三角形的重心

1、第八講 三角形的重心、垂心、外心和內(nèi)心初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了關(guān)于三角形的邊和角的許多性質(zhì)，也涉及三角形邊上中線、高線、垂直平分線以及內(nèi)角平分線的一些性質(zhì)。例如，線段（如三角形的一邊）的垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩站點(diǎn)的距離相等。反之，和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這線段的垂直平分線上；角（如三角形的一個(gè)內(nèi)角）的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。反之，到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，諸如此類。涉及一個(gè)三角形的三條中線、三條高線、三條邊的垂直平分線以及三個(gè)內(nèi)角平分線的性質(zhì)及相互關(guān)系是中學(xué)平面幾何的重要內(nèi)容。在高中學(xué)習(xí)中，會(huì)涉及三角形三條中線交點(diǎn)、三條高線交點(diǎn)、三條邊的垂直平分線

2、交點(diǎn)以及三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)，即三角形的幾個(gè)“巧合點(diǎn)”。本節(jié)將對(duì)這些知識(shí)作較系統(tǒng)的闡述。一、三角形的重心如圖8-1，在ABC中，AD、BD是兩條中線，記它們的交點(diǎn)為G，連接DE、DE是三角形的中位線。DEAB，且GAB=GDE，GBA=GED.AGBDGE，且相似比為2：1.AG=2GD，BG=2GE. 于是得到關(guān)于三角形中線的一個(gè)重要性質(zhì)：三角形的兩條中線的交點(diǎn)把這兩條中線都分成2：1的兩段。現(xiàn)在再研究第三條中線與其他兩條中線交點(diǎn)有什么特殊性質(zhì)。圖8-1圖8-2如圖8-2，設(shè)ABC的兩條中線AD、BE交于G，中線CF、BE交于G.由已知的三角形中線的性質(zhì)，則有BG=2GE，且BG=2GE，CG

3、=2GF.G與G重合，則三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，且該點(diǎn)把三角形的各中線分成長(zhǎng)度比為2：1的兩段，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心。三角形的重心必在三角形的內(nèi)部。今后我們也常說：三角形的重心把中線分成2：1的兩段。例1 如圖8-3，已知E、F分別是平行四邊形ABCD邊AD、CD的中點(diǎn)，BE和BF分別交對(duì)角線AC于M、N，求證：AM=MN=NC。分析 四邊形問題常轉(zhuǎn)化為三解形問題，連接BD，則BE、BF分別為ABD、CBD的中線，再利用中線、重心的性質(zhì)問題，則問題迎刃而解。證明 連接BD，BD與AC交于O，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，O為BD的中點(diǎn)。E為AD的中點(diǎn)，M是ABD的重心，AM=2MO。同理，CN=

4、2NO，則，由于AO=CO，圖8-4圖8-3例2 求證：兩條中線相等的三角形是等腰三角形。已知：ABC中，中線BE=CD求證：ABC是等腰三角形證明：如圖8-4，設(shè)中線BE、CD交于G，則G為ABC的重心。 BE=CD，GB=CG則GBC=GCB（同一三角形中，等邊對(duì)等角）又BC為BEC和CBD的公共邊，EBCDCB，ABC=ACB，AB=AC圖8-5故ABC是等腰三角形。一般地，涉及三角形中兩條或三條中線關(guān)系的問題，應(yīng)考慮利用三角形重心及其性質(zhì)來解。二、三角形的垂心下面來研究三角形三條高所在直線的關(guān)系。如圖8-5，銳角三角形ABC中，BC、AC上的高AD、BE交于H。試問：AB上的高是否也過

5、點(diǎn)H？回答是肯定的。連接CH并延長(zhǎng)交AB于F，現(xiàn)在來證明CF就是AB上的高。CEH=CDH=90°，以CH為直徑作圓，D、E在這圓上，BCFDEB（對(duì)同?。?。同理，D、E也在以AB為直徑的圓上，DEB=DAB，BCF=DAB又在BCF、BAD中，B為共公角，CFB=ADB=90°，即CFAB，CF為AB上高。則ABC的三條高AD、BE、CF交于一點(diǎn)H。對(duì)于銳角三角形來講，這交點(diǎn)一定位于三角形內(nèi)部。圖8-6如圖8-6，RtABC中，C=90°，BC、AC上高是AC、BC，顯然AB上高CF與前兩條高相交于點(diǎn)C。讀者可以證明，鈍角三角形的三條高在直線也相交于一點(diǎn)，這交點(diǎn)

