全套更高更妙的物理競賽ppt課件競賽課件曲線運(yùn)動(dòng)曲直談

1、一、曲線運(yùn)動(dòng)的發(fā)生條件F合外力方向與速度方向不在一直線二、曲線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)速度方向一定變化切向力改變速度大小法向力改變速度方向vFnFt三、求解曲線運(yùn)動(dòng)問題的運(yùn)動(dòng)學(xué)基本方法矢量的合成與分解微元法 曲線運(yùn)動(dòng)的加速度質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)加速度定義為 0limtvat AvAvBv nv tv 0limnntvat 0limtttvat 為求一般的做曲線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在任一點(diǎn)的瞬時(shí)加速度，通常將其分解為法向加速度an與切向加速度atOA點(diǎn)曲率圓 nAvvAB nAvvABtt 0limAnta 0limAtvABt 2nva A點(diǎn)曲率圓半徑0limtttvat aB 在離水面高度為h的岸邊，有人用繩子拉船靠岸，若人收

2、繩的速率恒為v0，試求船在離岸邊s距離處時(shí)的速度與加速度的大小各為多少？ 依據(jù)實(shí)際運(yùn)動(dòng)效果分解船的運(yùn)動(dòng)：v0Avvnhs vt船及與船相系的繩端A的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是水平向左的，這可看作是繩之A端一方面沿繩方向向“前方”滑輪處“收短”，同時(shí)以滑輪為圓心轉(zhuǎn)動(dòng)而成，即將實(shí)際速度v分解成沿繩方向“收短”的分速度vn和垂直于繩方向的轉(zhuǎn)動(dòng)分速度vt; 注意到繩子是不可伸長的，人收繩的速率v0也就是繩端A點(diǎn)沿繩方向移動(dòng)速率vn: 由圖示v、vt、vn矢量關(guān)系及位置的幾何關(guān)系易得： 0nvv 00cotthvvvs 0sinvv 則則220hsvs 求船的速度 求船的加速度在一小段時(shí)間t內(nèi),船頭位置從A移A，繩繞滑

3、輪轉(zhuǎn)過一小角度0:Avv0 vtA v v0tv 0sinvv 011sinsinvv 由加速度定義得： 0limtvat 0costancosthhtvv 由幾何關(guān)系得： cosh 00011sinsinlimtancosvahv 則則 200sinsincoslimtansinsinvh 200cossincos22limtansinsin2vh 230cotvh 2203v hs 320vhhs 質(zhì)點(diǎn)沿圓周做速度大小、方向均變化的運(yùn)動(dòng)每個(gè)瞬時(shí)的加速度均可分解為切向加速度at與法向加速度an，前者反映質(zhì)點(diǎn)速率變化快慢，后者反映質(zhì)點(diǎn)速度方向變化快慢 如圖所示，質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)由靜止開始沿半徑為R的

4、圓周做速率均勻增大的運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度與速度方向夾角為，質(zhì)點(diǎn)通過的弧s所對的圓心角為，試確定與間的關(guān)系vAaAOs atan由題給條件2 2tna taR 則則222,AntaasvRt 而 22,Atva tsR 2nttaa taR 222stt R 2 tanntaa 又tan2 如圖所示，質(zhì)點(diǎn)沿一圓周運(yùn)動(dòng)，過M點(diǎn)時(shí)速度大小為v，作加速度矢量與圓相交成弦MA=l，試求此加速度的大小 將M點(diǎn)加速度沿切向與法向進(jìn)行分解!vaMAlOatan法向加速度2sinnvaaR 22avl sin =2而而lR 2sinvaR 如圖所示，曲柄OA長40 cm,以等角速度=O軸反時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)由

5、于曲柄的A端推動(dòng)水平板B而使滑桿C沿豎直方向上升，求當(dāng)曲柄與水平線夾角=30時(shí)，滑桿C的加速度 桿A與B板接觸點(diǎn)有相同沿豎直方向的加速度 !桿上A點(diǎn)加速度2Aal OABCaAaAyaC20.05m/sBa 21sin2AyAaal 此即滑桿C的加速度CAyaa 代入數(shù)據(jù)得滑桿C的加速度 有一只狐貍以不變的速度v1沿著直線AB逃跑，一獵犬以不變的速率v2追擊，其運(yùn)動(dòng)方向始終對準(zhǔn)狐貍某時(shí)刻狐貍在F處，獵犬在D處，F(xiàn)DAB，且FDL，如圖試求此時(shí)獵犬的加速度的大小 設(shè)t時(shí)間內(nèi)，v2方向變化, 0時(shí): FLABDA B v1v2v2v v21vt v21tanvtL 由加速度定義，獵犬 加速度 0l

