平方向上的水平分量為u*sinx（方向與v相反），設定參照物后人的參考速度為v-u*siny,淋雨面積s2=a*b,淋雨的時間t2=d/v,降雨

6、量w=w*（v/u）-wsiny，所以該人在單位時間和面積內(nèi)的總的淋雨量 Q4=s2*t2*w*(v-u*siny)/u=abdw(v-u*siny)/uv=0.0010461(1-siny/v)。所以降雨總量Q=Q3+Q4=（0.01cosy）/(18*v)+0.0010461(1-siny/v)當u*siny-v>0時，即雨速在水平上的分量大于人的速度，此時的人的淋雨總量可分為兩部分：頭頂部分Q5和背面部分Q6。  3頭頂部淋雨量為Q5，由圖二可知淋雨面積s1=bc,淋雨的時間t3=d/v，淋雨量（降雨方向與雨速方向應在一條線上）為w*cosx,由此可知淋雨總量Q5=

7、60;s1*t1*w*cosx  4由圖二可知，雨速在水平方向上的水平分量為u*siny-v（方向與v相反），此時在水平方向上的合成速度為u*siny-v,淋雨面積s2=a*b,淋雨的時間t2=d/v,，降雨量w=wsinx-w*v/u,此時該人的淋雨總量Q6= s2*t2*w*(usinx+v)/u所以降雨總量Q=Q5+Q6=0.0027778*（0.2cosy-1.5siny）/v+1.54:根據(jù)三中所求的降雨總量然后對式子分別求導可以可畫出圖如下：模型求解：由于該模型是在理想情況下假設的，由以上模型（1 (2(3可求出下列數(shù)值：（1） 帶入數(shù)據(jù)可求出以下未知量：表面積

8、s=2ab+2ac+bc=2*1.5*0.5+2*1.5*0.2+0.5*0.2=2.2 跑步的時間t=d/vm=1000/5=200s, 總的淋雨量Q=s*t*w=2.44L結(jié)果分析：由這些數(shù)值可知：隨著人跑步的速度逐漸變快，人的淋雨量越少，跟我們在實際生活中相差不大，只是這是在理想模型下建立的求解，因為在實際的生活中人的跑步速度不肯能是勻速的，而且人的速度也不可能是一直增加的。（2） 帶入數(shù)據(jù)可求出以下未知量：  頭頂淋雨量：Q3=s1*t1*w*cosx =(0.01cosx)/(18*v)  迎面淋雨量：Q4= s2*t2*w

9、*(usinx+v)/u =0.0010461(1-siny/v)總的淋雨量 Q=Q3+Q4=0.01cosy/(18*v)+0.0010461(1-siny/v)=0.00069445(0.2cosy-1.5siny)/v+1.5   由題可知該人在雨中的最大速度是v=vm，所以當v=vm時，Q最小，此時帶入數(shù)據(jù)可知Q=0.694*(0.8cosx+6sinx)/v+1.5， x=0，速度v=vm=5m/s,Q=1.152L x=30, 速度v=vm=5m/s,Q=1.554L結(jié)果分析：在該模型中只考慮到了頂面和人的迎雨面，可以看出

10、在該模型下人跑的越快，淋雨就越少，這個與模型二很相似，可是在實際情況我們也應該考慮到人的背面是否淋雨，在模型三中就解釋了這個問題。(3) 帶入數(shù)據(jù)可求出下列：頭頂淋雨量：Q5=s1*t1*w*cosx =(0.01cosy)/(18*v)  迎雨面淋雨量：Q6= s2*t2*w*(usinx+v)/u=abdw(u*siny-v)/uv 總的淋雨量：Q=Q5+Q6=0.0027778*（0.2cosy-1.5siny）/v+1.5若c*cosy-a*siny<0.即tany>c/a，此時v=usiny時Q最小， 當y=30時,v=usiny=4*sin30=2m/s,  此時Q=0.0027778*（0.2cos30-1.5sin30）/v+1.5=0.24L，當v=vm時，y=30,Q=0.93L.由此可知，當v=usiny時，淋雨量是最小的。結(jié)果分析：在該模型中考慮到雨的方向問題，這個模型跟模型二相似，將模型二與模型三綜合起來跟實際的生活就差不多很相似了 。由這三個模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少。4:當雨從人體背面