河北省2019年中考數(shù)學復習圓第30講與圓有關(guān)的位置關(guān)系試題(含解析)

1、第 30 講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 河:1匕中考遵么考 1. (2012，河北)如圖，A 5, 0),氏一 3, 0)，點 C 在y軸的正半軸上，/ CBO= 45, CD/ AB / CDA= 90。點P從點Q4 , 0)出發(fā)，沿x軸向左以每秒 1 個單位長度的速度運動， 運動時間為t s. (1) 求點C的坐標； (2) 當/ BCP= 15時，求t的值； (3) 以點P為圓心，PC的長為半徑的O P隨點P的運動而變化，當O P與四邊形ABCD勺邊 (或邊所在的直線)相切時，求t的值. r 1 c A 第 1 題圖 【思路分析】(1)由/ CB8 45。，/ COB為直角，得/ BC= 45

2、 .所以/ BCOZ CBO 可得OC= OB= 3，然后由點C在y軸的正半軸可以確定點 C的坐標.(2)需要對點P的位置進 行分類討論當點 P在點B右側(cè)時，由/ BCO= 45，用/ BC(Z BCP求出/ PC8 30 . 又OO 3，在 Rt POC中，求出OP的長由Pg OQh OP求出運動的總路程，即可求出此時的 時間t.當點P在點B左側(cè)時，用/BCQ-Z BCP求出/ PC= 60 .又OG= 3，在 Rt POC中, 求出OP的長，由P3 OQ OP求出運動的總路程，即可求出此時的時間 t.(3)當O P與四邊形 ABCD勺邊(或邊所在的直線)相切時，分三種情況討論當O P與BC

3、邊相切時，利用切線的 性質(zhì)得到BC垂直于CR可得出/ BCP= 90，由/ BC= 45，得到/ OCP= 45，即此時 COP 為等腰直角三角形，可得出 OP= OC由OO 3，得到OP= 3,用OG OF求出點P運動的路程， 即可得出此時的時間t.當O P與CD相切于點C時，點P與點O重合，可得出點 P運動的路 程為OQ的長，求出此時的時間 t.當O P與AD相切時，利用切線的性質(zhì)得到 A為切點，由 PC= PA且PA= 9 t , PO= t 4,在 Rt OCP中，禾U用勾股定理列出關(guān)于 t的方程，求出方 程的解得到此時的時間 t.綜上，得到所有滿足題意的時間 t的值. 解：/ CBO

4、= 45,/ COB= 90, / BCO= 90 45= 45 . / BCO=Z CBO O(= OB= 3. 點C在y軸的正半軸上， 點 C的坐標為(0 , 3) (2)分兩種情況考慮. 當點P在點B右側(cè)時，如答圖. / BCP= 15,/ BC= 45, / PCO= 30 . OP= CO- tan 30 = 3. 此時t = 4+ 3. 當點P在點B左側(cè)時，如答圖. / BCP= 15,/ BC= 45, / PC= 60 . OP= CO- tan 60 = 3 3. 此時 t = 4 + 3；二 3. 當/ BCl 15。時，t 的值為 4+，3 或 4 + 3 3. 由題意，

5、知若O P與四邊形ABC啲邊相切時，有以下三種情況. 如答圖，當O P與BC相切于點C時， 有/ BCP= 90 . / BCO= 45,./ OCP= 45 . OP= 3，此時 t = 1. 如答圖，當O P與CD相切于點C時， 有PCX CD即點P與點O重合，此時t = 4. 如答圖，當O P與AD相切于點A時， 有 PC= PA PC = PA= (9 t)2, PO= (t 4)2. (9 1)2= (t 4)2+ 32. 解得t = 5.6. t的值為 1 或 4 或 5.6. 2. (2018，河北，導學號 5892921)如圖，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為 26,以原點O為圓心, 4

