高等數(shù)學(xué)第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)

1、高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)與高等數(shù)學(xué)多媒體教學(xué)系統(tǒng)（經(jīng)濟類）配套使用教師姓名：_教學(xué)班級：_2004年9月1至2005年1月10第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)第一節(jié) 函數(shù)概念1、內(nèi)容分布圖示 集合的概念 集合的運算 區(qū)間 例1 鄰域 例2 常量與變量 函數(shù)概念 例3 例4 例5 例6 例7 例8 分段函數(shù)舉例 例9 例 10 例 11 函數(shù)關(guān)系的建立 例 12 例 13 例 14 函數(shù)特性 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題1-1 返回2、講解注意：3、重點難點：4、例題選講：1. 9 1(0(3; 3|23|(2; 3|12|(1., 2<-<+<-x x x 并將其解用區(qū)間表示解下列不等式例講

2、解注意：例2. 3231鄰域表示為不帶絕對值的不等式的將點講解注意：例3函數(shù)y =2.講解注意：絕對值函數(shù)y =x =<-00x x x x , , 例4|講解注意：.1. 1. 1. 2122002(1.如表日國務(wù)院公布的利率表月年下面是幾個常見的表格.1.1.2. 2001(2如表中國統(tǒng)計年鑒國民生產(chǎn)總值統(tǒng)計表例52.792.522.251.981.891.71(%532163年利率年年年年個月個月時間表1.1.188189.680579.476967.273142.766850.557494.92000019991998199719961995生產(chǎn)總值年份(億元表1.1.2講解注意

3、：.1. 1. 1. (1.見圖兩位患者的心電圖下面是幾個常見的圖形圖1.1.1. 1.1.2. 2001(20001995(2見圖天津年鑒年天津市人才市場狀況圖-例6圖1.1.2 199519961997199819992000年份人數(shù)(人講解注意：. ; (; , ( (: (cos(2, 21:(1.10102為生產(chǎn)量為可變成本固定成本其中成本函數(shù)為常數(shù)自由落體運動的距離公式下面是幾個常見的公式x x C C x C C x C functiong t g gt S +=例7為 講解注意：. 1212(3cos sin 1(2|;|(1222+=+=+=y x x y xx y y x

4、y x y 與與與例8., , 畫圖表示并說明理由判斷下面函數(shù)是否相同講解注意：例9求函數(shù)2x y =1-1x 2+的定義域.講解注意：, 212101 (設(shè)<-=x x x f , , 3(的定義域.求函數(shù)+x f 例10講解注意：. 45sin 3lg( (2的定義域求函數(shù)x x x x x f -+-=例11講解注意：例12, , , 表為試將圓錐的體積圍成一無底圓錐形后自中心處剪去圓心角為的圓形鐵片把一半徑為V R 的函數(shù).的扇 講解注意：為了選擇最優(yōu)批量備費的和與批量的函數(shù)關(guān)系., 例13某工廠生產(chǎn)某型號車床年產(chǎn)量為臺分若干批進行生a , , 產(chǎn)每批生產(chǎn)準備費為元設(shè)產(chǎn)品均勻投入

5、市場b , , , 且上一批用完設(shè)每年每臺庫存, 后立即生產(chǎn)下一批即平均庫存量為批量的一半.元.顯然生產(chǎn)批量大則庫存費高生產(chǎn)批量少則批數(shù)增多c ; , 費為因而生產(chǎn)準備費高., 試求出一年中庫存費與生產(chǎn)準 講解注意：例14. 54, , :之間的函求運價元超過部分每公里為元公里公里以內(nèi)在某運輸公司規(guī)定貨物的噸公里運價為s m k k a 和里程數(shù)關(guān)系每 講解注意：例15. 1, 0(1(2; , (1(122上是無界的在函數(shù)上是有界的在函數(shù)證明x y x x y =+-+=講解注意：例16. , 1(1內(nèi)是單調(diào)增加的函數(shù)在證明函數(shù)+-+=x x y 講解注意：例17. 判斷下列函數(shù)的奇偶性;1

6、111ln 11(1x x xe e x f x x <<-+-+-=;2( 2( (2x f x x -+=;lg( (32x x x f +=.sin ( (42x x x x f +=講解注意：例18. (|,|, , , , 1( ( (是奇函數(shù)證明且為常數(shù)其中滿足設(shè)x f b a c b a c bfx af x f =+ 講解注意：例19, 01 (=Q x Q x x D 設(shè), , . ( 21( 57(的性質(zhì)并討求x D D D D -, . 論 講解注意：. (2 (為周期的周期函數(shù)是以則a b T x f -=, ( (:. (及對稱于若證明對稱于稱b a b

