高等數(shù)學(xué) 試題

1、大一 高等數(shù)學(xué)（上）一、 填空題（每空3分，共42分）1、函數(shù)的定義域是 ；2、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則 ；3、曲線在（-1，-4）處的切線方程是 ；4、已知，則 ；5、= ；6、函數(shù)的極大點(diǎn)是 ；7、設(shè)，則 ；8、曲線的拐點(diǎn)是 ；9、= ；10、設(shè)，且，則= ；11、，則 ， ；12、= ；13、設(shè)可微，則= 。二、 計(jì)算下列各題（每題5分，共20分）1、2、，求；3、設(shè)函數(shù)由方程所確定，求；4、已知，求。三、 求解下列各題（每題5分，共20分） 1、2、3、4、四、 求解下列各題（共18分）：1、求證：當(dāng)時(shí)， （本題8分）2、求由所圍成的圖形的面積，并求該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積。（

2、本題10分）高等數(shù)學(xué)（上）模擬試卷二一、填空題（每空3分，共42分）1、函數(shù)的定義域是 ；2、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則 ；3、曲線在處的切線方程是 ；4、已知，則 ；5、= ；6、函數(shù)的極大點(diǎn)是 ；7、設(shè)，則 ；8、曲線的拐點(diǎn)是 ；9、= ；10、設(shè)，且，則= ；11、，則 ， ；12、= ；13、設(shè)可微，則= 。二、計(jì)算下列各題（每題5分，共20分）1、2、，求；3、設(shè)函數(shù)由方程所確定，求；4、已知，求。三、求解下列各題（每題5分，共20分） 1、2、3、4、四、求解下列各題（共18分）：1、求證：當(dāng)時(shí)， （本題8分）2、求由所圍成的圖形的面積，并求該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積。（本題1

3、0分）習(xí)題4-21. 在下列各式等號(hào)右端的空白處填入適當(dāng)?shù)南禂?shù), 使等式成立(例如: : (1 dx= d(ax; 解dx= d(ax. (2 dx= d(7x-3;解dx= d(7x-3. (3 xdx= d(x2;解xdx= d(x2. (4 xdx= d(5x2;解xdx= d(5x2. (5; 解 . (6x3dx= d(3x4-2;解x3dx= d(3x4-2. (7e 2x dx= d(e2x;解e 2x dx= d(e2x. (8; 解 . (9; 解 . (10; 解 . (11; 解 . (12; 解 . (13; 解 . (14. 解 . 2. 求下列不定積分(其中a, b

4、, , 均為常數(shù): (1;解 . (2; 解 . (3;解 . (4;解 . (5;解 . (6;解 . (7;解 . (8;解 . (9;解 . (10;解 . (11;解 . (12;解 (13;解 . (14;解 . (15;解 . (16;解 . (17;解 . (18;解 . (19;解 . (20;解 . (21;解 . (22;解 . (23;解 . (24;解 . (25;解 . (26;解 . (27;解 . (28;解 . (29;解 . (30;解 . (31;解 . (32;解 . (33;解 . (34(>0;解 , . (35; 解 . 或 . (36; 解

5、. (37;解 . (38;解 . (39;解 . (40. 解 . 習(xí)題5-11. 利用定積分定義計(jì)算由拋物線y=x2+1, 兩直線x=a、x=b(b>a及橫軸所圍成的圖形的面積. 解 第一步: 在區(qū)間a, b內(nèi)插入n-1個(gè)分點(diǎn)(i=1, 2, , n-1, 把區(qū)間a, b分成n個(gè)長(zhǎng)度相等的小區(qū)間, 各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為: (i=1, 2, , n. 第二步: 在第i個(gè)小區(qū)間xi-1, xi (i=1, 2, , n上取右端點(diǎn), 作和. 第三步: 令=maxx1, x2, , xn, 取極限得所求面積.2. 利用定積分定義計(jì)算下列積分: (1(a<b; (2. 解 (1取分點(diǎn)為(i

