第九章 電流的磁場(chǎng)

1、第九章 電流的磁場(chǎng)本章教學(xué)要點(diǎn)1. 確切掌握畢奧-薩法爾定律和安培環(huán)路定理及其應(yīng)用。2. 了解磁場(chǎng)對(duì)電流的作用及安培力。習(xí)題91. 通過一條絕緣長(zhǎng)直導(dǎo)線的電流強(qiáng)度為0.2A，求距離導(dǎo)線10cm處的磁感應(yīng)強(qiáng)度是多少特斯拉？方向如何？若把長(zhǎng)直導(dǎo)線在中點(diǎn)處對(duì)折并繞在一起時(shí)，其周圍磁場(chǎng)如何？解 根據(jù)無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線在其周圍任一點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可直接求得。 （1）磁感應(yīng)線是在垂直導(dǎo)線的平面內(nèi)以長(zhǎng)直導(dǎo)線為軸的一系列同心圓，電流方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向滿足右手定則。 （2）由于這兩個(gè)兩半無限長(zhǎng)直導(dǎo)線在其周圍任一點(diǎn)產(chǎn)生的B的大小相等，方向相反，故其周圍的磁場(chǎng)為零。92 . 一半徑為0.2m，阻值為100W的

2、圓形電流回路，接上6V電壓，求回路中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。解 根據(jù)圓電流在其中心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小 可直接求得。 電流 93. 如圖所示，電流I4A的無限長(zhǎng)直導(dǎo)線，中部彎成半徑為R0.11m的半圓環(huán)，求環(huán)中心O點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解 O點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度是AB、DE兩半無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線及載流半圓弧BCD分別在O點(diǎn)產(chǎn)生的B的矢量和。而對(duì)于載流半無限長(zhǎng)直導(dǎo)線來說，在其延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)產(chǎn)生的B0，所以本題只需要求載流半圓弧BCD在O點(diǎn)產(chǎn)生的B。 方向垂直紙面向里。94 . 電流I10A的無限長(zhǎng)直導(dǎo)線，中部彎成半徑R0.50cm的半圓環(huán)，成“U”形，如圖所示。求（1）半圓環(huán)中心O點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。（2

3、）在O點(diǎn)右側(cè)較遠(yuǎn)處，且到兩直線距離相等的a點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度Ba。解 （1）O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)為 B0B半圓B1B2，根據(jù)有限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線在其周圍一點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)，可求得B1、B2。對(duì)導(dǎo)線1：a10，a2p/2；對(duì)導(dǎo)線2：a1p/2，a2p。 由右手定則判斷三者在O點(diǎn)激發(fā)的B的方向相同都是垂直紙面向外，則得 方向垂直紙面向里。 （2）若在半圓環(huán)上任取電流元Idl，則Idl在a點(diǎn)產(chǎn)生的dB的大小為因r>>，所以dB»0，即整個(gè)半圓環(huán)在a點(diǎn)處的B0。a離0點(diǎn)很遠(yuǎn)，可視為兩無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線在a點(diǎn)產(chǎn)生的B的疊加，則 ， 方向垂直紙面向里95 . AD和BC是以O(shè)為公共圓心的兩個(gè)半

4、圓弧，半徑分別為R1和R2，并與線段AB和CD構(gòu)成載有電流I的回路，如圖95示。求弧心O點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。 解 若導(dǎo)線中通有如圖95所示的電流，可知AB和CD在O點(diǎn)的，由右手定則可知半圓1與半圓2在O點(diǎn)激發(fā)的B方向相反，則 方向垂直紙面向里。96. 計(jì)算如圖所示回路中兩個(gè)圓弧的公共圓心 O點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。設(shè)此兩圓弧所張的圓心角為，兩圓弧半徑分別為R1和R2。 解 若一段圓弧所張的圓心角是，則這段圓弧在圓心O處激發(fā)的B的大小為 則可得兩載流圓弧在O點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為方向垂直紙面向里。97. 一直線導(dǎo)體載有電流I，中間被分割成分別載有電流為I/2的兩個(gè)相同的半圓環(huán)，如題圖所示，求公共環(huán)心O處

