對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)及經(jīng)典題

1、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)撰稿：江用科審稿：嚴(yán)春梅責(zé)編：張楊一、目標(biāo)認(rèn)知 學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 掌握對(duì)數(shù)的概念、常用對(duì)數(shù)、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式與自然對(duì)數(shù)；2. 掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).重點(diǎn)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化及對(duì)數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)與對(duì)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用；理解對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，掌握 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 難點(diǎn)正確使用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；底數(shù)a對(duì)圖象的影響及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的作用.二、知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一、對(duì)數(shù)及其運(yùn)算我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程遇到 2x=4的問題時(shí)，可憑經(jīng)驗(yàn)得到 x=2的解，而一旦出現(xiàn) 2x=3時(shí)，我們就無法用已學(xué) 過的知識(shí)來解決，從而引入出一種新的運(yùn)算一一對(duì)數(shù)運(yùn)算（一）對(duì)數(shù)概念：1.如果

2、（，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：logaN=b.其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2. 對(duì)數(shù)恒等式：1律N"3. 對(duì)數(shù)1具有下列性質(zhì):（1）0和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即；（2）1的對(duì)數(shù)為0，即-丄"；底的對(duì)數(shù)等于1,即 - I（二）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)通常將以 10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù),上:、八.以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù),（三）對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系.它們的關(guān)系可由定義可知：對(duì)數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對(duì)數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化 由下圖表示.指數(shù)式對(duì)數(shù)式指數(shù)對(duì)數(shù)¥真數(shù):1 11log.N-b1底數(shù)由此可見a, b, N三個(gè)字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生

3、變化.（四）積、商、幕的對(duì)數(shù)已知-丄二一1： .-工 -/ - : I推廣：人斗 Jj +.<' |.J.1 .M logd = logflA/-logfl27 （五）換底公式同底對(duì)數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在a>0,1, M >0的前提下有令 logaM=b ,則有 ab=M , （ab）n=Mn,即：帳,即一丄,log&M=log Ml即：一(c > O,c H 1),令 log aM=b ,則有ab=M ,則有Ioq . A/logM = (eO,wl) ，即1一當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn) 到一個(gè)重要的結(jié)論：（1）可由推出，但在解決某些

4、冋題（1）又有它的靈活性.而且由還可以得即亠一二，即L-rlog tt t = (a a 1 上 > 0,右 H 1)知識(shí)點(diǎn)二、對(duì)數(shù)函數(shù)1. 函數(shù)y=logax（a>0,1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù).2. 在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng) a> 1時(shí)，隨a的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當(dāng)Ovav 1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠(yuǎn)離x軸.（見圖1）(1) 對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,1)的定義域?yàn)?0, +)，值域?yàn)镽< 0(x > 1)店=0(K = 1)> o(o<x<n對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0, a 1)的圖像過點(diǎn)(1, 0)> 0(

5、x > 1)log 4 x' = 0(x = 1)當(dāng)0 c 田 < 1 吋，log當(dāng)a> 1時(shí),<0(0<x<l)三、規(guī)律方法指導(dǎo)容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤(1) 對(duì)數(shù)式logaN=b中各字母的取值范圍(a>0且a 1, N>0, b R)容易記錯(cuò).(2) 關(guān)于對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，要注意以下兩點(diǎn)：一是利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對(duì)數(shù)都存在時(shí)等式才能成立如：log2(-3)(-5)=log 2(-3)+log2(-5)是不成立的，因?yàn)殡m然log2(-3)(-5)是存在的，但 log2(-3)與 log2(-5)是不存在的

6、.二是不能將和、差、積、商、幕的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、積、商、幕混淆起來，即下面的等式是錯(cuò)誤的:log a(M ± N)=log aM ± logaN , log a(M N)=log aM logaN ,M _loga -5 .(3) 解決對(duì)數(shù)函數(shù)y=log ax (a > 0且a* 1)的單調(diào)性問題時(shí)，忽視對(duì)底數(shù)a的討論.關(guān)于對(duì)數(shù)式logaN的符號(hào)問題，既受a的制約又受N的制約，兩種因素交織在一起，應(yīng)用時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)F面介紹一種簡(jiǎn)單記憶方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考以1為分界點(diǎn)，當(dāng)a, N同側(cè)時(shí)，logaN >0 ;當(dāng)a, N異側(cè)時(shí)，logaN v 0.經(jīng)典例題透析類型

