希爾伯特?cái)?shù)學(xué)問題及其解決簡況

1、 躍 的 領(lǐng)域 1 許 多 數(shù) 學(xué) 問 題 +包 括一 些 著名 的 尚 未解 決 的 問 題 如 哥 德 巴 赫猜 想 等 都 可 歸 約 1 為 特 定 的 丟 番圖 方 程 有無 整數(shù) 解 的 問 題 。 系擻 為 任5 代 數(shù) 數(shù) 的 二 次 型 =, 哈 斯 + : 2 ; 一 .!. ;< 和西 格 爾 + : 得 重 要 結(jié)果 1 ! 1 < 4 : 9 和 代 數(shù) 群 的聯(lián) 系 已 由魏 爾 + : 3 和 小野孝 得 到 + 4 < 1 , 扎 一 . % , . 在 這 問 題 的 研究上 獲 .% 1 阿 貝 爾 域 上 的 克 朗 內(nèi) 克 +魷汾加耽

2、定 理在 任 意 代橄有 理域 上 的 推 廣 : , , 該 問 題 相 當(dāng)于求 那 樣 一 種 函 數(shù) 它 們 在任 意 域 中所 起 的 作 用 和 指數(shù) 函數(shù) 在 有 理 域 , 、 橢 圓 模 函 數(shù) 在虛 二 次域 中 所起 的 作 用 一 樣 1 圍繞 這 一 問 題 已 做 了 許 多工 作 但 離 徹 底 解 決 還 很遠(yuǎn) 1 1 不 可 能 用 僅 有 兩 個(gè) 變數(shù) 的 函 橄 解 一 般 的 七 次 方 程 , 3 . 年 阿 諾 德 + 7 “ 形 & 1 解 決 了連 續(xù) 函 數(shù) 情 形 如 要 求 是 解 析 函數(shù) , 則問 題 仍未 解決 # 1 1 相

3、對(duì) 生 函 教系 的 有 限 性 1 這 是 代 數(shù) 不 變量 問 題 . / 日 已 年 永 田 雅 宜 【 給 出否 定 解 決 即 證 明 了 存在群 , , 1 , 其 不變 式 所 構(gòu) 成 的 環(huán) 不 具 有 有 限 整 基 舒伯 特 1 + 1 玩 5 計(jì)數(shù) 演 算 的 嚴(yán) 格 簽 礎(chǔ) 跳 1 這 問 題 促 進(jìn)了 代 數(shù) 幾 何 學(xué) 的 發(fā) 展 , 代數(shù) 幾 何 基 礎(chǔ) 已 分 別 由 范 , 德 : 瓦 爾登 + 如 9 . / 一 # 和魏 爾 + . 0 建 立 = 9 0 : : 立 起 來 但 舒 伯 特 演算的 合 理 性 仍 待 解 決 , 至 于 舒 伯 特 演

4、算 可 計(jì)算 幾 何 已 用 幾 種 方 法建 , 1 1 代 數(shù) 曲線 和 曲 面 的 拓 撲 希 爾 伯 特 希望 進(jìn) 一步 研究 它們的 相對(duì)位 置 以 及 相 應(yīng) 地 研 究 空 間 代 數(shù) 曲 面 的 葉 的 最 大 個(gè) 數(shù) , 、 哈 那 克 + = ? = 曾確 定 了 。 階 平 面 代 數(shù) 曲線 所具 有 的 閉 孤 立 分 枝 的 最 大 個(gè)數(shù) 1 1 類 型和 相 對(duì)位置 1 近 年來 在 這 方 面得 到 了 不 少 重 要 結(jié) 果 十 六 問 題 的后半 部 分 要 求 討 , 論 微 分方 程 的 極 限 環(huán) 的 最 大 個(gè)數(shù) 和 相 對(duì) 位 置 其 中 , , 。

5、 1 是 一 , 的 ” 次 有理整 函 數(shù) 1 彼 得洛夫 斯基 1 4? +> 耳 曰 威 , 1 1 , 曾聲 明 他 證 明 了 蘇 .&. ! 時(shí) 極 限 環(huán) 的 個(gè)數(shù) 不 超 過 這一結(jié)論 是 錯(cuò)誤 的 已 由 中 國數(shù) 學(xué) 家 舉 出 反 例 + 1 & 正 定 形 式 的平 方 表示 .!% 1 該 問 題 已 被 阿廷 解 決 + / 1 由全 等鄉(xiāng) 面 體 構(gòu) 造 空間 問 題 的 第一 部 分 : + < 映 1 +. 證 明 0 歐 氏 空 間中 帶基 本域 的 運(yùn) 動(dòng) 群 的 個(gè) 數(shù) 的 有 限性 , 已被 比 布 巴赫 對(duì) 于 問 題 的

