代數(shù)式求值方法

1、點(diǎn)擊代數(shù)式求值方法運(yùn)用已知條件，求代數(shù)式的值是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一。它除了按常規(guī)代入求值法，還要根據(jù)題目的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ê图记桑拍苓_(dá)到預(yù)期的目的。下面舉數(shù)例介紹常用的幾種方法和技巧。一、常值代換求值法常值代換法是指將待求的代數(shù)式中的常數(shù)用已知條件中的代數(shù)式來(lái)代換，然后通過(guò)計(jì)算或化簡(jiǎn)，求得代數(shù)式的值。例1 已知ab=1，求的值解 把a(bǔ)b=1代入，得 = = =1評(píng)注 將待求的代數(shù)式中的常數(shù)1，用ab代入是解決該問(wèn)題的技巧。而運(yùn)用分式的基本性質(zhì)及運(yùn)用法則，對(duì)代入后所得的代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決該問(wèn)題的保證。二、運(yùn)用“非負(fù)數(shù)的性質(zhì)”求值法該法是指運(yùn)用“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)應(yīng)

2、為零”來(lái)確定代數(shù)式中的字母的值，從而達(dá)到求代數(shù)式的值的一種方法。* 本文與伍銀平同志合作，首刊于數(shù)理化解題研究（哈爾濱師范大學(xué)）2004年第10期。例2 若實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求之值。解 a2b2+a2+b2-4ab+1=(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2)=(ab-1)2+(a-b)2則有(ab-1)2+(a-b)2=0解得 當(dāng)a=1，b=1時(shí)，=1+1=2當(dāng)a=-1，b=-1時(shí)，=1+1=2 評(píng)注 根據(jù)已知條件提供的有價(jià)信息，對(duì)其進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆纸M分解，達(dá)到變形為幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，這一新的“式結(jié)構(gòu)”是解決本題的有效策略，解決本題要注意分類(lèi)討論的方法的

3、運(yùn)用。三、整體代入求值法整體代入法是將已條件不作任何變換變形，把它作為一個(gè)整體，代入到經(jīng)過(guò)變形的待求的代數(shù)式中去求值的一種方法。例3 若x2+x+1=0，試求x4+2003x2+2002x+2004的值。解 x4+2003x2+2002x+2004= x4-x+2003x2+2003x+2003+1=x(x-1)(x2+x+1)+2003(x2+x+1)+1又x2+x+1=0x4+2003x2+2002x+2004=1評(píng)注 x2+x+1=0 x不是實(shí)數(shù)，那么通過(guò)求出x的值，再求代數(shù)式x4+2003x2+2002x+2004之值，顯然枉然無(wú)望。對(duì)求值的代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，將已知條件整體代入到求

4、值的代數(shù)式中去，是解決本題的方法又是解決本題的技巧。四、因式分解求值法因式分解法求代數(shù)式的值是指將已知條件和求值的代數(shù)式之一或全部進(jìn)行因式分解，達(dá)到求出代數(shù)式的值的一種方法。例4 已知|a|+|b|=|ab|+1， 求a+b之值解 |a|+|b|=|ab|+1|a|b|-|a|-|b|+1=0(|a|-1)(|b|-1)=0|a|=1 |b|=1a=1或b=1.則當(dāng)a=1，b=1時(shí)，a+b=2當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，a+b=0當(dāng)a=-1，b=1時(shí)，a+b=0當(dāng)a=-1，b=-1時(shí)，a+b=-2評(píng)注 運(yùn)用該法一般有兩種途徑求值，一是將已知條件變形為一邊為0，另一邊能分解成幾個(gè)因式的積的形式，運(yùn)用“

5、若AB=0，則A=0或B=0”的思想來(lái)解決問(wèn)題。另一種途徑是對(duì)待求的代數(shù)式進(jìn)行因式分解，分解成含有已知條件的代數(shù)式，然后再將已知條件代入求值。五、運(yùn)用倒數(shù)求值法倒數(shù)法是指將已知條件或待求的代數(shù)式作倒數(shù)變形，從而達(dá)到求出代數(shù)式的值的一種方法。例5 已知，求的值。解 由已知，得 所以，則=評(píng)注 采用此法要注意先對(duì)已知部分和求值的代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，后再作選擇。像本題先對(duì)待求的代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)得到結(jié)果為，根據(jù)這樣一個(gè)“式結(jié)構(gòu)”，再觀察已知條件的“式結(jié)構(gòu)”，顯然想到，將已知條件采用倒數(shù)變形，用“化部分商”的方法，求出的值代入。六、分解質(zhì)因數(shù)求值法此法是將有關(guān)信息進(jìn)行分解重組，運(yùn)用質(zhì)因數(shù)的特有的性質(zhì)，求出

6、代數(shù)式中所含字母的值，從而達(dá)到求出代數(shù)式的值的一種方法。例6 已知m、n為正整數(shù)，且12+22+92+92+m2=n2，求2m-n的值。解 n2=m2+167(n-m)(n+m)=1167又m、n為正整數(shù)，167是質(zhì)數(shù) 當(dāng)m=83，n=84時(shí)，2m-n=283-84=82評(píng)注 m、n為正整數(shù)，167是質(zhì)數(shù)，是由“(n-m)(n+m)=1167得到n-m=1且m+n=167”這一結(jié)論的重要保證，離開(kāi)了這一條件，則m、n之值難以確定，那么代數(shù)式2m-n的值就無(wú)法求出。七、比值求值法比值求值法是指已知條件中等式的個(gè)數(shù)少于所含字母的個(gè)數(shù)時(shí)，通過(guò)方程(組)將已知條件中所含字母的比值求出，從而求出代數(shù)式的