6、在三角形外部。我們把三角形三條高或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)稱為三角形的垂心。銳角三角形垂心在三角形形內(nèi)；直角三角形垂心為這三角形的直角頂點(diǎn)；鈍角三角形的垂心在三角形形外（如圖8-7所示）。圖8-7例3 如圖8-8，ABC中，ABC=40°，ACB=62°，H為ABC的垂心，求BHC的度數(shù)。解 延長(zhǎng)BH、CH分別交AC、AB于D、EH為ABC的垂心，ADB=AEC=90°圖8-8在四邊形ADHE中，A=180°ABCACB=78°，BHC=DHE=360°ADBAECA=102°三、三角形的內(nèi)心在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角表外心的知識(shí)。三角

7、形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為三角形的外心，即三角形外接圓圓心。如圖8-9所示，我們還知道，銳角三角形外心在三角形形內(nèi)；直角三角形外心為直角三角形斜邊中點(diǎn)；鈍角三角形外心在三角形形外。圖8-9例4 如圖8-10，等腰三角形ABC外心為O，O到ABC底邊BC的距離為a，到頂點(diǎn)A的距離為R，求ABC的各邊長(zhǎng)。解 等腰三角形底邊上的高與中線兩線合一，等腰三角形外心O必在三角形底邊上的高上，記高為AD，即O在AD上，連接OB，則OB=R，且已知OD=a，圖8-10在RtBOD中，則在RtABD中，ABC的腰長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為。例5 求證：連接三角形三邊中點(diǎn)所得三角形的重心是原三角形的外心。已知

8、：ABC各邊中點(diǎn)D、E、F，連接ED、EF、FD。求證：EDF的垂心是ABC的外心。證明 如圖8-11，設(shè)DEF的垂心為O，連接OD、OE、OF，則ODEF，OEDF，OFED。EF是ABC的中位線，EFBC，ODBC同理，OEAC，OFABD、E、F分別為BC、CA、AB的中點(diǎn)，直線OD、OE、OF分別為BC、CA、AB的垂直平分線，則O是ABC的外心。四、三角形的內(nèi)心初中階段也已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)心知識(shí)。三角形的內(nèi)心指的是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它具有到三角形三條邊距離相等的性質(zhì)，它就是三角形內(nèi)切圓圓心。因此稱之為內(nèi)心，如圖8-12所示。不論是銳角三角形，還是直角三角形、鈍角三角形，它

9、的內(nèi)心都在三角形的內(nèi)部。如圖8-12，設(shè)ABC內(nèi)切圓I與邊BC、CA、AB分別切于M、N、S，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，知AS=AN，BS=BM，CM=CN，同理，記BC=a，AC=b，AB=c，則有；上述結(jié)果在涉及三角形內(nèi)心或內(nèi)切圓問題時(shí)常用到。圖8-13例6 已知RtABC中，兩直角邊BC、AC分別為5、12，求ABC內(nèi)切圓半徑。圖8-13解 如圖8-13，ABC內(nèi)心I，內(nèi)切圓與三角形各邊相切于D、E、F，連接ID、IE、IF，C=90°，易知DIEC為正方形，內(nèi)切圓半徑r=CD=CE=pc，其中c為三角表斜邊=，r=2。例7 求證：內(nèi)心與外心為同一點(diǎn)的三角形一定是正三角形。已知：ABC

10、的內(nèi)心與外心同為O。求證：ABC是正直角三角形。證明：如圖8-14，O為ABC的外心，OB=OC=OA，OAB=OBA，OAC=OCA又O是ABC的內(nèi)心，OAB=OAC，圖8-14OBA=OCA，AOB=AOC=180°2OABAOBAOC，AB=AC，同理AB=BCABC是正三角形。本題有多種證法，同學(xué)們自己可試一試。一般地還可以得到多個(gè)真命題：“若三角形內(nèi)心和重心為同一點(diǎn)，則這個(gè)三角形是正三角形”；“若三角形外心和重心為同一點(diǎn)，則這個(gè)三角形為正三角形”同學(xué)們可自行探究。當(dāng)我們研究三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線的關(guān)系時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的三條直線也會(huì)相交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)

