高等數(shù)學(xué) 不定積分例題、思路和答案(超全)

1、第4章 不定積分習(xí)題4-11.求下列不定積分：知識(shí)點(diǎn)：直接積分法的練習(xí)求不定積分的基本方法。思路分析：利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本積分公式，直接求出不定積分！(1) -52思路: 被積函數(shù)-52=x，由積分表中的公式（2）可解。 解：=xdx=-23x-32+C(2)-dx思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。 解：-(3)（221dx=(x3-x-121)dx=x3dx-x-12dx=3441x3-2x2+C x+x）dx思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。 解：（2+x）dx=(4)x22dx+xxdx=22xln2+13x+C 3x-3)dx

2、思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。31解：x-3)dx=x2dx-3x2dx=2553x2-2x2+C(5)3x+3x+1x+14242思路:觀察到分。 3x+3x+1x+122=3x+21x+12后，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項(xiàng)，分別積解：3x+3x+1x+1x22242dx=3xdx+21+x12=x+arctanx+C 3(6)1+xdx思路:注意到x221+x=x+1-11+x22=1-11+x2，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項(xiàng)，分別積分。解：x21+x=2dx-11+x2=x-arctanx+C.注：容易看出(5)(6)兩題的解題思路是一致

3、的。一般地，如果被積函數(shù)為一個(gè)有理的假分式，通常先將其分解為一個(gè)整式加上或減去一個(gè)真分式的形式，再分項(xiàng)積分。(7)（x2x2-1x1x+3x-4x4）dx思路:分項(xiàng)積分。 解：（=14-2+3x-4x4）dx=x-21243xxdx-3x1+3xdx-4xdx-3-4x-ln|x|-32+C.(8)(31+x2-dx思路:分項(xiàng)積分。 解：(31+x2-dx=311+x2dx-2=3arctanx-2arcsinx+C.(9)1思路解：=？7=x2dx=81515+148+17=x8，直接積分。=x8x8+C.(10)x12(1+x)2思路:裂項(xiàng)分項(xiàng)積分。 解：1x(1+x)22=(1x2-11

4、+x2)dx=x12dx-1+x12dx=-1x-arctanx+C.(11)e-1e-1e2xx2xxdx(e-1)(e+1)e-1xxx解：(12)-1e-1=(ex+1)dx=e+x+C.x3xedxxxxx（3e）。 思路:初中數(shù)學(xué)中有同底數(shù)冪的乘法： 指數(shù)不變，底數(shù)相乘。顯然3e=解：3edx=（3e）dx=(13)xxx（3e）ln(3e)x+C. cotxdx 2思路:應(yīng)用三角恒等式“cot2x=csc2x-1”。解：cot2xdx=(csc2x-1)dx=-cotx-x+C(14)23-523xxx思路:被積函數(shù) 23-523xxxx2x=2-（5），積分沒困難。 32x()2

5、3-522x解：=（2-（5）dx=2x-5+C. x33ln2-ln32xdx (15)cos2思路:若被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶次方時(shí)，一般地先降冪，再積分。 x解：cos(16)2x2d=11+cosx2=12x+12sinx+C. 1+cos2x1=思路:應(yīng)用弦函數(shù)的升降冪公式，先升冪再積分。 解：(17)cosx-sinx221+cos2xcos2x2cos12xdx=12secxdx=212tanx+C. 思路:不難，關(guān)鍵知道“cos2x=cosx-sinx=(cosx+sinx)(cosx-sinx)”。解：(18)cos2xcosx-sinxcos2x2=(cosx+sinx)dx=

6、sinx-cosx+C. cosxsinx222思路:同上題方法，應(yīng)用“cos2x=cosx-sinx”，分項(xiàng)積分。cos2xcosxsinx2解：=22dx=cosx-sinxcosxsinx2222dx=sin12xdx-cos12xx cscxdx-secxdx=-cotx-tanx+C. 2(19)+dx思路:注意到被積函數(shù)+=，應(yīng)用公式(5)即可。解：+2dx=2=2arcsinx+C.(20)1+cos2x1+cosx1+cos2x12221+cosx思路:注意到被積函數(shù) =1+cosx2cosx1222=12secx+212，則積分易得。解：1+cosx1+cos2x2=secx