6、imtvat 20limtvt 1 2av vL 賽車在公路的平直段上以盡可能大的加速度行駛，在0.1 s內(nèi)速度由10.0ms加大到10.5 ms，那么該賽車在半徑為30 m的環(huán)形公路段行駛中，要達(dá)到同樣大的速度需要多少時(shí)間？當(dāng)環(huán)形公路段的半徑為多少時(shí)，賽車的速度就不可能增大到超過10 m/s？（公路的路面是水平的） 直線加速時(shí)車的加速度 : 20005m/stvvat 在環(huán)形公路上，法向加速度 2tnvaR 0ttvvat 切向加速度 2220ntaaa 代入數(shù)據(jù)4210.50.2525900t 0.15t200mvaR 當(dāng)軌道半徑令法向加速度大小等于a0:無切向加速度，賽車速率不會(huì)增加 m

7、20mR 質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，初速度的大小為v0在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)的切向加速度與法向加速度大小恒相等，求經(jīng)時(shí)間T質(zhì)點(diǎn)的速度v 設(shè)速率從v0增加,取運(yùn)動(dòng)過程中第i個(gè)極短時(shí)間t，由題意有本題用微元法210limiiiitivvvtR 1201limliminiiitniivvTtRv 則則1111limnniiiRvv 01121111111nRvvvvvv 111limniiniiivvRv v 011Rvv 00RvRvv T 若速率從v0減小, 有00RvRvv T y 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是質(zhì)點(diǎn)相對槽的運(yùn)動(dòng)及與槽一起轉(zhuǎn)動(dòng)兩者之合運(yùn)動(dòng) 如圖所示，圓盤半徑為R，以角速度繞盤心O轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)點(diǎn)沿徑向槽以

8、恒定速度u自盤心向外運(yùn)動(dòng)，試求質(zhì)點(diǎn)的加速度 AO本題討論中介參考系以勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)加速度的構(gòu)成 u 設(shè)某一瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)沿槽運(yùn)動(dòng)到與O相距r的位置AyBxOAurB u rut t 經(jīng)t時(shí)間，質(zhì)點(diǎn)沿槽運(yùn)動(dòng)到與盤心O相距r+ut 的位置B ，盤轉(zhuǎn)過了角度t，故質(zhì)點(diǎn)實(shí)際應(yīng)在位置B 在t時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)沿y方向速度增量為 cossinyvutru ttu 在t時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)沿x方向速度增量為 sincosxvutru ttr 注意到t0時(shí) cos1t sintt 20t 0limyAytvat 0limturu ttut 2r 0limxAxtvat 0limtru tutrt 2 u 224Arau 方向與

9、x成1tan2ru 2r 2 u 牽連加速度Aa 相對中介參考系的加速度 a相相對對牽連加速度 牽牽連連2ar 2au 科科yxOA 由于參考系轉(zhuǎn)動(dòng)及質(zhì)點(diǎn)對參考系有相對運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的，方向指向u沿方向轉(zhuǎn)過9090的方向返回試手 如圖所示,一等腰直角三角形OAB在其自身平面內(nèi)以等角速度繞頂點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，某一點(diǎn)M以等相對速度沿AB邊運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三角形轉(zhuǎn)了一周時(shí)，M點(diǎn)走過了AB，如已知ABb，試求M點(diǎn)在A時(shí)的速度與加速度 求質(zhì)點(diǎn)的速度OABM引入中介參照系- -三角形OAB質(zhì)點(diǎn)對軸O的速度（相對速度）三角形A點(diǎn)對軸的速度（牽連速度）質(zhì)點(diǎn)對軸O的速度（絕對速度）vM2Avb 2MAbv vMAvA?MAMAvv

10、v三速度關(guān)系為vM22222222cos4524Mbbvbb 45 28412b 方向與AB夾角12tan21 求質(zhì)點(diǎn)的加速度aaaaMMAA 科科相對中介參考系的加速度 0MAa 牽連加速度22ba 科科22Aab OABMaAa科aM 222222222cos4522Mbbabb22221b 方向與AO夾角11tan21 曲線運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率曲線的彎曲程度用曲率描述 曲線上某點(diǎn)的曲率定義為s 0limtKs 圓周上各點(diǎn)曲率相同: :R 1KRR 曲線上各點(diǎn)對應(yīng)的半徑為該點(diǎn)曲率倒數(shù)1/1/K K的圓稱為曲率圓, ,該圓圓心稱曲線該點(diǎn)的曲率中心! !M1 用矢量分解法求橢圓長軸與短軸端點(diǎn)的曲率半