11、到三角形各邊或它的延長(zhǎng)線等距離，如圖8-15。圖8-15ABC中，A平分線、B、C的外角CBB、BCC的平分線（或其延長(zhǎng)線）相交于一點(diǎn)I1，I1到BC、AB、AC的距離相等（圖中I1D= I1E= I1F），那么以I1為圓心，以到三角形各邊（或其延長(zhǎng)線）的距離為半徑的圓與三角形的三邊（或其延長(zhǎng)）均相切。但這圓的圓心在三角形形外，有別于三角形的內(nèi)切圓圓心，俗稱旁心。三角形有三個(gè)旁心。練 習(xí)A 組1如圖，ABC的重心為G，直線過頂點(diǎn)A，B、C到的距離分別為10cm、14cm，求重心G到的距離。（第2題）2如圖，ABC的三條中線為AD、BE、CF，在中線BE、CF上分別取點(diǎn)M、N，使B，求證：四邊形

12、EFMN是平行四邊形。3如圖，ABC的外心為O，若ABC=40°，ACB=72°，求BOC。（第3題）4如圖，ABC的內(nèi)心為I，若ABC=70°，ACB=50°，求BIC、CIA、AIB。5求證：若三角形的垂心和重心為同一點(diǎn)，則該三角形為正三角形。6已知ABC中，BC=3，AB=4，AC=5，求ABC內(nèi)切圓周長(zhǎng)與面積。B組（第1題） 1如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接BF、DE并分別交對(duì)角線AC于M、N，求證：AM=MN=NC。2已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，內(nèi)切圓半徑記為r，求證：（1）ABC的面積S=rp；（2）

13、，（已知三角形面積公式，讀者可考慮該公司如何證明）3求證：直角三角形內(nèi)切圓直徑與外接圓直徑的和等于兩直角邊的和。4設(shè)ABC的外心為O，垂心為H，求證：AH等于點(diǎn)O到邊BC距離的2倍。5求證：三角形的外心、重心、垂心在同一直線上。閱讀材料3 平面幾何有關(guān)的定理與性質(zhì)在高中向量、解析幾何與立體幾何學(xué)習(xí)中需要用到平行線分線段成比例定理、直角三角形的射影定理以及圓中的垂徑定理、直線與圓的位置關(guān)系、兩圓的位置關(guān)系等知識(shí)，因此有必要對(duì)這些知識(shí)進(jìn)行歸納、整理。本講分兩部分，第一部分從同學(xué)們熟悉的相似三角形知識(shí)入手，介紹平行線分線段成比例定理、三角形內(nèi)角與外角平分線性質(zhì)定理、直角三角形中的射影定理；第二部分介

14、紹與圓有關(guān)的定理：垂徑定理、相交弦定理、切割弦定理，同時(shí)探討直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。一、與比例線段有關(guān)的定理1平行線分線段成比例定理如圖1，在ABC中，若DEBC，DE交AB于D，交AC于E，則ADEABC。因此，利用比例的性質(zhì)可以得到。將此結(jié)論推廣，可以得到平行線分線段成比例定理。平行線分段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。圖2圖1如圖2，123，則分析 為便于使用三角形中比例線段的性質(zhì)，我們過點(diǎn)A作AHDF。證明 如圖2，過A作AHD交2于點(diǎn)G，交3于點(diǎn)H，則AG=DE，GH=EF。BGCH，即根據(jù)比例的性質(zhì)可得其他的比例式，如等。利用平行線分線段比例定理，可以將

15、一條直線上的比例線段“移”到另一條直線上，它是解決有關(guān)比例線段問題的常用方法。如，由平行線分線段成比例定理可推出三角形內(nèi)角與外角平分線性質(zhì)定理。例1 如圖3，在ABC中，若DEABFG，且FG到DE、AB的距離之比為1：2，若ABC的面積為32，CDE的面積為2，則CFG的面積S等于（ ）A6 B8 C10 D12圖3分析 由DEABFG知，CDECFGCAB，要求CFG的面積S只需求出它們的相似比。解 DEABFG，CDECASFG到DE、AB的距離之比為1：2，CFG的面積S等于8，選B。例2 如圖4，ABC中，D、E分別在邊BC、AB上，且1=2=3，設(shè)ABC、EBD、ADC的周長(zhǎng)分別為

16、m、m1、m2，求的最大值。分析 利用相似三角形的性質(zhì)建立與與三角形之間的聯(lián)系，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值。解 設(shè)AB=c，BC=a，CA=b由2=3，知DEACEDBACB，即圖4在BAC和ADC中，由1=3，C為公共角，知BACADC，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即BC=2A時(shí)，的最大值為2三角形內(nèi)外與外角平分線性質(zhì)定理（1）三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理 三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。如圖5，在ABC中，AD是A的平分線，點(diǎn)D在線段BC上，則證明 如圖6，過點(diǎn)C作CEAD交BA的延長(zhǎng)線于E，則CEAD，DAC=ACE，BAD=AEC.圖5圖6AD平分BAC，BAD=DAC