6、 OA的長為半徑作優(yōu)弧 AB，使點B在點O的右下方，且 tan / AOB=-，在優(yōu)弧 AB 上任取一點 3 P,且能過點P作直線I / OB交數(shù)軸于點 Q設Q在數(shù)軸上表示的數(shù)為 x,連接OP 3 備用圏 第 2 題圖 (1) 若優(yōu)弧 AB 上的一段 AP 的長為 13 n ,求/ AOP勺度數(shù)及x的值; (2) 求x的最小值，并指出此時直線 I與 AB 所在圓的位置關(guān)系； (3) 若線段PQ的長為 12.5，直接寫出這時x的值. 【思路分析】(1)利用弧長公式求出圓心角的度數(shù)利用 PQ/ OB得/ PQ8/ QOB根據(jù) 4 OP 4 tan / AO& 3，得OQT 3,求出0Q勺長即可解決

7、問題.(2)當點Q在點0的左邊，直線PQ與O O 相切時，x的值最小.(3)因為P是優(yōu)弧 AB 上的任意一點，所以點P的位置分三種情形， 分別 求解即可解決問題. 解：(1)由叭26 = 13 n解得n= 90. 180 / AOP= 90 . / PQ/ OB / PQO=/ QOB 4 OP tan / PQ8 tan / QO& -= . 3 OQ -OO 39. 39 x = 2 . 如答圖.當點Q在點O的左邊，直線PQ與O O相切時，x的值最小. 在 Rt OP(中, O(= O嚴 4= 32.5 , 5 此時x的值為32.5. (3) 分三種情況： 如答圖，過點 O作OHL PC于

8、點H 設 OH= 4k, QH= 3k. 在 Rt OPH中, v OP = OlH+ PH, 2 2 2 26 = (4 k) + (3 k 12.5). 整理，得 k2 3k 20.79 = 0. 解得k= 6.3. OQ 5k = 31.5，此時 x 的值為 31.5. 如答圖，過點 O作OHL PQ交PQ的延長線于點H 設 OH= 4k, QH= 3k. 在 Rt OPH中, v OP = OH+ PH, 2 2 2 26 = (4 k) + (12.5 + 3k). 整理，得 k2+ 3k 20.79 = 0. 解得k= 3.3. OQ 5k = 16.5，此時 x 的值為一 16.

9、5. 如答圖，過點 O作OHL PQ于點H 設 OH= 4k, QH= 3k. 在 Rt OPH中, v OP = OH+ PH, 2 2 2 26 = (4 k) + (3 k 12.5). 整理，得 k2 3k 20.79 = 0. 解得k= 6.3.5 OQ 5k = 31.5，此時 x 的值為一 31.5. 綜上所述，滿足條件的 x的值為 31.5 或一 16.5 或一 31.5. 第 2 題答圖 經(jīng)典例析與針對訕 1 練 翁荒點與圓的位置關(guān)系 例 1 （2017，福州）如圖，在 6X6的正方形網(wǎng)格中，有 6 個點，M N, Q P, Q尺除點 R外其余 5個點均為格點），以點Q為圓心

10、，QQ勺長為半徑作圓，則在O Q外的點是（C） 【解析】/ QQ= .12+ 22 = 5, QP= 22+ 22= 2 2, QN= 2, QR= 12 + 1.5 2 = 3 , QM =J2+ 22= 5, .在O Q外的點是 P. 針對訓練 1 如圖，在 ABC中, AB的中點Q與O C的位置關(guān)系是（B） 訓練 1 題圖 A.點Q在O C外 B.點Q在O C上 C.點Q在O C內(nèi) D.不能確定 【解析】在 ABC中，/ C= 90, AB= 4, Q是AB的中點， QC= 2. v以點C為圓心, 2為半徑作O C,. QC=半徑.點 Q在O C上. 存負：直線與圓的位置關(guān)系/ C= 9

11、0, AB= 4,以點C為圓心，2 為半徑作O C,則 I H I I i i I I I I i/J I I 1 I I I IE I 卜斗斗茁彳 I i 8(/ i iA I I 例 2 如圖，O O的半徑為 4, P是O O外的一點，PO= 10, A是O O上的一個動點，連接 【解析】 如答圖，連接 OA OCC為切點)，過點O作OBL AP于點B在 Rt AOB中 OB =OA AB= 16-AELTI 與O O相切， OCL I . v/ OBD=/ OCD=Z CDB= 90, A 四邊形 BOCD 為矩形. BD= OC= 4. v 直線 | 垂直平分 PA A PD= BM