11、徑,已知長半軸與短半軸為a和b. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在M平面內(nèi)沿橢圓軌道以速率v運(yùn)動(dòng)，這個(gè)運(yùn)動(dòng)在M1平面的一個(gè)分運(yùn)動(dòng)軌道恰成半徑為b的圓，則兩平面間夾角1cosba 對橢圓長軸端的A點(diǎn):A1aA12AAva 對A點(diǎn)投影A1點(diǎn):21Avab 1cosAAAbaaaa 又又2Aba 橢圓短軸端B點(diǎn)的曲率半徑由B1vvMAaABvaBaB 22cosBBvvab 2Bab 用運(yùn)動(dòng)分解法求拋物線上某點(diǎn)的曲率半徑.yxOp2p22ypx 設(shè)質(zhì)點(diǎn)以速度v0做平拋運(yùn)動(dòng)0212xv tygt 在在中中消去t得2202vshg shO22yp x v0v2hvgh Pg 對軌跡上的P點(diǎn):2cosvg 式中2202vvgh

12、020cos2vvgh 2200022vghvggvh 2200,2vvgg 322002vghgv 32202021ghvvg 3221xppg 2 2Pp 拋物線上x=p/2點(diǎn)P 旋轉(zhuǎn)半徑為r、螺距為h的等距螺旋線，曲率半徑處處相同試用運(yùn)動(dòng)學(xué)方法求解曲率半徑值 設(shè)物體以v0做勻速率的圓周運(yùn)動(dòng)、同時(shí)以vh沿垂直于v0方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，每前進(jìn)一個(gè)螺距，完成一次圓周，即有 02hrhvv 設(shè)螺旋線上任一點(diǎn)的曲率半徑為則則20nvar 22020hvvrv 22214hrr 0vhv220hvv hr受恒力作用力與初速度垂直軌跡為半支拋物線勻變速曲線運(yùn)動(dòng)vx物體在時(shí)刻t的位置 202221001

13、21,tan22ssv thgtgtxv tgtsv 方方向向與與 成成shs 物體在時(shí)刻t的速度 0221000,tanshvvvvgtgtvvgtvv 方方向向與與成成0vhv0vv 水平方向勻速運(yùn)動(dòng)與豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)的合成返回0sin2cosvtg 220sin2cosHvg 平拋初速大小不同, ,落在斜面上時(shí)速度方向相同! !H xyv0g02tanvg 空中飛行時(shí)間距斜面最大高度沿斜面方向的勻加速運(yùn)動(dòng)與垂直斜面方向的上拋運(yùn)動(dòng)之合成! ! 如圖所示，小冰球從高為H的光滑坡頂由靜止開始下滑，這個(gè)坡的末端形如水平跳板當(dāng)跳板高h(yuǎn)為何值時(shí)，冰球飛過的距離s最遠(yuǎn)？它等于多少？ HhAB 22

14、2.hSg HhHh hg 物體從坡末端B水平飛出后做平拋運(yùn)動(dòng):由基本不等式性質(zhì),2HhhHh 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)maxSH 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)以加速度g在均勻重力場中運(yùn)動(dòng)開始時(shí)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于同一點(diǎn)，且其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有水平速度v13.0 ms；另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)水平速度v24.0 ms，方向與前者相反求當(dāng)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度矢量相互垂直時(shí)，它們之間的距離 當(dāng)兩質(zhì)點(diǎn)速度互相垂直時(shí)，速度矢量關(guān)系如圖示:v1vyv1tv2tv2vy 122tancottan3vv由矢量圖得1tan2 3yvv 而而m m/ /s s1ta0.3n2vtg s s 12Svvt 則則m7 35 如圖，一倉庫高25 m，寬40 m今在倉庫前l(fā) m、高5

15、m的A處拋一石塊，使石塊拋過屋頂，問距離l為多大時(shí)，初速度v0之值最小？（g取10 m/s2） hSv0lvB A HB45 過B點(diǎn)時(shí)速度方向與水平成45時(shí)，可以最小的vB越過40m倉庫頂 ! 2sin45cos45BBvSvg 由由BvgS 220sinsin452Bvvg Hh 從A到B豎直方向分運(yùn)動(dòng)有0sinsin45cos45BBvvlvg 從A到B水平方向分運(yùn)動(dòng)有 203 1l m m14.6 m mx岸 木排停泊在河上，到岸的距離L60 m流水速度同離岸的距離成比例地增大，在岸邊u0=0，而在木排邊流速uL=2 m/s小汽船離開岸駛向木排船對水的速度v=7.2 km/h問駕駛員在起