7、一、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用1.將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化:1筍9二-2(1宀-；：；(3)思路點(diǎn)撥：運(yùn)用對(duì)數(shù)的定義進(jìn)行互化1； (4)： - 二-2=16解：廣二-2=9'1 ；log3l = -l魄 116 二-2(5)二；丄總結(jié)升華：對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又是解決問題 的重要手段舉一反三：【變式1】求下列各式中x的值： lg100=x 上;：J：思路點(diǎn)撥：將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)求出x.x = (64p = (43) ;=4( = 4= 1 解：111 i 10x=100=10 2，于是 x=2 ；(4) 由廠一二一

8、一匚一1二2廠_卜丿二一一1.類型二、利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)求值總結(jié)升華：對(duì)數(shù)恒等式，生'二"中要注意格式：它們是同底的；指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式；其值為真數(shù).舉一反三：【變式1】求J：-:的值(a, b, c R+,且不等于1, N>0)思路點(diǎn)撥：將幕指數(shù)中的乘積關(guān)系轉(zhuǎn)化為幕的幕，再進(jìn)行運(yùn)算解:氓N二護(hù)即嚴(yán)腫二嚴(yán)二并類型三、積、商、幕的對(duì)數(shù)3已知lg2=a, lg3=b，用a、b表示下列各式.(1) lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：原式=lg32=2lg3=2b原式=lg26=6lg2=6a原式=lg2+lg3=a+b原式

9、=lg22+lg3=2a+b(5) 原式=1-lg2=1-a(6) 原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a舉一反三：【變式1】求值一一一：-L-L, 10 1(2)lg2 lg50+(lg5) 2 (3)lg25+Ig2 lg50+(lg2)解：J=2 log, 5a +31嶋 26-8x0= 4+18- 0= 22.原式=lg2(1+lg5)+(lg5) 2=lg2+lg2lg5+(lg5) 2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1原式=2lg5+lg2(1 +lg5)+(lg2) 22=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)=1+lg5+lg2(lg5+l

10、g2)=1+lg5+lg2=2.【變式2】已知3a=5b=c,求c的值.解：由3a=c得:logtf3fl = L fiPalog3-1,:. logtf3 = -log> 5,，由- + -= 2 得 log.3+log. 5 = 2同理可得?.：一 log5 二 2,.'.圧= 15,c > 0r'. c = V15*打 b+s 門 a -c.2 2 2呃(1 + )+log2(l + ) = 1【變式3】設(shè)a、b、c為正數(shù)，且滿足 a2+b2=c2.求證：一:二.fa + b+c a +b -c,呃()ab十、丄 Ha+b-c .a+b證明：rfy (a+bf

11、-c2¥ + 2血+/2ah= log32ab+c2 2= loga2 = l.a+b 1_22te =【變式4】已知：a +b =7ab, a>0, b> 0.求證：二 _.證明：T a +b =7ab,/ a +2ab+b =9ab,即(a+b) =9ab,/ lg(a+b) =lg(9ab),/ a>0, b> 0, 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb / 2lg(a+b)-lg3=lga+lgbf a+b1.、八lg二二 Cgo+lgb)即 二 _.類型四、換底公式的運(yùn)用(>険&4. (1)已知 logxy=a ,用 a表示'

12、;已知 log ax=m ,logbx =n ,logcx=p, 求 log abcx.1 _解：原式=（2）思路點(diǎn)撥:方法一：logxy 1 + bg/ 1+a log v Z7=-=_= ? log/ 卜咤"If x y將條件和結(jié)論中的底化為同底.m. npa =x， b =x， c =x2111Ilogff Alog = log , . I 111 刪4碑+粋 + + m n p方法二:舉一反三:【變式1】求值:解: (1)bg obclog abc logj u 4-log J 4-log c mnnp+mp ._丨；（2）W=F左；（3）山匚；lg9 Ig32_21g3：

