現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)-ch2第二章線性控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析ppt課件

1、2022-1-312022-1-311 1第二章第二章 線性控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析線性控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析線性定常齊次形狀方程的解矩陣指數(shù)函數(shù)形狀轉(zhuǎn)移矩陣線性定常非齊次形狀方程的解Ate)(0tt 2022-1-312022-1-312 2),(BA 0 u)0(| )(,0 xtxAxxt x)(| )(,00txtxBuAxxtt ),(BA ux2022-1-312022-1-313 3第一節(jié)第一節(jié) 線性定常齊次形狀線性定常齊次形狀方程的解方程的解2022-1-312022-1-314 4滿足初始形狀 的解是：1、標(biāo)量齊次微分方程：axx )0(| )(0 xtxt 滿足初始形狀 的解是：滿足

2、初始形狀 的解是：2、齊次形狀方程( )( )x tAx t00)(, )()(0tttxetxttA )0(| )(0 xtxt 0, )0()( txetxAt)(| )(00txtxtt )0()(xetxat 其中： 022!1!1! 21kkkkkAttAktAktAAtIe 定義為矩陣指數(shù)函數(shù)，和A一樣也是nn階方陣Ate2022-1-312022-1-315 5將式(4)代入式(1)，即可得到通解為：0022)!1! 21()(xextAktAAtItxAtkk 50!1bAkbkk 式(3)左右兩邊t的同次冪的系數(shù)兩兩相等得：4)(222101121 kkkktbtbtbbAt

3、kbtbb(1)(2)代入形狀方程得：3設(shè)齊次形狀方程的解為in 1是列向量b kktbtbtbbtx2210)(當(dāng) 時(shí)，由上式可得 0 t0)0(bx 此處1式(1)左右求導(dǎo)得： 1212)(kktkbtbbtx2axx 標(biāo)量齊次形狀方程待定系數(shù)法！待定系數(shù)法！2022-1-312022-1-316 6)()0()(sAXxssX 兩邊取拉氏變換得：)0()()(1xAsIsX 整理得：齊次形狀方程：Axx 初始形狀為：)0(| )(0 xtxt )(11 AsILeAt與直接求解的結(jié)果(5)比較，由解的獨(dú)一性得：)0()()(11xAsILtx 拉氏反變換得：62022-1-312022-

4、1-317 7第二節(jié)第二節(jié) 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算方法和計(jì)算方法2022-1-312022-1-318 82、 IeeAttA 0)(證明：矩陣指數(shù)函數(shù)定義中，令t0即可得證3、 總是非奇特的，必有逆存在，且：AtAtee 1)(AteIeeeteeeAAtAttAAAt 0)(，有有，令令 AtAtee 1)(1、設(shè)A為nn階矩陣，t1為t2兩個(gè)獨(dú)立自變量，那么有：2121)(AtAtttAeee 證明：根據(jù)定義證明2022-1-312022-1-319 95、對(duì) 有：AteAeAeedtdAtAtAt )(BtAttBAeee )(4、對(duì)于nn階方陣A和B： 假設(shè)A和B

5、可交換，即AB= BA，那么 假設(shè)A和B不可交換，即AB BA，那么BtAttBAeee )(6、假設(shè)P是非奇特陣，即 存在，那么必有：PePeAtAPtP11 Ate1 P11 PPeeAPtPAt和PAPPAAAPAPPAPPAPPiii11111)()( 個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)由定義證明2022-1-312022-1-3110107、假設(shè)A是nn階對(duì)角陣，那么 也是nn階對(duì)角陣：Ate ttttttAtnneeeeeediage 00,2121 nndiagA 00,2121那么有：假設(shè)：2022-1-312022-1-3111118、假設(shè) 是mm階的約當(dāng)塊：mmiiiiA 0101那么有：iA tt

6、tmttmttAiiiiiiieteetmteettmtee 000)!1(11000)!1(11112022-1-312022-1-311212其中 是約當(dāng)塊其中 是對(duì)應(yīng)約當(dāng)塊 的矩陣指數(shù)函數(shù)。9、當(dāng)A是約當(dāng)矩陣時(shí)： tAtAtAAtneeee0021 nAAAA0021那么有：iAtAieiA 2000120001200001A2022-1-312022-1-311313 直接求解法：根據(jù)定義 拉氏變換求解： 規(guī)范型法求解：對(duì)角線規(guī)范型和約當(dāng)規(guī)范型非奇特變換 待定系數(shù)法： 凱萊哈密頓簡(jiǎn)稱C-H定理求出的解不是解析方式，適宜于計(jì)算機(jī)求解。kkAkkkAAAttttAtIekk!0!2!22