12、AB= 4 + AB PB= 8 + AB 在 Rt OBP 訓練 2 題圖 設切點為 C連接OC則圓的半徑 OC= 1, OCL PC v/ AO= 45, OA/ PC / OP= 45 . PC= OC= 1. OP= 2.同理，原點左側(cè)的距離也是 2，且 線段長是正數(shù). x的取值范圍是 (lf) 切線的判定和性質(zhì) 例 3 (導學號 5892921)如圖，在矩形 ABCD，點O在對角線AC上，以OA的長為半徑的 A. 10 21 B. 1 D. 43 4 中，OB + PB= OP，即 5 16 AB+ (8 + AR2= 102.解得 AB=-. PA=2PD=2X 5 21 4 +

13、4 =亍 針對訓練 2 如圖， P在數(shù)軸上運動.若過點 Ov x 1.2 , 以DE為直徑的圓與BC的位置關(guān)系是 3. （2018，唐山路南區(qū)三模）如圖，已知直線 m/把厶ABC剪成三部分，點 代B, C在 直線n上，點 O在直線 m上，則點 0是厶ABC的 （C）2. （2018，保定二模）如圖，在 ABC中, 中點，則以DE為直徑的圓與 AB= 3, AC= 4, BG= 5, D, E 分別是 AC AB的 第 2 題圖 B. 相交 無法確定 DE于點 N v AB= 3, AC= 4, BC= 5, A.垂心 B.重心 【解析】如答圖，過點O作OD丄BC于點D,OE丄AC于點E, OF

14、丄AB于點F. 如答圖，過點 O作ODL BC于點D, OEL AC于點E, OFL AB于點F. v m/ n,/ OD= OE= OF 由裁剪，知 OD= OD , OE= OE , OF= OF，/ OD = OE = OF . 點O是三角形三個內(nèi)角 的平分線的交點點 。是厶ABC的內(nèi)心. D.外心 C.內(nèi)心 B n 第 3 題圖 C D 4. (2018 ,石家莊橋西區(qū)一模 若/ P= 40，當PA與O O相切時，/ B的度數(shù)為(B)第 3 題答圖 )如圖，AB是O O的直徑，P是OO外一點，PO交O O于點C, A. 20 【解析】 1 AOP= 第 4 題圖 B. 25 C. 30

15、 D. 40 / PA 是O O 的切線，/ PAO= 90 . / AOP= 90/ P= 50 . /-Z B= 5. (2018 于點D,過點 ，重慶 A)如圖，已知 AB是O O的直徑，點 P在BA的延長線上，PD與O O相切 B作PD的垂線交PD的延長線于點 C若OO的半徑為 4, BC= 6,則PA的長為(A) A. 4 【解析】 B. 2 3 D. 2.5 如答圖，連接 DO PD與O O相切于點 D,/Z PD= 90 . v/ C= 90, DO PO DO/ BC PDA PCB/. 亍二 BC PB 第 5 題答圖 6. (2018，泰安)如圖，BM與O O相切于點B若/

16、 MBAF 140,則/ ACB的度數(shù)為(A) 連接BC PA =|.解得 x = 4. PA= 4. 3 第 6 題圖 A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 【解析】 如答圖，連接 OA OB / BM是O O的切線，/ OBM= 90 . v/ MBA= 140 ，/ ABO= 50 . / OA= OB, / BAO=/ ABO= 50 . AOB= 80 . ACB= 1 2/ AOB= 40 . 7. （2018 ，常州）如圖，AB是O O的直徑，MN是O O的切線，切點為 N若/ MNB= 52，則/ NOA勺度數(shù)為（A） 第 7 題圖 A. 76 B. 56 C. 54

17、 D. 52 【解析】/ MN是O O 的切線， ONL NMONM 90 . ONB= 90 -/ MNB= 90 52 = 38 . v ON= OB / B=/ ONB= 38 . NOA= 2/ B= 76 . 8. （2018，深圳）一把直尺、含 60角的直角三角板和光盤如圖擺放, 的交點，AB= 3,則光盤的直徑是（D） A. 3 C. 6 【解析】如答圖，設三角板與圓的切點為 C,連接OAOB由切線長定理, 5A為 60角與直尺 知AO平分/ BAC 63. D. 6 3 /OAB= 60 .在 Rt ABC中, 光盤的直徑為 第 8 題答圖 180 9. (2018，石家莊二模