7、x a x x f a x x f <=, 2( (, (恒有對其定義域上的一切若x a f x f x x f -=例20則 講解注意：第二節(jié) 初等函數(shù)1、內(nèi)容分布圖示 反函數(shù) 例1 例2 復(fù)合函數(shù) 例3 例4 例5 例6 例7 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 反三角函數(shù) 初等函數(shù) 函數(shù)圖形的迭加與變換 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題1-2 返回2、講解注意：3、重點難點：4、例題選講：例1y =求函數(shù)的反函數(shù).1+x 1+41-x 1+4講解注意：例2. sgn 1(,sgn 0, 1, 0, 00, 1sgn 2的反函數(shù)求為符號函數(shù)已知x x y x x x x x +=<-

8、=>=講解注意：例3. 12ln(cos (3;(2; sin ln (1.2222x y e y x y arctan +=將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合x講解注意：例4. , ( (, (, 1 (2求它們的定義域及求設(shè)x f x f x x x x f =+=并 講解注意：例5, 1, 1, (x x x e x f x <=設(shè), 0, 10, 2 (2x x x x x -<+=.(x f 求 講解注意：例6. (, 1 1(22x f x x x f 求設(shè)+=+講解注意：. 0( ( ( (, 491 3ln( (2>-+=-+-=a a x f a x

9、f x g x x x f 的定義域求設(shè)例7 講解注意：第三節(jié) 經(jīng)濟學(xué)中的常用函數(shù)1、內(nèi)容分布圖示 單利與復(fù)利 例1 多次付息 貼現(xiàn) 例2 需求函數(shù) 供給函數(shù) 市場均衡 例3 例4 成本函數(shù) 例5 收入函數(shù)與利潤函數(shù) 例6 例7 例8 例9 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題1-3 返回2、講解注意：3、重點難點：4、例題選講：按單利計算3年末的本利和為多少按復(fù)利計算3, ?, 年末的本利和為多少按復(fù)利計算?需多少年能使本利和超過初始本金的一倍(1(2(3, ? 例1現(xiàn)有初始本金100若銀行年儲蓄利率為7%元, 問：, 講解注意：例2500二年后到期的是800元2000元某人手中有三張票據(jù)其中一年后到期

10、的票據(jù)金額是已知銀行的貼現(xiàn)率6%現(xiàn)在將三張票據(jù)向銀行做一次性轉(zhuǎn)讓銀行的貼現(xiàn)金額是多少, 元五年后到期的是, ? , , , , 講解注意：例3某種商品的供給函數(shù)和需求函數(shù)分別為Pq P q s d 52001025-=-=求該商品的市場均衡價格和市場均衡數(shù)量.,講解注意：例4臺電扇時的批發(fā)價格.8002元1000臺售商100臺電扇某批發(fā)商每次以160元臺的價格將500臺電扇批發(fā)給零售/在這個基礎(chǔ)上零售商每次多進, 則批發(fā)價相應(yīng)降低, 批發(fā)商最大批發(fā)量為每次試將電扇批發(fā)價格表示為批, , 并求出零售商每次進, 發(fā)量的函數(shù)講解注意：例5. 16, 150. 200, 函數(shù)及平均成本函數(shù)求該廠日總成

11、本元生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品的可變成本為元本為它的日固定成單位每日最多生產(chǎn)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品 講解注意：例6. 9, 800, 500, 這樣可多售出折出售超過部分只能按臺時量超過元每臺售價臺某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品年產(chǎn)量為q . (. . , 200函數(shù)入試寫出本年的收益本年就銷售不出去了如果再多生產(chǎn)臺當年產(chǎn) 講解注意：例7. , (2;(1, 20, 2000, 15, 該廠每天至少生產(chǎn)多少單位這種產(chǎn)品若不虧本利潤函數(shù)求元如這種產(chǎn)品出廠價為元本為每天的固定成元可變成本為已知某廠生產(chǎn)單位產(chǎn)品時 講解注意：例8某電器廠生產(chǎn)一種新產(chǎn)品, 在定價時不單是根據(jù)生產(chǎn)成本而, 還要請各銷售單位來出價, 即他們愿意以什么價