17、，ACE=AEC，AE=AC.結(jié)論成立。（2）三角形外角平分線性質(zhì)定理 三角形的外角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。如圖7，在ABC中，AD是A的外角FAC的平分線，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，則圖7請(qǐng)同學(xué)們依照三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理的證明完成本定理的證明。3直角三角形中的射影定理如圖8，在RtABC中，CD是斜邊AB邊上的高，則CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·BA.證明 在ABC中，ACB=90°，CDAB，CAD=DCB，CDA=CDB=90°，CADBCD.，CD2=AD·BD.同理，A

18、CDABC，BCDBAC，圖8AC2=AD·AB，BC2=BD·BA.在處理與直角三角形有關(guān)問題時(shí)，還常常用到關(guān)系式CA×CBCD×AB，即直角三角形兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。上述提到的四個(gè)式子，是處理與直角三角形有關(guān)問題時(shí)，經(jīng)常使用的關(guān)系式。例3 如圖9，在RtABC中，CD為斜邊AB上的高，DE為RtCDB斜邊BC上的高，若BE=6，CE=4，求AD的長(zhǎng)。解 在RtCDB中，由DE是斜邊BC上的高知，DE2=BE×EC=6×4=24.圖9CD2=CE2DE2=1624=40，DB2=BC2CD2=10040=60.又

19、CD為RtABC斜邊AB上的高,AD的長(zhǎng)為二、與圓有關(guān)的定理1垂徑定理如圖10，將圓沿垂直于弦AB的直徑CD對(duì)折，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，線段AM與MB、分別相等。垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。圖10如圖10，CD是垂直于弦AB的直徑，交弦于AB于點(diǎn)M，交弦AB所對(duì)的劣弧和優(yōu)弧分別為C、D，則AM=BM，。2相交弦定理與切割線定理相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，每條弦上被交噗分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。如圖11，AB、CD是圓的兩條相交弦，交點(diǎn)為P，則PA·PB=PC·PD。切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的兩條線段

20、長(zhǎng)的積相等，且都等于這點(diǎn)到圓所作切線長(zhǎng)的平方。圖11圖12如圖12，PAB、PCD是圓的兩條割線，PT是圓的切線，則PA·PB=PC·PD=PT2.這兩個(gè)定理的證明都不準(zhǔn)，只要連接AC、BD和TC、TD后結(jié)合圓周角與弦切角的性質(zhì)，應(yīng)用相似三角形性質(zhì)即可，請(qǐng)同學(xué)們給出證明。例4 如圖13，過圓O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線PA、PB，連接OP與圓O交于點(diǎn)C，過C作AP的垂線，垂足為E。若PA=10cm，PC=5cm，求CE的長(zhǎng)。圖14圖13解：如圖14，連接OA，延長(zhǎng)PO交圓O于點(diǎn)D，設(shè)圓O的半徑為rcm，則PD=5+2r.PA為圓O的切線，PCD為圓O的割線，由切割線定理，知P

21、A2=PC×PD，即102=5×（2r5）.解得OAPA，CEPA，CEOA，3直線與圓的位置關(guān)系已知圓O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，則可以通過比較d與r的大小關(guān)系得直線與圓O的位置關(guān)系；當(dāng)dr時(shí)，直線與圓O相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓O相切；當(dāng)dr時(shí)，直線與圓O相交。反這也成立，即右直線與圓O相離，則dr；若直線與圓O相切，則d=r；若直線與圓O相交，則dr；如圖15中的（1）、（2）、（3）。圖15直線與圓O相交時(shí)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)為A、B。若過圓心O，則AB為圓O的直徑；若不過圓心O，連接圓心O與弦AB的中點(diǎn)M，則OMAB（如圖16）。在RtOMA中，由OA為圓的半徑

22、r，OM為圓心O到直線的距離d，MA為弦AB長(zhǎng)的一半，根據(jù)勾股定理，得弦長(zhǎng)計(jì)算公式圖17圖16例5 如圖17，已知圓O的半徑OB=5cm，弦AB=6cm，D是弧AB的中點(diǎn)，求弦BD的長(zhǎng)和OBD的面積。解 連接OD，交AB于點(diǎn)EBD=AD，O為圓心，ODAB，在RtBOE，OB=5cm，BE=3cm，在RtBDE中，BE=3cm，DE=1cm，等腰三角形OBD的底邊，腰OB=OD=5cm，BD邊上的高，OBD的面積4兩圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1與圓O2的半徑分別為R、r（Rr），兩圓的圓心距O1O2=d，則當(dāng)dR+r時(shí)，兩圓相離；當(dāng)d=R+r時(shí)，兩圓相外切；當(dāng)RrdRr時(shí)，兩圓相交；當(dāng)d=Rr時(shí)，兩圓