7、dx+dx=tanx+x2+C.2、設(shè)xf(x)dx=arccosx+C，求f(x)。ddxf(x)dx=f(x)即可。知識(shí)點(diǎn)：考查不定積分（原函數(shù)）與被積函數(shù)的關(guān)系。 思路分析：直接利用不定積分的性質(zhì)1：解：等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得：xf(x)=-13、設(shè)f(x)=-1f(x)的導(dǎo)函數(shù)為sinx，求f(x)的原函數(shù)全體。知識(shí)點(diǎn)：仍為考查不定積分（原函數(shù)）與被積函數(shù)的關(guān)系。 思路分析：連續(xù)兩次求不定積分即可。 解：由題意可知，f(x)=sinxdx=-cosx+C1所以f(x)的原函數(shù)全體為：（-cosx+C1）dx=-sinx+C1x+C2。4、證明函數(shù)12e2x,eshx和echx都是xxex

8、chx-shx的原函數(shù)知識(shí)點(diǎn)：考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關(guān)系。 思路分析：只需驗(yàn)證即可。 解：exchx-shx=e2x，而ddx(12e2x)=ddxeshx=xddxechx=ex2x5、一曲線通過(guò)點(diǎn)(e2,3)，且在任意點(diǎn)處的切線的斜率都等于該點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求此曲線的方程。知識(shí)點(diǎn)：屬于第12章最簡(jiǎn)單的一階線性微分方程的初值問題，實(shí)質(zhì)仍為考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得曲線方程的一般式，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)帶入方程確定具體的方程即可。解：設(shè)曲線方程為y=f(x)，由題意可知：2ddx2f(x)=1x，f(x)=ln|x|+C； 又點(diǎn)(e,3)在曲線上，適合方程，

9、有3=ln(e)+C,C=1，所以曲線的方程為f(x)=ln|x|+1.6、一物體由靜止開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t秒后的速度是3t(m/s)，問： 2（1）（2）關(guān)系。 在3秒后物體離開出發(fā)點(diǎn)的距離是多少？ 物體走完360米需要多少時(shí)間？ 知識(shí)點(diǎn)：屬于最簡(jiǎn)單的一階線性微分方程的初值問題，實(shí)質(zhì)仍為考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的思路分析：求得物體的位移方程的一般式，然后將條件帶入方程即可。解：設(shè)物體的位移方程為：y=f(t)， 則由速度和位移的關(guān)系可得：ddtf(t)=3tf(t)=t+C，323又因?yàn)槲矬w是由靜止開始運(yùn)動(dòng)的，f(0)=0,C=0,f(t)=t。(1) 3秒后物體離開出發(fā)點(diǎn)的距離為:f(3

10、)=3=27米；(2)令t33=360t=秒。習(xí)題4-21、填空是下列等式成立。知識(shí)點(diǎn)：練習(xí)簡(jiǎn)單的湊微分。思路分析：根據(jù)微分運(yùn)算湊齊系數(shù)即可。解：(1)dx=2x17d(7x-3);(2)xdx=-12d(1-x);(3)xdx=23112d(3x-2); 4(4)edx=(7)112d(e2x);(5)dxx=15d(5ln|x|);(6)=12dxx=-15d(3-5ln|x|);=13=2d(8)dxcos2x2d(tan2x);(9)dx1+9x2 d(arctan3x).2、求下列不定積分。知識(shí)點(diǎn)：（湊微分）第一換元積分法的練習(xí)。思路分析：審題看看是否需要湊微分。直白的講，湊微分其實(shí)