13、I： 51g2_1031g31(3) 法-25913i心 K15= 93簾法二：.-：'.總結(jié)升華：運(yùn)用換底公式時(shí)，理論上換成以大于o不為1任意數(shù)為底均可，但具體到每一個(gè)題，一般以題中某個(gè)對(duì)數(shù)的底為標(biāo)準(zhǔn)，或都換成以10為底的常用對(duì)數(shù)也可.類型五、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用5. 求值(1) log89 log2732log 64 32 -log3- -logJ log J(2)log 2 Qog 2 蒐 + bg i - +log 4 36) (4) (log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52)KnXnX9M 2 5 10解:log，33

14、log ； 2 - -(1)原式=“_:.原式= 打” /1113?3原式=log2(5 + log3_1- + log2260 = log2(5-log2- + log26) = log28 = 3(4)原式=(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52)113=(31og2 5+log2 5+-log2 5)沁 2) = 31ogj 21og2 5 = 13舉一反三：嚴(yán)【變式1】求值：另解：設(shè)- =m (m > 0). /-1 =(2丄)顧 2 = 22=Igwa? Ig2=lgm ,嚴(yán) 2=m，即(護(hù)=2【變式2】已知:log

15、3 2 =解：6.求下列函數(shù)的定義域:(1廠二;一 _< r Ilog23=a,Iog37=b，求：Iog4256=?I,占+匚 處+ 3炮門6二也，+噸昇g汀+弧學(xué)二訂二廠亦G IJ log3 42 log37+log36 燉Q + 1 + 1 込 2 心+】+：類型六、函數(shù)的定義域、值域求含有對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域，其方法與一般函數(shù)的定義域、值域的求法類似，但要注意對(duì)數(shù)函數(shù)本身的性質(zhì)(如定義域、值域及單調(diào)性)在解題中的重要作用思路點(diǎn)撥：由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知：x2> 0, 4-x >0，解出不等式就可求出定義域 解: (1)因?yàn)閤2> 0, 即 xm 0,所以

16、函數(shù)=呃的定義域?yàn)閮H|" 0；因?yàn)?-x > 0,即x V 4,所以函數(shù)丁 一 4宀；二.舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的定義域V?-iLgx-i) -1(1) y= I 匚(2) y=ln(ax-k 2x)(a>0 且1, k R).X >10 < x-1<13玉豐一 所以L 233-)-(-,2).jv-1>0t log !(工-1) > 02logjU-1) 1解：因?yàn)長(zhǎng)忌,所以函數(shù)的定義域?yàn)?i,因?yàn)?ax-k 2x>0,所以()x>k.1 當(dāng)kw 0時(shí)，定義域?yàn)镽;2 當(dāng) k > 0 時(shí)，loga(i) 若a>

17、;2,則函數(shù)定義域?yàn)?j k, + g);(ii) 若0v av 2,且a 1，則函數(shù)定義域?yàn)?-g, j k);(iii) 若a=2,則當(dāng)0 V kv 1時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)镽;當(dāng)k > 1時(shí)，此時(shí)不能構(gòu)成函數(shù)，否則定義域?yàn)?.【變式2】函數(shù)y=f(2x)的定義域?yàn)?1 , 1,求y=f(log 2X)的定義域. 1思路點(diǎn)撥：由-1 W x w 1,可得y=f(x)的定義域?yàn)? , 2,再由1 w log2Xw 2得y=f(log 2x)的定義域?yàn)?#39;匚，4.類型七、函數(shù)圖象問題7 .作出下列函數(shù)的圖象：(1) y=lgx , y=lg(-x) , y=-lgx ； y=lg|x|