12、格來購買. 查得出需求函數(shù)為. 45000900+-=P x 該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本270000元, 而單位產(chǎn)品的變動成本為10元. 為獲得最大利潤, 廠價格應(yīng)為多少? 定根據(jù)調(diào)是出 講解注意：例9已知某商品的成本函數(shù)與收入函數(shù)分別是xR x x C 113122=+=試求該商品的盈虧平衡點并說明盈虧情況., 講解注意：第四節(jié) 數(shù)列的極限1、內(nèi)容分布圖示 極限概念的引入 數(shù)列的意義 數(shù)列的極限 例1 例2 例3 例4 例5 例6 收斂數(shù)列的有界性 極限的唯一性 例7 收斂數(shù)列的保號性 子數(shù)列的收斂性 內(nèi)容小結(jié) 習(xí)題1-4 返回2、講解注意：3、重點難點：4、例題選講：例1.1 1(lim 1

13、=-+-n n n n 證明講解注意：例2.1, 0lim <=q q n n 其中證明講解注意：例3. 323125lim-=-+n n n 用數(shù)列極限定義證明講解注意：例4. 112lim 22=+-n n n n 用數(shù)列極限定義證明講解注意：例5, 0lim , 0a x x n n n >=>且設(shè).n =求證lim n 講解注意：例6.2|, , , lim :成立不等式時當則存在正整數(shù)若證明A x N n N A x n n n >>=講解注意：例7. 1(1是發(fā)散的證明數(shù)列+-=n n x講解注意：第五節(jié) 函數(shù)的極限1、內(nèi)容分布圖示 自變量趨向無窮大時

14、函數(shù)的極限 例1 例2 例3 自變量趨向有限值時函數(shù)的極限 例4 例5 左右極限 例6 例7 函數(shù)極限的性質(zhì) 子序列收斂性 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題1-5 返回2、講解注意：3、重點難點：4、例題選講：例10sin =x 證明. limx講解注意：例2. 112lim =+-x x X x 定義證明用函數(shù)極限的 講解注意：例3. 02lim (2; 0lim (1=-x x x x 講解注意：例42112=-x x 證明lim x 1. 講解注意：例5lim , 0:000x x x =>時當證明.講解注意：例6 (lim , 0, 10, 1 (02x f x

15、 x x x x f x +<-=求設(shè). 講解注意：例7lim 0不存在.驗證x x 講解注意：第六節(jié) 無窮大與無窮小1、內(nèi)容分布圖示 無窮小 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 例1 無窮小的運算性質(zhì) 例2 無窮大 無窮大與無界變量 無窮小與無窮大的關(guān)系 例3 內(nèi)容小結(jié) 習(xí)題1-6 返回2、講解注意：3、重點難點：4、例題選講：例1根據(jù)定義證明:=y sin x 10x 時為無窮小.當2講解注意：例2. sin lim xxx 求講解注意：例3. 5lim 34+x x x 求講解注意：第七節(jié) 極限運算法則1、內(nèi)容分布圖示 極限運算法則 例1 例2 3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例 10

16、 例 11 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則 例 12 例 13 例 14 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題1-7 返回2、講解注意：3、重點難點：4、例題選講：例1531lim 232+-x x x x 求.講解注意：例23214lim21-+-x x x x 求.講解注意：例3321lim 221-+-x x x x 求.講解注意：例4. 532lim23+x x x 求14723-+x x講解注意：例5lim x 求 + 22n講解注意：.1(1(1(1(lim:3431x x x x x -計算下列極限例6講解注意：. 1211lim 21 -x x x :計算下列極限例7講解注意：.23156lim3

17、23-+x x x x x :計算下列極限例8講解注意：.sin 1(sinlim x x x -+:計算下列極限例9講解注意：.(lim 228x x x x x -+-求例10講解注意：.2lim(2;1!sin lim(1:132x n e tan n n n +計算下列極限例11x講解注意：.(lim , (lim , (lim 011301 (032x f x f x f x x x x x x x f x x x -+-+<-=求已知例12,講解注意：例13求極限lim x 1ln-12x -1(2x .講解注意：., , 2 5(lim 2之值求已知b a c bx ax

18、x x =+-+例14講解注意：第八節(jié) 極限存在準則 兩個重要極限1、內(nèi)容分布圖示夾逼準則例1例2例3單調(diào)有界準則例4例51sin lim 0=x xx 例6例7例8例9例10 例11exx =+11lim 例12例13例14例15 例16例1718柯西極限存在準則連續(xù)復(fù)制內(nèi)容小結(jié)課堂練習(xí)習(xí)題1-8返回(例2、講解注意：3、重點難點：4、例題選講：121lim 22nn n n + 求例1.講解注意：(11(1lim(2;321(lim (1:221n n n n n nn + 計算下列極限例2.講解注意：. 0! lim (3; 0(0!lim (2; 1(0lim (1:=>=>