16、航前應(yīng)該使船指向何方，使以后無須校正船速就能靠上與起航處正對面的木排？這時(shí)船航行多少時(shí)間？ V0=v 流水速度為ukx 船的合速度為LVuvVuv在岸邊船的合速度大小V0=v方向如示 !122Lvuk 中中m m/ /s s= =2LukL m m/ /s s中間時(shí)刻船合速度沿x方向,航線如 示30 vu中VVvuLcosLtv 通過L的時(shí)間30 602cos30 20 3 s s 如圖所示，一個(gè)完全彈性小球自由下落，經(jīng)5m碰到斜面上的A點(diǎn)同時(shí)斜面正以V10ms在水平面上做勻速運(yùn)動(dòng)，斜面與水平面的傾角為45問在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處，小球?qū)⑴c斜面發(fā)生第二次碰撞？ 球以v=10 m/s入射，與斜面的接近速

17、度 vAVv 球球2v 球球= =1 10 0m m/ /s s球與斜面的分離速度 v 球球2v 球球= =1 10 0m m/ /s s球從與斜面分離到再次碰撞歷時(shí)g45 20 22cos4545 2vtg 球球= =s ss s注意到球沿斜面體方向初速度為零，加速度gsin45 21sin452AAgt 球再與斜面碰撞處距A A40 2 m m 如圖所示，一人站在一平滑的山坡上，山坡與水平面成角度他與水平成仰角扔出的石子落在斜坡上距離為L，求其拋出時(shí)初速度v0及以此大小初速度拋出的石子在斜坡上可以達(dá)到的最大距離 xyv0g L石子沿山坡方向做勻加速運(yùn)動(dòng) 201cossin2Lvtgt 石子

18、沿垂直山坡方向做勻加速運(yùn)動(dòng) 0sin2cosvtg 0cos2cos sinvgL 得得設(shè)拋出石子的仰角為 2022cossincosvLg 202sin 2sincosvg 2022cossincosvLg 22 當(dāng)當(dāng) 2max021sincosvLg 小球以恒定速度v沿水平面運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)墜落于半徑為r和深為的豎直圓柱形井中小球速度v與過點(diǎn)井的直徑成，俯視如圖問v、H、r、之間關(guān)系如何，才能使小球與井壁和井底彈性碰撞后，能夠從井里“跳出來”（不計(jì)摩擦） vAr 小球運(yùn)動(dòng)軌跡的俯視圖如示 小球兩次與壁相碰點(diǎn)間水平射程為 2 cosr 12 cosrtv 歷時(shí) 從進(jìn)入至與底碰撞歷時(shí) 22Htg

19、為使小球與井壁和井底彈性碰撞后，能夠從井里“跳出來”122ntkt cos2rHnkvg 即即(n、k均為正整數(shù)) 小球在豎直方向做自由下落或碰底上拋至速度為零小球在水平方向以v勻速運(yùn)動(dòng), ,碰壁“反射” 如圖，一位網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員用拍朝水平方向擊球，第一只球落在自己一方場地上后彈跳起來剛好擦網(wǎng)而過，落在對方場地處第二只球直接擦網(wǎng)而過，也落在處球與地面的碰撞是完全彈性的，且空氣阻力不計(jì)，試求運(yùn)動(dòng)員擊球高度為網(wǎng)高的多少倍？ BACOH設(shè)C點(diǎn)高度為h，由題意球1運(yùn)動(dòng)時(shí)間為123Htg 由題意球2運(yùn)動(dòng)時(shí)間為22Htg 水平射程相同1221223vtvvvt x 212222HhHhHvvgggx 2 Hh

20、H34hH 初速度為v0 的炮彈向空中射擊，不考慮空氣阻力，試求出空間安全區(qū)域的邊界的方程 這個(gè)問題可抽象為一個(gè)求射出炮彈在空中可能軌跡的包絡(luò)線方程問題，包絡(luò)線以外即為安全區(qū)域 如圖，在空間三維坐標(biāo)中，設(shè)初速度方向與xy平面成 角，由拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可建立時(shí)間t的三個(gè)參數(shù)方程 xzyOv0vxvyvz xxv t 201sin2zvtgt yyv t 22220cosxyvt 且且22222201tan2cosxyzxygv 2222222220011tantan22xyxyxyggvv 這是發(fā)射角各不相同的炮彈的空間軌跡方程 22222222200tantan022g xyg xyxyzvv 即即此方程式有解時(shí)，必滿足 22222222004022g xyg xyxyzvv 242200220vvxyzgg 包絡(luò)線方程為 2222002102g xygzvv 這里我們運(yùn)用了曲線簇的包