5、的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。 解 兩半圓在O點(diǎn)產(chǎn)生的B的大小相等、方 向相反、相互抵消，而B1OB2O0（O在1、2的延長(zhǎng)線上）。 。98. 如圖示，閉合回路中載有電流I，兩同心半圓環(huán)的半徑分別為R1和R2，求環(huán)心O點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度及閉合回路的磁矩。 解（1）因半圓1、2在O點(diǎn)激發(fā)的B方向相同，而BABBCD0，所以， 方向垂直紙面向里。（2）閉合線圈的磁矩，則方向垂直紙面向里。99 . 設(shè)通過圓柱導(dǎo)體的電流強(qiáng)度I均勻地分布于圓柱的截面上，截面半徑是R。如果圓柱體很長(zhǎng)，則在靠近它的中部不遠(yuǎn)處的磁場(chǎng)具有對(duì)稱性，方向與圓柱體的軸線垂直，求該圓柱體上的電流在上述部分的內(nèi)、外磁場(chǎng)。解 由于磁場(chǎng)分布具有對(duì)稱性，可根

6、據(jù)安培環(huán)路定理求解。取半徑為r的同心圓為積分路徑，利用安培環(huán)路定理，可求得各區(qū)域的B的大小。在 r<R 區(qū)域： 在r>R區(qū)域： 910. 0.40m長(zhǎng)的細(xì)螺線管上繞有1000匝導(dǎo)線，其電阻是0.314W，如果在管內(nèi)獲得2.0´102T的磁感應(yīng)強(qiáng)度，螺線管需外加的電壓是多少？解 根據(jù)螺線管（L>>R）內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小Bm0nI、IU/R得 Bm0nIm0 × N/L ×U/R 911 . 一根長(zhǎng)直導(dǎo)線通有100A電流，把它放在5.0´103（T）的均勻外磁場(chǎng)中，并使導(dǎo)線與外磁場(chǎng)正交，試求合磁場(chǎng)為零的點(diǎn)至導(dǎo)線的距離。解 由題知所求點(diǎn)

7、處于兩磁場(chǎng)中，一是原有外磁場(chǎng)B0、一是載流導(dǎo)線所激發(fā)的磁場(chǎng)B，若合磁場(chǎng)為零，則必有B0B，即兩者大小相等、方向相反。設(shè)所求距離為a,則 912. 半徑為R的圓盤均勻帶有電荷Q。如果使這個(gè)圓盤以角速度w繞其軸線旋轉(zhuǎn)，試求圓盤中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度及圓盤的磁矩。解（1）旋轉(zhuǎn)的均勻帶電圓盤可等效為一組同心圓電流，如圖。在盤面上任取半徑為r，寬為dr的細(xì)圓環(huán)，其等效圓電流為 ，式中，所以則，圓電流dI在圓盤中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為因所有圓電流在中心處激發(fā)的磁場(chǎng)方向均相同，因此圓盤中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 若如圖方向轉(zhuǎn)動(dòng)，則B方向垂直紙面向外；反之，垂直紙面向里。 （2）根據(jù)載流線圈磁矩大小公式Pm=N

8、IS, 半徑為r、寬為dr的圓電流具有的磁矩為不同半徑的圓電流的磁矩方向相同，因此圓盤的磁矩為 若如圖方向轉(zhuǎn)動(dòng)，則磁矩方向垂直紙面向外；反之，垂直紙面向里。913 . 一段直導(dǎo)線長(zhǎng)為L(zhǎng)，電流強(qiáng)度為I。求此導(dǎo)線垂直平分線上距導(dǎo)線為R處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 如圖，根據(jù)畢奧定理或直接應(yīng)用有限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線在其周圍任一點(diǎn)產(chǎn)生的B的大小為式中 方向垂直紙面向里。914. 一邊長(zhǎng)為a的正方形導(dǎo)線回路，其上的電流強(qiáng)度為I，求此正方形中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解 按如圖電流方向，可判斷四段導(dǎo)線在中心激發(fā)的B的方向相同，都為垂直紙面向里，由有限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線在其周圍任一點(diǎn)產(chǎn)生的B的大小 對(duì)e段導(dǎo)線：，則同理可知， ，所以方

9、向垂直紙面向里。915. 兩半徑均為R的圓形線圈，彼此平行并共軸，間距為2L。其中通有同向電流I。求兩線圈軸線上任意一點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 圓電流在其軸線上距離其x處激發(fā)的B的大小為設(shè)電流如圖方向，任一點(diǎn)P距環(huán)電流2（或1）的距離為x。兩環(huán)電流在任一點(diǎn)激發(fā)的B的方向均一致，沿軸線水平向右，所以若P點(diǎn)在c段且距環(huán)電流2為x，則P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 若P點(diǎn)在b段且距環(huán)電流2為x，則P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為若P點(diǎn)在a段且距環(huán)電流2為x，則P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為方向均為沿軸線水平向右。9-16 . 在空間Z±Z0處沿Y軸方向置有兩根長(zhǎng)直導(dǎo)線如圖（a），其上載有同相電流I，求;(1)X軸上任一點(diǎn)處的磁感應(yīng)