11、就是看看積分表達(dá)式中，有沒有成塊的形式作為一個(gè)整體變量，這種能夠馬上觀察出來(lái)的功夫來(lái)自對(duì)微積分基本公式的熟練掌握。此外第二類換元法中的倒代換法對(duì)特定的題目也非常有效，這在課外例題中專門介紹?。?）edt 3t思路:湊微分。解：e3tdt=(2)133ed(3t)=3t13e3t+C (3-5x)dx3思路:湊微分。 解：(3-5x)dx=-(3)15(3-5x)d(3-5x)=-3120(3-5x)+C 43-2xdx13-2x=-121思路:湊微分。 解：(4)3-2x1(3-2x)=-12ln|3-2x|+C. 思路:湊微分。解：(5)=-x13(5-3x)=-1(5-3x)3-13d(5

12、-3x)=-122(5-3x)3+C.(sinax-eb)dx思路:湊微分。x解：(sinax-e)dx=b1axsinaxd(ax)-bebd()=-cosax-be+C babx1x(6)思路:如果你能看到d=t，湊出d易解。解：(7)10=2cos2=2sin+C tanxsecxdx 思路:湊微分。解：tan(8)10xsecxdx=dx2tan10xd(tanx)=111tan11x+C. xlnxlnlnx思路:連續(xù)三次應(yīng)用公式(3)湊微分即可。解：(9)dxxlnxlnlnx=lnxlnlnx=d(ln|x|)d(ln|lnx|)lnlnx=ln|lnlnx|+C tan思路:是

13、什么，是什么呢？就是！這有一定難度！解：tan(10)=tan=-ln|cos+C sinxcosx dx思路:湊微分。解：方法一：倍角公式sin2x=2sinxcosx。dx2dxsinxcosxdx=sin2x=csc2xd2x=ln|csc2x-cot2x|+Cdx= 方法二：將被積函數(shù)湊出tanx的函數(shù)和tanx的導(dǎo)數(shù)。 sinxcosxsinxcos=cosx2xtanx1secxdx=2tanxdtanx=ln|tanx|+C 1方法三： 三角公式sin2x+cos2x=1，然后湊微分。dxsinx+cosxsinxcosx22sinxcosx=cosxsinxdx+sinxcos

14、xdx=-dcosxcosx+dsinxsinx=-ln|cosx|+ln|sinx|+C=ln|tanx|+C(11)edxx+e-xedxe2xx思路:湊微分：dxe+ex-x=+1=dex2x1+exx=dexx21+(e)x。 解：(12)dxe+ex-x=eedx2xx+1=1+(ede)2=arctane+C xcos(x)dx 2思路:湊微分。解：xcos(x)dx=(13)212cosxdx22=12sinx+C 2 8思路:=12=-162湊微分易解。解：(14)xdx=-6d(2-3x)2=-(2-3x)2-12d(2-3x)=-2Ccos2(t)sin(t)dt思路:湊微

15、分。解：cos2(t)sin(t)dt=-13cos(t)+C.31cos(t)sin(t)dt=-21cos(t)dcos(t)2(15)1-x33x34思路:湊微分。 解：3x=431-x41-x4x3dx=4341-x1=-44341-x1(1-x)=-4434ln|1-x|+C.4(16)cos3sinx3x思路:湊微分。 解：sinxcosxdx=-1cosx3cosx=1122cosx+C.(17)思路:經(jīng)過(guò)兩步湊微分即可。解：=10=10110=11010+C(18)思路:分項(xiàng)后分別湊微分即可。 解：=-=1212122x32x32x3-18184x2=+9-4x）2=arcsi

16、n()+C.(19)2xdx2-1思路:裂項(xiàng)分項(xiàng)后分別湊微分即可。 解：dx2x-12=12-dx=xdxd C.=-1)-+1)=(20)(4-5x)xdx(4-5x)125122思路:分項(xiàng)后分別湊微分即可。 解：=14-5x-4111-）dx=（-4）d(4-5x) 25(4-5x)2254-5x(4-5x)4112541=4-5xxdx1002d(4-5x)-25(4-5x)(4-5x)=2ln|4-5x|+254-5x+C.(21)(x-1)xdx(x-1)2思路:分項(xiàng)后分別湊微分即可。 解：=100(x-1+1)dx(x-1)1002=(x-1)(x-1)2100+2(x-1)(x-