6、=1, 2, , n-1, 則(i=1, 2, , n. 在第i 個(gè)小區(qū)間上取右端點(diǎn)(i=1, 2, , n. 于是. (2取分點(diǎn)為(i=1, 2, , n-1, 則(i=1, 2, , n. 在第i 個(gè)小區(qū)間上取右端點(diǎn)(i=1, 2, , n. 于是. 3. 利用定積分的幾何意義, 說明下列等式: (1; (2; (3; (4. 解 (1表示由直線y=2x、x軸及直線x=1所圍成的面積, 顯然面積為1. (2表示由曲線、x軸及y軸所圍成的四分之一圓的面積, 即圓x2y2=1的面積的: . (3由于y=sin x為奇函數(shù), 在關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間-, 上與x軸所夾的面積的代數(shù)和為零, 即 . (

7、4 表示由曲線y=cos x與x軸上一段所圍成的圖形的面積. 因?yàn)閏os x為偶函數(shù), 所以此圖形關(guān)于y軸對(duì)稱. 因此圖形面積的一半為, 即. 4. 水利工程中要計(jì)算攔水閘門所受的水壓力, 已知閘門上水的壓強(qiáng)p(單位面積上的壓力大小是水深h的函數(shù), 且有p=98h (kN/m2. 若閘門高H=3m, 寬L=2m, 求水面與閘門頂相齊時(shí)閘門所受的水壓力P. 解 建立坐標(biāo)系如圖. 用分點(diǎn)(i=1, 2, , n-1將區(qū)間0, H分為n分個(gè)小區(qū)間, 各小區(qū)間的長(zhǎng)為(i=1, 2, , n. 在第i個(gè)小區(qū)間xi-1, xi上, 閘門相應(yīng)部分所受的水壓力近似為 Pi=9.8x ilx i . 閘門所受的

8、水壓力為. 將L=2, H=3代入上式得P=88.2(千牛. 5. 證明定積分性質(zhì):(1; (2. 證明 (1. (2. 6. 估計(jì)下列各積分的值: (1; (2; (3; (4. 解 (1因?yàn)楫?dāng)1x4時(shí), 2x2117, 所以, 即 . (2因?yàn)楫?dāng)時(shí), 11sin2x2, 所以, 即 . (3先求函數(shù)f(x=x arctan x在區(qū)間上的最大值M與最小值m. . 因?yàn)楫?dāng)時(shí), f (x0, 所以函數(shù)f(x=x arctan x在區(qū)間上單調(diào)增加. 于是, . 因此 , 即 . (4先求函數(shù)在區(qū)間0, 2上的最大值M與最小值m. , 駐點(diǎn)為. 比較f(0=1, f(2=e 2, ,得, M=e 2

9、. 于是, 即 . 7. 設(shè)f(x及g(x在a, b上連續(xù), 證明:(1若在a, b上, f(x0, 且, 則在a, b上f(x0; (2若在a, b上, f(x0, 且f(x0, 則; (3若在a, b上, f(xg(x, 且, 則在a, b上f(xg(x. 證明 (1假如f(x0, 則必有f(x0. 根據(jù)f(x在a, b上的連續(xù)性, 在a, b上存在一點(diǎn)x0, 使f(x00, 且f(x0為f(x在a, b上的最大值. 再由連續(xù)性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使當(dāng)xc, d時(shí), . 于是. 這與條件相矛盾. 因此在a, b上f(x0. (2證法一 因?yàn)閒(x在a, b上連續(xù),

10、 所以在a, b上存在一點(diǎn)x0, 使f(x00, 且f(x0為f(x在a, b上的最大值. 再由連續(xù)性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使當(dāng)xc, d時(shí), . 于是.證法二 因?yàn)閒(x0, 所以. 假如不成立. 則只有, 根據(jù)結(jié)論(1, f(x0, 矛盾. 因此. (3令F(x=g(x-f(x, 則在a, b上F(x0且, 由結(jié)論(1, 在a, b上F(x0, 即f(xg(x.4. 根據(jù)定積分的性質(zhì)及第7題的結(jié)論, 說明下列積分哪一個(gè)的值較大: (1還是？(2還是？(3還是？(4還是？(5還是？解 (1因?yàn)楫?dāng)0x1時(shí), x2x3, 所以. 又當(dāng)0x1時(shí), x2x3, 所以. (2因?yàn)楫?dāng)1x2時(shí), x2x3, 所以. 又因?yàn)楫?dāng)1x2時(shí), x2x3, 所以.(3因?yàn)楫?dāng)1x2時(shí), 0ln x1, ln x(ln x2, 所以.又因?yàn)楫?dāng)1x2時(shí), 0ln x