19、;=n n n n nn n n a n a a a n 證明下列極限例3講解注意：(33重根式證明數(shù)列n x n +=的極限存在.例4 講解注意： .lim , , 2, 1(21:, 001n n n n n x x n x x x a -=+=>求為大于零的常數(shù)其中由下式定義數(shù)列為常數(shù)設(shè) 例5講解注意：. 5sin 3tan lim 0x x x 求例6講解注意：例7cos 1lim20x x x -求.講解注意：例81sin lim lim sin lim sin lim :=x x x x x x x x x x x 下列運算過程是否正確tan x tan x tan x .講

20、解注意：例9. 3cos cos lim20x x x x -計算講解注意：. cos sin lim20x x x x x -+例10計算講解注意：. sin 22lim30x x tan x x +-+例11計算講解注意：例12 11(lim x x -求.講解注意：例13; 21(lim :10x x -計算下列極限講解注意：例14.11(3+n n 求lim講解注意：例15. 122x x x -求 (limx講解注意：例16. cos lim 0xx x +計算講解注意：例17. (lim 10x x x e +計算講解注意：例18. (lim 24x tan x tan x 求極限

21、講解注意：第九節(jié) 無窮小的比較1、內(nèi)容分布圖示 無窮小的比較 例1-2 例3 常用等價無窮小 等價無窮小替換定理 例4 例5 例6 例7 例8 例9 例 10 例 11 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題1-9 返回2、講解注意：3、重點難點：4、例題選講：tan 4, 03的四階無窮小.為時當證明:x x x x 例1 講解注意：例2sin tan , 0的階數(shù).關(guān)于求時當x x x x - 講解注意：例3. 11sin 1(3; lg (2; 23(1:1, 13-+-x x x x x x x 進行比較試將下列各量與無窮小量時當講解注意：例4sin 2tan lim 0x x x 求. 5 講解注

22、意：sin lim 0x 求. 例523x sin tan x x - 講解注意：例6求lim 0x cos 1x -2x ( 1+1/31-.講解注意：例7. 1211lim 0x tan xtan x x -+-+計算講解注意：. 1ln(lim 2cos 0x x e e x x x x +-例8計算講解注意： . sin cos 2lim 20x x x +-例9計算講解注意：例10. cos sec 1ln( 1ln(lim 220x x x x x x x -+-+求講解注意： 例113sin 1cos 5tan lim 0x x x x +-求.講解注意：第十節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間

23、斷點1、內(nèi)容分布圖示 函數(shù)的連續(xù)性 例1 例2 左右連續(xù) 例3 例4 例5 連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 例6 函數(shù)的間斷點 例7 例8 例9 例 10 例 11 例 12 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題1-10 返回2、講解注意：3、重點難點：4、例題選講：, 0, 0, 0, 1sin (試證函數(shù)=x x x x f 0處連續(xù).在=x 例1講解注意：例2. (, (lim , , (, , (000連續(xù)在證明存在若上的單調(diào)增加函數(shù)是定義于x x f x f b a x b a x f x x 講解注意：例3, 0, 2, 0, 2 (討論<-+=x x x x x f 0處的連續(xù)性.在=x講解注意：

24、例4. 101410, 10,00, 21 (2處的連和在討論函數(shù)=>-<+=<+=x x x x x x x x x x f 續(xù)性,講解注意：例5? , 1 (, 12, 2, 1 2(1( (4應(yīng)如何取值與處連續(xù)在為使設(shè)b a x x f x x x x x b ax x x f =-+-+=, 講解注意：, (sin 內(nèi)連續(xù).在區(qū)間證明函數(shù)+-=x y 例6講解注意：0, 0, 1,0, (處的連續(xù)性.在討論函數(shù)=>+-=x x x x x x f 例7講解注意：討論函數(shù)1, 1110, 1, 2 (>+=<=x x x x x f 1處的連續(xù)性.在=x 例8 講解注意：0 (處的連續(xù)性.在討論函數(shù)=x x f , 0, 0>x x , , x 1例9講解注意：例10±=±-+=1, 001, 1(| (., . , 22x x x x x x x f 及補充或修改定義后使其為連續(xù)點若為可去間斷點并判斷其