6、 第 二 部分 , 1 適 當(dāng)毗 連 仍 可 充 滿 全空 間的 多 面 體 . 萊因哈特 + 而 , = 9 是 否 存 在 非運(yùn)動(dòng) 群 的 基 本域但 經(jīng) 1 , .! 和 赫許 + :; ? 1 已 先 后 給 出三 維 和 二維 的 例 子 1 而 希 爾伯 特 提 到的 另 一 個(gè) 間題 .們 的 給 定 形 式 的立 休 在 空 間 中 給 以 最 緊 密 排 列 ; 年 阿 霍 斯 + = 6 曾證 明 了 有關(guān) 的 閡 1 將 無 限個(gè) 相 等 可 夫 斯 基 假 設(shè) 但 問 題 仍然存在 , 1 拍 正 別 變分 問1 的 解 是 否 一 定 解 析 這 問 題 涉 及 變分

7、 學(xué) 和 橢 圓 型偏 微 分 方 程 理 論 、 1 .0 # , 年 , 伯 恩 斯 坦 +反 7 吐 汀: 1 , 俄 證 明 了 一 個(gè) 兩 變 元 的 解析 的 非 線 性 橢 圓 方程 其 解 必 定 是 解 析 的 又 被伯恩 斯 坦 本 人 和 彼 得 洛 夫 斯 基 推 廣 到 了 多 變 元橢 圓組 情 形 。 這 一 結(jié) 果后 來 旅 一 段 邊位 問 1 偏 微 分 方 程 邊 值 間題 +在 邊 界 上 給定 函數(shù) 值 或微 商 值 或 函 數(shù)值 與 微 商 值的 某 種 關(guān) , , 系 時(shí) 偏微 分 方程 解 的 存 在 性 業(yè) 已 發(fā) 展 為 現(xiàn) 代 數(shù) 學(xué) 中

8、一 大 研 究 領(lǐng) 域 它在 數(shù) 學(xué)本 身 的 其 它 , 分枝 以 及 其 它科學(xué) 工 程技 術(shù)部 門 都有 重 要 應(yīng) 用 , 、 1 自希 爾 伯特 以 來 已 開 醉了許 多 研 究 偏 , , 微 分方程邊 值 問 題 的 現(xiàn) 代途 徑 如 僅 根據(jù) 方 程 結(jié) 構(gòu) 邊 界數(shù) 據(jù)及 區(qū) 城 對(duì) 未 知 函 數(shù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 值 進(jìn)行 先 驗(yàn) 估 計(jì) 等 1 “ , 的 方 法 保證給 定 問 題 廣 義 解 或 “ 1 “ 弱 解, 的 存在 性 的 泛 函 分析 方 法 等 ! 1 其 有 給 定 單 位 群 的 徽 分 方 程 的 存在 性 0 已 由 希 爾 伯特 本 人 +.

9、! 1 4 和 羅 爾 +_ % 1 , 德 , . , & 的工 作 解 決 。 單位 化 1 這 是 解 析 函 數(shù) 論 的 一 個(gè)基 本 課題 .0& : 年 凱貝 + 6 比 , 1 1 , 【 解 決 了 用 自守 函 德 。 數(shù) 使兩 個(gè) 變 5 間 的 任 意 解 析 關(guān) 系 單 值化 的 問 題 ! 1 三個(gè) 以 上 變數(shù) 的 情 形則 尚未 解決 變 分 法的 進(jìn)一 步 發(fā)展 , 、 在 這 里 希 爾 伯特 沒 有 提 確 定 的 特 殊 的 問 題 而 是 對(duì) 變 分 法研 究 的重 要 性 和 進(jìn) 一 步 , 發(fā) 展 談 了 一 般 性 的看 法 1 ,

10、 % ! 11 % , 二 # 嘆 考 翻 : 1 資 = 料 : <4 : 5 !.0 一 ! . 1 , : = : 萬“ 仍 5 訟 而: 尸 陽 七4 可參見 < 9 讓 5 ( 6 ; 1 = : 4 : 3 = 9 4 5 : , = 9 , 取 <9 = : 1 , , 4 乙: 材 4 2 : 1 : < : 1 . &0 1 萬 = 5 : 6 忿 : 饑 = 5蔥 = 忍 = 勿 ” : 件君 八 蕊 協(xié) . > = ; 5 <: ; 6 > 3 扭 : <: = 1 = 5 : = 5<: = 4 2 6 佩 川