10、強(qiáng)度B。（2）B的最大值在何處？解 （1）如圖(b)，導(dǎo)線1、2在P點(diǎn)激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為則P點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 ，方向如圖式中 ，所以方向沿Z軸正向。（2）由 ， 即 ，可得所以 ， 當(dāng) 時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度有最大值。917. 一寬度為b的半無限長(zhǎng)金屬板置于真空中，均勻通有電流I0。P點(diǎn)為薄板邊線延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，與薄板邊緣的距離為d。如題圖所示，試求P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 取X軸如圖。可將通有電流的半無限長(zhǎng)金屬板分成無窮多與x軸垂直的半無限長(zhǎng)細(xì)長(zhǎng)條元。在距原點(diǎn)為x處任取一寬dx的半無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線元，其所通過的電流為dI為 利用無限長(zhǎng)直電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度的公式，可知半無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線磁感應(yīng)強(qiáng)度為,

11、則半無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線元在P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為方向垂直紙面向里整個(gè)通有電流的半無限長(zhǎng)金屬板P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為方向垂直紙面向里。918.半徑為R的圓盤均勻帶電，電荷面密度為s，使該圓盤以角速度w繞其軸線旋轉(zhuǎn)，如918圖示。求距圓盤中心O為x處P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 旋轉(zhuǎn)的均勻帶電圓盤可等效為一組同心圓電流。如圖，在盤面上任取半徑為r,寬為dr的細(xì)圓環(huán)元，此細(xì)圓環(huán)元的電流為利用圓電流軸線上一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式，可知細(xì)圓環(huán)元在P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為方向沿X軸正向所有細(xì)圓環(huán)元在軸線上激發(fā)的磁場(chǎng)均沿X軸正向，則距圓盤中心O為x處P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 方向沿X軸正向。919.把一個(gè)厚為1.0mm

12、的銅片放在B1.5T的均勻磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)垂直通過銅片，如果銅片載有200A的電流，問銅片上、下兩側(cè)的霍爾電勢(shì)有多大？已知銅的電子密度n=8.4´1028/m3。解 根據(jù)霍爾效應(yīng)原理，得 920.一半圓形閉合線圈，半徑0.1m，通以電流I10A，放在B0.5T的均勻磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與線圈平面平行，求線圈所受力矩的大小。解 由均勻磁場(chǎng)中閉合線圈受力矩MPm´B ，可得 9-21.如題圖所示，一無限長(zhǎng)空心圓柱形導(dǎo)體的橫截面，柱的內(nèi)外半徑分別為a和b，電流I均勻分布在空心圓柱導(dǎo)體的橫截面上。試求此導(dǎo)體內(nèi)部各點(diǎn)（a<r<b）的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。 解 取半徑為r（a<r

13、<b）的同心圓為積分路徑，利用安培環(huán)路定理 式中應(yīng)為半徑為r的環(huán)路中所包圍的電流。則有 922.一長(zhǎng)直柱形導(dǎo)體，半徑為R，均勻載有電流I，在導(dǎo)體內(nèi)有一半徑為a的柱形孔，它的軸與導(dǎo)體軸平行，并與之相距b，如題922圖所示。求孔內(nèi)任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。(電流I沿軸向向外)分析 用半徑為a、電流密度為j0的長(zhǎng)直小圓柱導(dǎo)體將柱形孔填滿，則孔內(nèi)任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)為電流密度為j0的實(shí)心長(zhǎng)直大圓柱導(dǎo)體與電流密度為-j0的長(zhǎng)直小圓柱導(dǎo)體在該點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和。解： 電流密度為 設(shè)P為孔內(nèi)任意一點(diǎn)。用半徑為a、電流密度為j0的長(zhǎng)直小圓柱，將柱形孔填滿。根據(jù)安培環(huán)路定律，可求得長(zhǎng)直實(shí)心大圓柱在P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 式中r為P點(diǎn)到實(shí)心圓柱軸線的距離，B的方向與電流I服從右手定則，沿以實(shí)心圓柱軸線為心、r為半徑的圓的切線方向，如圖所示。用矢量式表示為式中為的單位矢量同理，可求得半