17、1)100+1(x-1)100)dx=(1(x-1)198+21(x-1)199+1(x-1)1100)d(x-1)=-19797(x-1)-19849(x-1)-19999(x-1)+C.(22)xxdx8-1思路:裂項(xiàng)分項(xiàng)后分別湊微分即可。 解：xdxx-18=(x12xdx4-1)(x+1)4=21(1x-124-1x+14)xdx=14(1x-14-1x+1242)dx=-14112x-112(-21x+1182)-1x+1224dx=14181x-122d(x-1)-2x12+1d(x+1)4(x)+12=ln|x-1x+1|-arctanx+C.(23)3cosxdx 思路:湊微分

18、。cosxdx=dsinx。解：cos3xdx=cos2xcosxdx=cos2xdsinx=(1-sin2x)dsinx=sinx-(24)13sinx+C3cos22(t+)dt思路:降冪后分項(xiàng)湊微分。 解：cos(t+)dt=12t+141+cos2(t+)2dt=21+14cos2(t+)d2(t+)sin2(t+)+C(25)sin2xcos3xdx21(sin5x-sinx)dx=110思路:積化和差后分項(xiàng)湊微分。 解：sin2xcos3xdx=-110cos5x+12sin5xd5x-1sinxdx 2cosx+C(26)sin5xsin7xdx21(cos2x-cos12x)d

19、x=14思路:積化和差后分項(xiàng)湊微分。 解：sin5xsin7xdx=14sin2x-124cos2xd2x-cos12xd(12x) 241sin12x+C.(27)tan3xsecxdx思路:湊微分tanxsecxdx=dsecx。 解：tan3xsecxdx=tanxtanxsecxdx=2tanxdsecx=2(secx-1)dsecx2=secxdsecx-2dsecx=13secx-secx+C3(28)arccosx思路:=d(-arccosx)。解：arccosx=-10arccosxdarccosx=-10arccosxln10+C.(29)思路:dx=d(arcsinx)。解

20、：=(arcsinx)darcsinx2=-1arcsinx+C(30)思路:=2arctan(arctan。解：=2arctan(arctan=(arctan(31)+C2cosxsinxdxlntanxcosxtanx2lntanx2思路:被積函數(shù)中間變量為tanx，故須在微分中湊出tanx，即被積函數(shù)中湊出secx，lntanxcosxsinxdx=dx=lntanxtanxsecxdx=12lntanxtanx2dtanx=lntanxd(lntanx)=d(解：=lntanxcosxsinx12dx=2coslntanx2xtanxdx=2lntanxtanx(lntanx) dta

21、nx=lntanxd(lntanx)(lntanx)+C(32)(xlnx)1+lnx2dx思路:d(xlnx)=(1+lnx)dx1+lnx(xlnx)2解：dx=(xlnx)12d(xlnx)=-1xlnx+C(33)1-edxx解：方法一：思路:將被積函數(shù)的分子分母同時(shí)除以 ex，則湊微分易得。dxe-x-x1-ex=e-1=-1e-x-1d(e-x)=-1e-x-1(e-x-1)=-ln|e-x-1|+C方法二：思路:分項(xiàng)后湊微分1-edxx=1-e+e1-exxxdx=1dx+1-exex=x-x-x1-e1(1-e) xx=x-ln|1-exx=x-(lne-|+C=x-lne(l

22、ne|-xe| )C-1|+-x+1C|)=-lne|-1+|C方法三：思路: 將被積函數(shù)的分子分母同時(shí)乘以 ex，裂項(xiàng)后湊微分。 dx1-ex=eedxxx(1-e)xx=edexxx(1-e)=11+xx1-ee-1|+C1xxxde=lne-d(1-e) x1-e=x-ln|1-e|+C=-ln|e(34)-xx(xdx6+4)解：方法一: 思路：分項(xiàng)后湊積分。x(xdx6+4)=14x(x4dx6+4)124=14x+4-xdxx(x+4)666651x= -6dx4xx+41=14ln|x|-d(x+4)x+46=14ln|x|-124ln|x+4|+C6方法二：思路:利用第二類換元