18、； y=-1+lgx. 解：(1)如圖(1);(2)如圖(2);(3)如圖(3).圖圖圖類型八、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用利用函數(shù)的單調(diào)性可以：比較大??；解不等式；判斷單調(diào)性；求單調(diào)區(qū)間；求值域和最值 要求同學(xué)們：一是牢固掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；二是理解和掌握復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律；三是樹立定義域優(yōu) 先的觀念8比較下列各組數(shù)中的兩個(gè)值大?。?1) log 23.4，log28.5(2) log 0.31.8, logo.32.7(3) loga5.1, Ioga5.9(a>0 且 1)思路點(diǎn)撥：由數(shù)形結(jié)合的方法或利用函數(shù)的單調(diào)性來完成(1)解法1：畫出對(duì)數(shù)函數(shù) y=log2X的圖象，橫坐標(biāo)為3

19、.4的點(diǎn)在橫坐標(biāo)為 8.5的點(diǎn)的下方，所以，Iog23.4 v Iog28.5；解法2：由函數(shù)y=log 2x在R+上是單調(diào)增函數(shù)，且3.4 v 8.5，所以Iog23.4v log28.5 ；解法 3:直接用計(jì)算器計(jì)算得：Iog23.4 1.8, Iog28.5 3.1，所以 log23.4 v log28.5；與第(1)小題類似，logo.3x在R+上是單調(diào)減函數(shù)，且1.8v 2.7,所以logo.31.8>logo.32.7;(2) 注：底數(shù)是常數(shù)，但要分類討論 a的范圍，再由函數(shù)單調(diào)性判斷大小.解法 1:當(dāng) a> 1 時(shí)，y=logax 在(0,)上是增函數(shù)，且 5.1 v

20、 5.9，所以，Ioga5.1v Ioga5.9當(dāng) 0v av 1 時(shí)，y=log ax 在(0，+ )上是減函數(shù)，且 5.1 v5.9，所以，Ioga5.1 > Ioga5.9 解法2：轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，令 b1=log a5.1，則- J ，令 b2=loga5.9，貝一 幾當(dāng)a> 1時(shí)，y=ax在R上是增函數(shù)，且 5.1 v 5.9所以，b1v 4，即2 -當(dāng)0 v av 1時(shí)，y=ax在R上是減函數(shù)，且 5.1 v 5.9所以，b1> 6，即 i?.舉一反三：【變式1】若logm3.5>Iogn3.5(m， n>0， 且m 1，

21、 n豐1)，試比較 m，n的大小.解：(1)當(dāng)m> 1，n> 1時(shí)， 3.5> 1，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)：當(dāng)?shù)讛?shù)和真數(shù)都大于1時(shí)，對(duì)同一真數(shù),底數(shù)大的對(duì)數(shù)值小，n> m> 1.(2) 當(dāng) m> 1，0vnv 1 時(shí)，：Togm3.5> 0，Iogn3.5v 0， 0v nv 1 vm 也是符合題意的解.(3) 當(dāng)0v mv 1，0v nv 1時(shí)，t 3.5> 1，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，此時(shí)底數(shù)大的對(duì)數(shù)值小， 故 0v m v nv 1.綜上所述，m，n的大小關(guān)系有三種：1 v mv n或0v nv 1 v m或0v mv nv 1.證明函數(shù):上是增函數(shù).思路

22、點(diǎn)撥：此題目的在于讓學(xué)生熟悉函數(shù)單調(diào)性證明通法，同時(shí)熟悉利用對(duì)函數(shù)單調(diào)性比較同底數(shù)對(duì)數(shù) 大小的方法.證明：設(shè)-'，且 X1< X2則_一T 0 <:.彳+ 1 <彳 +1又Ty=log2x在J,上是增函數(shù).1惕(#+1)<1冷(才+»即 f(x” v f(X2)函數(shù) f(x)=log 2(x2+ 1)在' tJ 上是增函數(shù)舉一反三:【變式1】已知f(log ax)=瞰 2 1), y -'- (a> 0且1)，試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解：設(shè) t=logax(x R+, t R).當(dāng) a> 1 時(shí)，t=logax 為增函數(shù)