7、對(duì)一切有限的t值來說，這個(gè)無窮級(jí)數(shù)都是收斂的 2022-1-312022-1-311414)(11 AsILeAt關(guān)鍵是必需首先求出sI-A的逆，再進(jìn)展拉氏反變換。 對(duì)A進(jìn)展非奇特線性變換，得到：APPA1 聯(lián)立上兩式，得到：1 PPeetAAt有二種規(guī)范方式： 對(duì)角線矩陣、約當(dāng)矩陣A11 PPeeAPtPAt2022-1-312022-1-31151511001 PeePPPeetttAAtn 其中： P為使A化為對(duì)角線規(guī)范型的非奇特變換矩陣。1當(dāng)A的特征值 為兩兩相異時(shí)：對(duì)角線規(guī)范型n ,21i i ivPvvAIAIAiiii 0)(0)det( 即：即：2022-1-312022-1-

8、3116162當(dāng)A具有n重特征根 ：約當(dāng)規(guī)范型 i 其中： Q為使A化為約當(dāng)規(guī)范型的非奇特變換矩陣。111000)!1(1 QeteetnteeQQQeetttntttAAtiiiii 的的矩矩陣陣指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)約約當(dāng)當(dāng)矩矩陣陣Ai tAe2022-1-312022-1-311717Ate0|)(0111 aaaAIfnnn 0)(0111 IaAaAaAAfnnn設(shè)nn維矩陣A的特征方程為：那么矩陣A滿足其本身的特征方程，即：2022-1-312022-1-311818 10njjmjmAA 并令 即可得到如下的結(jié)論： 0!)(mmjmjmtt 即：將此式代入 的定義中：Ate 01000

9、10!mmjmnjjmmjnjmjmmmAtmtAAmtAmte 其中： 為t的標(biāo)量函數(shù)，可按A的特征值確定。Ate根據(jù)C-H定理，可將 化為A的有限項(xiàng)表達(dá)式，即封鎖方式：111010)()()()( nnnjjjAtAtaAtaItaAtae)(,),(),(110tatatan Ate2022-1-312022-1-3119191A的特征值 兩兩相異時(shí)，n,21tttnnnnnnnneeetatata211121222211211110111)()()(留意求逆1110111011)()()()()()(nnnnAttAAtaAtaItaPAtaAtaItaPPePeiiiiAAPPAPP

10、APPPAAAPPAP 個(gè)個(gè))()(11111tniniietatata1110)()()(推導(dǎo)時(shí)可看到：121210( )( ).( )( )Atnnnnet At At At I12nttAtteeee12kkkknAA特征值互異，為:n.,21tttnnnnnnnneeettt21)()()(111110121222211211 由上式可計(jì)算)(),(.),(),(0121ttttnn2022-1-312022-1-312121 tttnntnnnnnnnnnneteetetntatatata1111!112)!2(11)!1(111121121!11131!2)2)(1(1121012

11、1000)1(1001000)()()()( 留意求逆2A的特征值為 (n重根1 )3()()()(1111110tnnetatata 短少n-1個(gè)獨(dú)立方程，對(duì)上式求導(dǎo)n-1次(按特征值)，得到其他n-1個(gè)方程1 2022-1-312022-1-312222 3210AtAie 2用第二種方法拉氏變換法求解： )2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(3)23(213112321ssssssssssssssssAsI 11)( AsILeAt1()atL esa2022-1-312022-1-312323 ttttttttssssssssssssssssssAteeeeeeeeLLe

12、222222112212211121121)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(3122223用第三種方法規(guī)范型法求解：得： ，具有互異特征根，用對(duì)角線規(guī)范型法。且A為友矩陣方式。2, 121 先求特征值：0)2)(1(23321|2 AI2022-1-312022-1-312424 11121112211111121PP ttttttttttttttAteeeeeeeeeeeeeee22222222222111221112002111112100PeePPPeetttAAt2022-1-312022-1-312525 ttAteetataAtaItae21121101011)(

13、)()()( 4用第四種方法待定系數(shù)法求解. tttttttteeeeeeeetata2222110211122111)()(在第3種方法中曾經(jīng)求得特征根，所以得：求得矩陣指數(shù)函數(shù)如下：2022-1-312022-1-312626 ttttttttttttAteeeeeeeeeeeeAtaItae2222221022223210)(1001)2()()(tetata1110)()( tetata2210)()( tteetata21)()(111021 )(tai2022-1-312022-1-312727 032100010AtAietetatata1212110)()()( 先求特征值：0