23、相內(nèi)切；當(dāng)dRr時(shí)，兩圓內(nèi)含。反之也成立，即當(dāng)兩圓相離時(shí)，dR+r；當(dāng)兩圓相外切時(shí)，d=Rr；當(dāng)兩圓相交時(shí)，RrdRr；當(dāng)兩圓相內(nèi)切時(shí)，d=Rr；當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí)，dRr。如圖18中的（1）、（2）、（3）、（4）、（5）。圖18如果圓O1與圓O2相交于A、B兩點(diǎn)，則O1O2垂直平分AB，即相交兩圓的公共弦被兩圓的連心線垂直平分。例6 半徑為13和半徑為5的兩圓相交，圓心距為12，求兩圓的公共弦長(zhǎng)。解 如圖19，設(shè)AB為O1O2的公共弦，半徑O1A=13，O2A-5.連接O1O2交AB于點(diǎn)C,則O1O2=12,且O102垂直平分弦AB.設(shè)AC=x,則,即圖19兩邊平方,得,化簡(jiǎn)得解得x=5，AB=

24、10，即兩圓的公共弦長(zhǎng)為10.練 習(xí)1在直角三角形中，若三條高之積等于三邊乘積的一半，則該三角形的最小角的大小是 度。2如圖，以線段AB為直線作一個(gè)半圓，圓心為O，C是半圓周上一點(diǎn)，過C作CDAB于點(diǎn)D，若OC2=AB·BC，則COD= 。第3題第2題3如圖，BD、CE分別是ABC的AC、AB邊上的中線，且BDCE，若BD=4，CE=6，則ABC的面積等于 （提示：連接DE，對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于兩對(duì)角線積的一半）。4已知圓O內(nèi)兩弦AB、CD交于點(diǎn)P，且AP=4，BP=3，CD=10，則CP= .5在ABC中，已知ACBC，AC=12cm，BC=5cm，C的內(nèi)角平分線交AB

25、于點(diǎn)T，則BT的長(zhǎng)為 .6如圖，在ABC中，AD是A的外角FAC的平分線，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，求證：第6題7如圖，圓O的半徑為17cm，弦AB=30cm，AB所對(duì)的劣弧和優(yōu)弧的中點(diǎn)分別為D、C，求弦AC和BD的長(zhǎng).第8題第7題8如圖，銳角三角形ABC中，BC=6，BC邊上的高線長(zhǎng)為4，PQRS是ABC的內(nèi)接矩形，記且，記求的值.B 組1圓O的直徑AB=20，弦CD交AB于點(diǎn)G，AGBG，CD=16，作AECD于點(diǎn)E，BFCD于點(diǎn)F，則AEBF= .第2題2如圖，A為半圓O上一個(gè)三等分點(diǎn)，B是弧AM的中點(diǎn)，P為直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，圓O的半徑為1，則APBP的最小值是 .3如圖，四邊形ABCD

26、中，B=C=60°，BC=1，以CD為直徑作圓與AB相切于M，且交BC邊于E點(diǎn)，則BE= .第2題第3題第4題4如圖，在ABC中，AHBC于H，HB=2HC，圓O與C的兩邊相切，且圓心在AH上，求圓O的半徑。5利用兩個(gè)相同的噴水器，修建一個(gè)矩形花壇，使花壇全部都能噴到水，已知每個(gè)噴水器的噴水區(qū)域是半徑為10米的圓，問：如何設(shè)計(jì)（求出兩噴水器之間的距離和矩形的長(zhǎng)、寬），才能使矩形花壇的面積最大？第八講 三角形的重心、垂心、外心和內(nèi)心A組18cm提示：作中線AM，先求出M到的距離為12cm，再求G到的距離2提示：去證明四邊形的兩對(duì)角線ME、NF互相平分3360°4120°，125°，115°5提示：去證明同一邊上的中線和高線重合，從而得出為等腰三角形，再說明各邊都相等6周長(zhǎng)為2（長(zhǎng)度單位），面積為（面積單位）B組 1提示：連接BD，證得M、N分別為ABD、CBD的重心2提示：將內(nèi)心與三角形三頂點(diǎn)分別連接，得以a、b、c為底邊，以內(nèi)切圓r為高的三個(gè)三角形，求得三個(gè)三角形