23、法的倒代換。 令x=1t，則dx=-dx61t2dt。x(x=-+4)=6t1t6(-1t12)dt=-124+41+4td(4t)66=-124d(4t+1)1+4t66124ln(1+4t)+C=-24ln(1+4x6)+C.(35)xdx8(1-x)2解：方法一:思路：分項(xiàng)后湊積分。xdx8(1-x)22=1-x+x8288x(1-x)46dx=(1-x)(1+x)(1+x)x(1-x)dx82224dx+1-xdx2=1+x+x+xx1x88dx+(1-x)(1+x)1-x1ln1dx 2=(+1x+61x+4x1)2dx+=-17x7-15x-513x-3x1-1x1+x2+C方法二

24、： 思路: 利用第二類換元法的倒代換。 令x=1t，則dx=-t1-1t82dt。xdx8(1-x)2=1t2(-1t2dt)=-t28t-1=-(t+t+t+1+6421t-12)dt=-(t+t+t+1)dt-(=-17t-76421t-1ln|2)dt=-(t+t+t+1)dt-|+C=-117x764212(-1t-11x-121t+1ln|)dt|+C15t-513t-t-312t-1t+1-115x5-113x31-x1+x3、求下列不定積分。知識(shí)點(diǎn)：（真正的換元，主要是三角換元）第二種換元積分法的練習(xí)。思路分析：題目特征是-被積函數(shù)中有二次根式，如何化無(wú)理式為有理式？三角函數(shù)中，

25、下列二恒等式起到了重要的作用。sinx+cosx=1;22secx-tanx=1.22為保證替換函數(shù)的單調(diào)性，通常將交的范圍加以限制，以確保函數(shù)單調(diào)。不妨將角的范圍統(tǒng)統(tǒng)限制在銳角范圍內(nèi)，得出新變量的表達(dá)式，再形式化地?fù)Q回原變量即可。(1)2思路:令x=sint,t<解：令x=sint,t<，先進(jìn)行三角換元，分項(xiàng)后，再用三角函數(shù)的升降冪公式。2，則dx=costdt。=1+costcostdtdt-1+costdt=t-dt2cos2t2=t-sec2t2dt2=t-tant2+C=arcsinx-t2sint1+costsintC.（或=arcsinx-1-x+C）（萬(wàn)能公式tan

26、=1-cost，又sint=x時(shí)，cost=）(2)x思路:令x=3sect,t(0,解：令x=3sect,t(0,x22)，三角換元。)，則dx=3secttantdt。=3sect3tant3secttantdt=3tantdt=3(sect-1)dt3|x|22=3tant-3t+C=3arccos+C.（x=3secx時(shí)，cosx=3x,sinx=xtanx=3）(3)2思路:令x=tant,t<解：令x=tant,t<，三角換元。2，則dx=sectdt。22dx=sectdtsect3=sectdt=costdt=sint+C=x+C(4)思路:令x=atant,t&l

27、t;解：令x=atant,t<2，三角換元。23，則dx=asec2tdt。2=x=asectdtasect3=adt2sect=1a2costdt=1a2sint+C+C.(5)2思路:先令u=x2，進(jìn)行第一次換元；然后令u=tant,t<=1222，進(jìn)行第二次換元。解：=122，令u=x得：22=212，令u=tant,t<2，則du=sec2tdt，12122=12ln=12tantsect12tant+1sectdt=212tant+1tantsectdt(csct+sect)dt=lnu+lnsect+tant+lncsct-cott+C122=12-1u+C=ln

28、x+12ln+C.（與課本后答案不同）(6)思路:三角換元，關(guān)鍵配方要正確。22解： 5-4x-x=9-(x+2)，令x+2=3sint,t<2，則dx=3costdt。=92=arcsinx+23+9costdt=921+cos2t2=9(t2+14sin2t)+CC.4、求一個(gè)函數(shù)f(x),滿足f(x)='，且f(0)=1。思路:1f(0)=1確定出常數(shù)C 的值即可。解：=(x+1)=+C.令f(x)=+C，又f(0)=1，可知C=-1，f(x)=-1.5、設(shè)In=ntanxdx,，求證：In=1n-1tann-1x-In-2，并求tan5xdx。思路:由目標(biāo)式子可以看出應(yīng)將