7、值。例7 設(shè)a+2b-5c=0，2a-3b+4c=0(c0)，求的值。解 把已知等式看作關(guān)于a，b的方程組c0 a：b：c=1：2：1設(shè)a=k, 則b=2k , c=k.=-評(píng)注 該法適合于求值的分式中的分子和分母的都含有相同的次數(shù)（齊次）的多項(xiàng)式。否則即是將求值的代數(shù)式中的字母的比值求出來(lái)，也不能達(dá)到求出代數(shù)式的值的目的。八、用字母表示數(shù)求值法字母表示 數(shù)求代數(shù)式就是將已知條件或求值的代數(shù)式中某些較復(fù)雜的部分用字母來(lái)表示，再通過(guò)計(jì)算或化簡(jiǎn)，從而求出代數(shù)式的值。例8 設(shè)a= -求2004a-1之值解 設(shè)A=則a= =A(1+A)+=2004a-1=2004-1=0評(píng)注 我們用字母A來(lái)代替已知條

8、件中的這種思想稱(chēng)之為“用字母表示數(shù)”的思想，它是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是我們學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)的靈魂。對(duì)于遇到既復(fù)雜又重復(fù)出現(xiàn)的較大塊模(指數(shù)或式)，可考慮使用該種方法來(lái)解決問(wèn)題。九、“”求值法“”法是指將已知條件中的某一參數(shù)作為變量，其余參數(shù)作為常量，構(gòu)出一個(gè)一元二次方程，由二次方程必有實(shí)根得出0，從而求出代數(shù)式的值。例9 設(shè)a、b、c、d都是不為零的實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足(a2+b2)d2+b2+c2=2(a+c)bd，求b2-ac的值。解 將已知等式整理成關(guān)于d的二次方程(a2+b2)d2-2b(a+c)d+(b2+c2)=0=4b2(a+c)2-4(a2+b2) (b2+c2) =-4(b2-ac)2

9、d是實(shí)數(shù)，0即-4(b2-ac)20 則b2-ac=0 評(píng)析 解決該題的絕妙之處是通過(guò)構(gòu)造出現(xiàn)-4(b2-ac)20這樣一個(gè)數(shù)學(xué)式子，運(yùn)用該法一定要出現(xiàn)“若一個(gè)非正數(shù)大于0，則這個(gè)非正數(shù)必為零”這樣一個(gè)結(jié)論，否則，不能運(yùn)用該法確定有關(guān)參數(shù)的數(shù)值。十、運(yùn)用韋達(dá)定理逆定理求值法運(yùn)用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值是將已知條件中式結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為兩數(shù)之和，兩數(shù)積的形式，根據(jù)它構(gòu)造出一元二次方程，求出代數(shù)式的值。例10 已知a、b、c為實(shí)數(shù)且a+b=5 c2=ab+b-9，求a+b+c之值。解 a+b=5 c2=ab+b-9則b，a+1為t2-6t+c2+9=0兩根a，b為實(shí)數(shù) b，a+1為實(shí)數(shù)，則t2-6t+c2+9

10、=0有實(shí)根=36-4(c2+9)= -4c20 c=0則a+b+c=5+0=5 評(píng)注 運(yùn)用該法一定要注意將已知條件轉(zhuǎn)化成兩數(shù)之積及二數(shù)之和這一形式，從而達(dá)到構(gòu)造一元二次方程的目的。思考:若a2-7a-5=0，b2-7b-5=0，求之值,思考如何構(gòu)造。十一、配偶求值法配偶法是指將一個(gè)不是輪換對(duì)稱(chēng)式的式子通過(guò)配對(duì)變形，將之變換成輪換對(duì)稱(chēng)式，從而達(dá)到求值的目的的一種方法。例11 已知x2-x-1=0的兩根為a、b，求之值。 解 根據(jù)題意有 設(shè)y=，則有y+，即y2+3y+1=0， y=評(píng)注 本題若將x的值通過(guò)解一元二次方程求出來(lái)，再求的值，實(shí)在較復(fù)雜麻煩。但要求的代數(shù)式是關(guān)于兩根的非輪換對(duì)稱(chēng)式的值，

11、因?yàn)楦鶕?jù)根與系數(shù)的關(guān)系，只能求出關(guān)于兩根的輪換對(duì)稱(chēng)式的值,因此,想到必須將兩根的“非輪換對(duì)稱(chēng)式”通過(guò)配偶成“輪換對(duì)稱(chēng)式”來(lái)解決問(wèn)題。顯然采用這種方法有相當(dāng)大的技巧性,我們?cè)诮忸}過(guò)程中要注意體會(huì)積累,內(nèi)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 十二、數(shù)形結(jié)合求值法 數(shù)形結(jié)合求值是指根據(jù)題目中的數(shù)或形的意義，利用“式結(jié)構(gòu)”和“形結(jié)構(gòu)”的特征及相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到求值的一種方法。 例12 如圖，數(shù)軸上表示1、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，設(shè)點(diǎn)C所表示的數(shù)為x，求x+的值。 C A B -1 0 x 1 解 根據(jù)題意，得AB=-1，AC=AB AC=-1 則x=1-(-1)=2- 故x+=2-+評(píng)注 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求代數(shù)式的值，關(guān)鍵的是要根據(jù)“圖形”或“代數(shù)式”所提供的信息，揭示“數(shù)”與“形”之間的規(guī)律，架設(shè)“數(shù)”與“形”之間的橋梁，謀求“數(shù)”與“形”的辯證統(tǒng)一。十三、賦值求值法賦值求值法是指代數(shù)式中的字母的取值由答題者自己確定，從而，求