23、，若 ti< t?,則 0vxi<X2,- 1)"(詒 一 1)二 0(可一花)(可忑 +1) f(t1)-f(t2)=丁 L；帚"- 0vX1<X2,a> 1, f(t1)v f(t2),. f(t)在 R 上為增函數(shù)，當(dāng)0 v av 1時(shí)，同理可得f(t)在R上為增函數(shù).不論a> 1或0v av 1, f(x)在R上總是增函數(shù)10.求函數(shù)燉Iy= - (-x2+2x+3)的值域和單調(diào)區(qū)間燉12 2 解：設(shè) t=-x +2x+3，貝y t=-(x-1) +4. / y= -t 為減函數(shù)，且 0v t< 4,log 4y>_=-2，

24、即函數(shù)的值域?yàn)?2 , + g .燉I再由：函數(shù) y= _(-x2+2x+3)的定義域?yàn)?x2+2x+3 >0,即-1 vxv3.log it=-x2+2x+3在.-1, 1)上遞增而在1, 3)上遞減，而y= - t為減函數(shù).logi函數(shù)y= 一(-x2+2x+3)的減區(qū)間為(-1 , 1)，增區(qū)間為1 , 3 .類型九、函數(shù)的奇偶性11.判斷下列函數(shù)的奇偶性(1) -丨Hl '.(1)思路點(diǎn)撥：首先要注意定義域的考查，然后嚴(yán)格按照證明奇偶性基本步驟進(jìn)行上亠0可得j <1解：由-二所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?-1, 1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱1 -L T一片1 V又-I-J/W=ig所以

25、函數(shù)一. 是奇函數(shù);總結(jié)升華：此題確定定義域即解簡(jiǎn)單分式不等式，函數(shù)解析式恒等變形需利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)說明判斷對(duì)數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的奇偶性，不能輕易直接下結(jié)論，而應(yīng)注意對(duì)數(shù)式的恒等變形(2) 解:由 J1+F壯>0可得乳*所以函數(shù)的定義域?yàn)?R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又/ (-X)= ln( Jl + X + x) = In(Jl + J + X - x)Jl+ H - X=In =-ln(A + -片)=-/W總結(jié)升華：此題定義域的確定可能稍有困難，函數(shù)解析式的變形用到了分子有理化的技巧，要求掌握即f(-x)=-f(x)；所以函數(shù)取遍一切正數(shù)，考察此函數(shù)的圖象的各種情況，如圖，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，使u能取遍

26、一切正數(shù)的條件是A>0/ (x) - ln(Jl + / r)是奇函教.類型十、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用12 .已知函數(shù) f(x)=lg(ax 2+2x+1).(1)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； 若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 思路點(diǎn)撥：與求函數(shù)定義域、值域的常規(guī)問題相比，本題屬非常規(guī)問題，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化成常規(guī)問題.f(x)的定義域?yàn)镽,即關(guān)于x的不等式ax2+2x+1 >0的解集為R,這是不等式中的常規(guī)問題.2f(x)取遍一切實(shí)數(shù)，即要求u=ax +2x+1f(x)的值域?yàn)镽與ax2+2x+1恒為正值是不等價(jià)的，因?yàn)檫@里要求解：(1)f(x)的定義域?yàn)镽,即：關(guān)于x的不等式ax2+2x+1 > 0的解集為R, 當(dāng)a=0時(shí)，此不等式變?yōu)?2x+1 >0,其解集不是 R;a >0*當(dāng)0時(shí)，有-<0 0 a> 1. a的取值范圍為a> 1.di > 0f(x)的值域?yàn)镽,即u=ax2+2x+1能取遍一切正數(shù)0 a=0或L右一 一牝"° 0。三a< 1, a的取值范圍為0w a< 1.13 .已知函數(shù)h(x)=2 x(x R),它的反函數(shù)記作g(x), A、B、C三點(diǎn)在函數(shù)g(x)的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別為a, a+4, a+8