29、被積函數(shù)tannx 分開成tann-2xtan2x，進(jìn)而寫成：tann-2x(secx-1)=tan2n-2xsecx-tann-222n-2x，分項(xiàng)積分即可。n-2證明：In=tanxdx=n(tanxsecx-tanx)dx=tann-2xsecxdx-2tann-2xdx=tann-2xdtanx-In-2=51n-1142tan4n-1x-In-2.14tanx-44n=5時(shí)，I5=14tanxdx=4tanx-I3=12tanx+I1tanx-lncosx+C.22tanx-12tanx+tanxdx=14tanx-12習(xí)題4-31、 求下列不定積分：知識(shí)點(diǎn)：基本的分部積分法的練習(xí)。

30、思路分析：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指順序，越靠后的越優(yōu)先納入到微分號(hào)下湊微分。”的原則進(jìn)行分部積分的練習(xí)。（1）arcsinxdx思路:被積函數(shù)的形式看作xarcsinx，按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序，冪函數(shù)x0優(yōu)先納入到微分號(hào)下，湊微分后仍為dx。解：arcsinxdx=xarcsinx-=xarcsinx+C.（2）x=xarcsinx+12(1-x)2ln(1+x)dx2x2x222思路：同上題。解：ln(1+x)dx=xln(1+x)-22x1+x2=xln(1+x)-21+x=xln(1+x)-222(x+1)-21+x22=xln(1+x)-22dx+2dx21+x=xln(1

31、+x)-2x+2arctanx+C.（3）arctanxdxdx1+x2思路：同上題。解：arctanxdx=xarctanx-x=xarctanx-(4)=xarctanx-12d(1+x)1+x2212ln(1+x)+C2e-2xsinx2x2思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： e=-=-=-e-2x-2xsin=sinx2(-12e-2x)=-12e-2xsinx2+12e-2x12cosx2dx121212eee-2xsinsinsinx2x2x2+-11x1-2xcos(-22e)44(-e12e-2x-2xcos-x2x21-14e-2xsinx2x2)-2

32、x-2xcosx216e-2xsinsin2x2dx=-2e-2x17(4sin+cosx2)+C.(5)xarctanxdx思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解：xarctanxdx=1313132arctanxd(x+x-x1+x123x33)=1313xarctanx-33131x311+xx1+x22=xarctanx-313=xarctanx-3(x-162)dx=xarctanx-xarctanx-x2331316xdx+231+x2x=213xarctanx-3x+161+x1(1+x)22x+16ln(1+x)+C.(6)xcos思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、

33、三、指”順序湊微分即可。解：xcos=2xdsin2=2xsin(7)xx2=2xsinx2-2sinx2=2xsinx2-4sinx2x2x2+4cosx2+C.xtanxdx2思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解：xtan2xdx=x(sec2x-1)dx=(xsec2x-x)dx=122xsec2xdx-xdx12x+C.2xd(tanx)-xdx=xtanx-tanxdx-x=xtanx+lncosx-(8)lnxdx222思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解：lnxdx=xlnx-21122x2lnx=xlnx-2lnxdx=xlnx-2xln

34、x+2xdxxx2=xlnx-2xlnx+2dx=xlnx-2xlnx+2x+C.(9)xln(x-1)dxx2思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解：xln(x-1)dx=1212ln(x-1)d122=12xln(x-1)-212x-1121x-1x2=xln(x-1)-222x-1+1x-112x-=12xln(x-1)-2(x+1+)dx=xln(x-1)-214x-12ln(x-1)+C(10)2lnxx22dx思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解：lnxx12=lnxd(-21x1)=-1x1xlnx+2x2x12lnx1xdx=-11xlnx