14、| AI 求得：1, 2321 當(dāng) 時(shí)，有21 tetatata2222210)()()( 當(dāng) 二重根時(shí)，有132 ttetata2221)(2)( 上式對(duì) 求導(dǎo)1次，得到另一個(gè)方程：2 2022-1-312022-1-312828122201121201222122( )( )( )( )( )( )( )2( )ttta ta ta tea ta ta tea ta tte得到方程組：12221102221221( )1( )012( )ttta tea tea tte寫成矩陣方式為：整理得：12212011212222( )1( )1( )012ttta tea tea tte2022-

15、1-312022-1-312929 )3()322()68(210111421)()()(2912912911210221ttttttttttttteeeteeeteeeteeetatata 可以求出：2210)()()(AtaAtataeAt 所以：可以求出矩陣指數(shù)函數(shù)。2022-1-312022-1-313030第三節(jié)第三節(jié) 形狀轉(zhuǎn)移矩陣形狀轉(zhuǎn)移矩陣2022-1-312022-1-313131線性定常系統(tǒng)的齊次形狀方程：Axx 滿足初始形狀 的解是：)0(| )(0 xtxt )0()(xetxAt 滿足初始形狀 的解是：)()(0)(0txetxttA )(| )(00txtxtt 線性

16、定常系統(tǒng)的形狀轉(zhuǎn)移矩陣 )()(0)(0ttetettAAt 令： 那么有： )()()()0()()(00txtttxxttx 2022-1-312022-1-313232)()(00ttAtt 1形狀轉(zhuǎn)移矩陣初始條件：Itt )(00 2形狀轉(zhuǎn)移矩陣滿足形狀方程本身：)0(xt1x2x0)(1tx)0(1 t 1t)(12tt )(2tx2t2022-1-312022-1-3133331、對(duì)于線性定常系統(tǒng)：IettA 000)0()( 不變性2、對(duì)于線性定常系統(tǒng)：)()(00ttAtt 3、對(duì)于線性定常系統(tǒng)：)()()(020112tttttt 傳送性證明:2200 x tttx t221

17、1x tttx t同時(shí)有:221100()x tttttx t 1100 x tttx t比較x(t2)的兩種表達(dá)方式有:211020()()tttttt2022-1-312022-1-3135354、對(duì)于線性定常系統(tǒng)：)()(001tttt 可逆性5、對(duì)于線性定常系統(tǒng)：)()()()()(122121tttttt 分解性)(2121)(ttAett 6、對(duì)于線性定常系統(tǒng)： )()(nttn )(0tx)(tx)(0tt )(0tt 2022-1-312022-1-3136361、知齊次形狀方程的解，求形狀轉(zhuǎn)移矩陣： 方法是利用 直接求解。)0()()(1 xtxt 2、利用矩陣指數(shù)函數(shù)的求解

18、方法求形狀轉(zhuǎn)移矩陣。由 可得 3、知形狀轉(zhuǎn)移矩陣，求系統(tǒng)矩陣A陣)()(00ttAtt 00()|t tAtt 4、知某時(shí)辰系統(tǒng)形狀，求其它時(shí)辰的形狀。)()()(00txtttx 2022-1-312022-1-313737例知某二階系統(tǒng)齊次形狀方程為： ，其解為：)()(tAxtxttttttteeteetxxeetxx2)(11)0(,2)(12)0(時(shí)，時(shí)，試求形狀轉(zhuǎn)移矩陣 。)(t解：設(shè) ，那么：22211211)(t)0()0()()(212221121121xxtxtx1121222221121122211211ttttttteeteeee及即11122222211211tttt

19、ttteeeteee122211211111222ttttttteeeteee那么有：所以：2022-1-312022-1-313838第四節(jié)第四節(jié) 線性定常非齊次形線性定常非齊次形狀方程的解狀方程的解2022-1-312022-1-313939 ttdButtxtttx0)()()()()(00 假設(shè)線性定常系統(tǒng)的非奇次形狀方程的解存在，那么解方式如下：)(,0txBuAxx初初始始狀狀態(tài)態(tài)為為 tttAttAdBuetxetx00)()()()(0)( 2022-1-312022-1-3140401先把形狀方程 寫成BuAxx BuAxx 3對(duì)上式在 區(qū)間內(nèi)進(jìn)展積分，得: tttttAttAttAAtAtttAttAdButtxttdBuetxetxdBuetxetx