一元多元函數(shù)微分學(xué)習(xí)題

1、第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、選擇題1. 極限= （提示：令） （ B ）(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 (D) 存在且不等于0或2、設(shè)函數(shù)，則極限= （ C ）（提示：有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、設(shè)函數(shù)，則 （ A ）（提示：在，處處連續(xù)；在，令，故在，函數(shù)亦連續(xù).所以，在整個(gè)定義域內(nèi)處處連續(xù).） (A) 處處連續(xù) (B) 處處有極限，但不連續(xù)(C) 僅在（0,0）點(diǎn)連續(xù) (D) 除（0,0）點(diǎn)外處處連續(xù)4、函數(shù)在點(diǎn)處具有偏導(dǎo)數(shù)是它在該點(diǎn)存在全微分的 （ A ）(A)必要而非充分條件 (B)充分而非必

2、要條件(C)充分必要條件 (D)既非充分又非必要條件5、設(shè)，則= （ B ）(A) (B) (C) (D) 6、設(shè)，則 （ A ）（A） （B） （C） （D）7、設(shè)，則 （C）（A） （B） （C） （D）8、若，則= （ D ）(A) (B) (C) (D) 9、設(shè)，則 （ A ）(A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1 10、設(shè)，則 （ D ）(A) (B) (C) (D) 11、曲線在點(diǎn)處的法平面方程是 （C ） (A) (B) (C) (D) 12、曲線在點(diǎn)處的切線方程是 （A ）(A) (B)(C) (D)13、曲面在點(diǎn)處的切平面方程為 （D ）（A） （B） （C）

3、 （D）14、曲面在點(diǎn)處的法線方程為 （A ）（A） （B）（C） （D）15、設(shè)函數(shù)，則點(diǎn) 是函數(shù) 的 （ B ）（A）極大值點(diǎn)但非最大值點(diǎn) （B）極大值點(diǎn)且是最大值點(diǎn)（C）極小值點(diǎn)但非最小值點(diǎn) （D）極小值點(diǎn)且是最小值點(diǎn)16、設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在處，有 ，則（ C ）（A）點(diǎn)是函數(shù)的極大值點(diǎn) （B）點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn)（C）點(diǎn)非函數(shù)的極值點(diǎn) （D）條件不夠，無(wú)法判定17、函數(shù)在條件下的極大值是 （C ）(A) (B) (C) (D) 二、填空題1、極限= _ .答：2、極限=_ .答：3、函數(shù)的定義域?yàn)?_ .答：4、函數(shù)的定義域?yàn)?_ .答：，5、設(shè)函數(shù)，則= _ .答：6、設(shè)函數(shù)

4、，則= _ .答：（）7、設(shè)，要使處處連續(xù)，則A= _ .答：8、設(shè)，要使在（0，0）處連續(xù)，則A= _ .答：19、函數(shù)的間斷點(diǎn)是 .答：直線上的所有點(diǎn)10、函數(shù)的間斷點(diǎn)為 _ .答：直線及11、設(shè)，則_ .答：3cos512、設(shè)，則= _ .答：113、設(shè)，則=_ .答：14、設(shè)，則在極坐標(biāo)系下，= _ .答：015、設(shè)，則= _.答：16、設(shè)，則= _ .答：17、函數(shù)由所確定，則= _ .答：18、設(shè)函數(shù)由方程所確定，則= _ .答：19、由方程所確定的函數(shù)在點(diǎn)（1，0，1）處的全微分= _ .答：20、曲線在點(diǎn)處的切線方程是_.答：21、曲線在對(duì)應(yīng)于 點(diǎn)處的法平面方程是_.答：22、

5、曲面在點(diǎn)處的法線方程為_(kāi) .答：23、曲面在點(diǎn)處的切平面方程是_.答：24、設(shè)函數(shù)由方程確定，則函數(shù)的駐點(diǎn)是_ .答：（1，2）27、函數(shù)的駐點(diǎn)是_.答：（1，1）25、若函數(shù)在點(diǎn) 處取得極值，則常數(shù)_， _.答：0，426、函數(shù)在條件下的極大值是_答：三、計(jì)算題1、求下列二元函數(shù)的定義域，并繪出定義域的圖形.(1) (2)(3) (4) 解：(1)要使函數(shù)有意義，必須有，即有.故所求函數(shù)的定義域?yàn)?圖形為圖3.1(2)要使函數(shù)有意義，必須有.故所有函數(shù)的定義域?yàn)?，圖形為圖3.2(3)要使函數(shù)有意義，必須有，即且.故該函數(shù)的定義域?yàn)椋瑘D形為圖3.3 (4)要使函數(shù)有意義，必須有.故該函數(shù)的定義

6、域?yàn)椋瑘D形為圖3.4圖3.1 圖3.2圖3.3 圖3.42、求極限 .解：= 43、求極限 .解：原式=4、求極限 .解：= -85、設(shè)，求 .解：6、設(shè)，求.解：7、設(shè)函數(shù)由所確定，試求（其中）.解一：原式兩邊對(duì)求導(dǎo)得，則同理可得：解二：8、求函數(shù)的極值.解：由，得駐點(diǎn)，函數(shù)在點(diǎn)處取極小值.9、設(shè)，而，求.解：10、設(shè)，求.解：11、設(shè)，求.解：，12、求函數(shù)的全微分.解：四、應(yīng)用題1、要造一容積為128立方米的長(zhǎng)方體敞口水池，已知水池側(cè)壁的單位造價(jià)是底部的2倍，問(wèn)水池的尺寸應(yīng)如何選擇，方能使其造價(jià)最低？解：設(shè)水池的長(zhǎng)、寬、高分別為米.水池底部的單位造價(jià)為.則水池造價(jià)且令由得由于實(shí)際問(wèn)題必定

7、存在最小值，因此當(dāng)水池的長(zhǎng)、寬、高分別為8米、8米、2米時(shí)，其造價(jià)最低.2、某工廠生產(chǎn)兩種商品的日產(chǎn)量分別為和（件），總成本函數(shù)（元）.商品的限額為，求最小成本.解：約束條件為，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，解方程組，得唯一駐點(diǎn)，由實(shí)際情況知，就是使總成本最小的點(diǎn)，最小成本為（元）. 3、某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲和乙，出售單價(jià)分別為10元與9元，生產(chǎn)單位的產(chǎn)品甲與生產(chǎn)單位的產(chǎn)品乙的總費(fèi)用是 元，求取得最大利潤(rùn)時(shí)，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少？解：表示獲得的總利潤(rùn)，則總利潤(rùn)等于總收益與總費(fèi)用之差，即有利潤(rùn)目標(biāo)函數(shù)，令，解得唯一駐點(diǎn)（120，80）. 又因，得.得極大值. 根據(jù)實(shí)際情況，此極大值就是最大值故生產(chǎn)120單位產(chǎn)品甲與80單位產(chǎn)品乙時(shí)所得利潤(rùn)最大320