35、+21xlnx-22lnxx22xxx12=-(lnx+lnx+2)+Cx(11)=-lnx+2lnxd(-2)=-lnx-2lnx+2x=-22xlnx-+Ccoslnxdx思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。解： coslnxdx=xcoslnx+=xcoslnx+xsinlnx-1xsinlnx=xcoslnx+xsinlnxdx1xcoslnx=xcoslnx+xsinlnx-xcoslnxdxcoslnxdx=lnxx2x2(coslnx+sinlnx)+C.(12)思路：詳見第(10) 小題解答中間，解答略。(13)xlnxdxn(n-1)思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪

36、、三、指”順序湊微分即可。 解：xlnxdx=1n+1nlnxdxn+1n+11=1n+1xn+1lnx-n+11xn+11 x+C. =xn+1lnx-n+1xdx=n1n+1xn+11lnx-(n+1)(14)x2e-xdx思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。解：x2e-xdx=-x2e-x+e-x2xdx=-x2e-x-2xe-x+2e-xdx=-xe(15)2-x-2xe2-x-2e-x+C=-e-x(x+2x+2)+C2x33(lnx)dx思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解：x(lnx)dx=141414x(lnx)-x(lnx)-x(lnx)-

37、lnlnxx4242422(lnx)d(214x)=414x(lnx)-4214x2lnx41xdx121818xlnxdx=43144x(lnx)-1xdx=1814442184lnxdx24xlnx+xlnx+4181x4x(lnx)-218xlnx+14418xdx332x+C=x(2lnx-lnx+)+C.(16)dxlnlnxxdx寫成lnlnxd(lnx)，將lnx看作一個(gè)整體變量積分即可。思路： 將積分表達(dá)式解：lnlnxxdx=lnlnxd(lnx)=lnxlnlnx-lnx1lnx1xdx=lnxlnlnx-xdx1=lnxlnlnx-lnx+C=lnx(lnlnx-1)+C

38、. (17)xsinxcosxdx21xsin2xdx=1214思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解：xsinxcosxdx=-(18)xd(-12cos2x)=-1814xcos2x+14cos2xdx14xcos2x+xcos2218cos2xd2x=-xcos2x+sin2x+C.x2dx1+cosx2，然后分項(xiàng)積分；第二個(gè)積分嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順?biāo)悸罚合葘os2序湊微分即可。x2降冪得解：xcos=16161622x2dx=(12x+2123xcosx)dx=212xdx+21x22cosxdxx+x+33121212xdsinx=2216x+12xs

39、inx-16x+321222xsinxdxcosxdxxsinx+xdcosx=12xsinx+xcosx-=x+3xsinx+xcosx-sinx+C2(19)2(x-1)sin2xdx思路：分項(xiàng)后對(duì)第一個(gè)積分分部積分。 解：(x-1)sin2xdx=-+1212xcos2x+1222xsin2xdx-2sin2xdx=cos2x=-121212xd(-212cos2x)+12cos2x1222xcos2xdx+1212xcos2x+1221xdsin2x2cos2x=-12122xcos2x+1212xsin2x-1434cos2x+sin2xdx+cos2x+C12cos2x=-=-xc

40、os2x+xcos2x+xsin2x+xsin2x+2cos2x+C=-(xsin2x-32)cos2x+x2sin2x+C.(20)思路：首先換元，后分部積分。 解：令t=，則x=t3,dx=3t2dt,=tet3tdt=3etdt=3tde=3te-32tedtt2ttt2ttt2t22t2tt=3te-32tde=3te-6et+6edt=3te-6et+6e+C =(21)2-66+C=32)+C.(arcsinx)2dx思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解：(arcsinx)2dx=x(arcsinx)2-2x=x(arcsinx)+2(1-x)=x(arcsinx)+2arcsinxd2=x(arcsinx)+x-22=x(arcsinx)+x-2dx=x(arcsinx)+x-2x+C.(22)exsinxdx2思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解：方法一：esinxdx=esinx-x2x2sinxde=esinx-esin2xdxsin2xdexxxxx2xx2xe2sinxcosxdx=esin2x-xexsin2xdx=ex2cos2xdx=esin2x-2cos2xdexx=esin2x-2ecos2x-4esin2xdxesin2xdx=esinxdx=x2xxe(sin2x-2cos2x)5ex2+