18、)如圖，O O與直線l i相離，圓心 O到直線li的距離OB= 2 3, OA =4,將直線l i繞點A逆時針旋轉(zhuǎn) 30后得到的直線12剛好與O O相切于點C,則OC的長為 (B) A. 1 C. 3 D.4 OB 2巧 J3 【解析】 在 Rt ABC中, sin / OAB= 看寸=三，二/ OAB= 60 . v直線li繞點A逆 時針旋轉(zhuǎn)30后得到的直線l 2剛好與O C相切于點C,./ CAB= 30, CCL AC /-Z CAC= 60 1 30= 30 .在 Rt CAC中, CC= qCA= 2. 10. (2018 ,湘西州)如圖，直線AB與OC相切于點 A, AC CD是O

19、 C的兩條弦，且CD/ AB 若O O的半徑為 5, CD= 8,則弦AC的長為(D)A. 10 B. 8 C. 4 3 D. 4 5 【解析】v直線AB與OO相切于點 A,/.OAL AB又v CD/ AB / AOL CD記垂足為 E / CD 1 2_ 2 =8,/. CEF D呂 2CD= 4.如答圖，連接 OC 貝y OC= OA= 5.在 Rt OCE中, OEF . OC CE= 52 42 = 3,/. AE= AO OE 8. / AC= CE+ AE= 42 + 82 = 4 5. 11.如圖，點I ABC勺內(nèi)心，點 D在BC上，且ID丄BC若Z B= 44 ,Z C= 5

20、6 , 則Z AID的度數(shù)為(A) A. 174 B. 176 C. 178 D. 第 10 題圖 B 第 10 題答圖 180 【解析】 如答圖，連接 CI.在厶ABC中，Z B= 44 ,Z AC= 56 ,/.Z BAC= 180 1 / B/ACB= 80 . T點 I ABC的內(nèi)心，/ CAI= / BAC= 40,/ ACI=/ DCI= ACB= 28 . /AIC= 180/ CAI/ACI= 112 .又 ID 丄 BCCID= 90/ DCI 二、填空題 12. （2018，臺州）如圖，AB是OO的直徑，C是OO上的點，過點 C作O O的切線交AB的 延長線于點 D若/ A

21、= 32,則/ D= 26 . 第 12 題圖 【解析】 如答圖，連接 OC由圓周角定理，得/ CO= 2/ A= 64 . tCD為O O的切線, OCLCD / D= 90/ COI= 26 . ，大慶）在厶ABC中，/ C= 90, AB= 10,且 AC= 6，則這個三角形的內(nèi)切圓 T/ C= 90, AB= 10, AC= 6, BC=: 10 6 = 8.設內(nèi)切圓的半徑為 r,則 1 1 2：二 r = 2X 6X 8.解得 r = 2. =62 . /AID=/ AIC+/CID= 112 13. （2018 OD的延長線，長沙）如圖，點A, B, D在O 0上，/ A= 20,

22、 BC是O O的切線，B為切點, / A= 20, / BO= 40 【解析】 90 . / OC= 90 40= 50 . 第13題圖 14. (2018 的半徑為 2 . 【解析】 1 1 尹 6 r + 2X 8 r + x 10 15. （2018，連云港）如圖，AB是O O的弦，點C在過點B的切線上，且 OCLOA OC交AB 于點 P.已知/ OAB= 22，則/ OC= 44 . 第 15 題圖 【解析】 如答圖， 連接 0B BC是O O的切線， OBL BC 上OBA/CB圧 90 . / OC 丄 0A / OABHZ APO= 90 . T OA= OB OBA=Z OA

23、B= 22 . APO=Z CB4 68 . / APO=Z CPB CPB=Z 16. （2018 ,安徽）如圖，菱形 ABOC的邊AB AC分別與O O相切于點D, E若D是AB的 中點，則/ DO旨 60 .【解析】 如答圖，連接 OA四邊形 ABOC是菱形， BA= BO / AB與O O相切于點 D, ODLAB / D是AB的中點，.直線 OD是線段 AB的垂直平分線.二 OA= OB AOB是等邊 1 三角形./ AO2/ AOB= 30 .同理，/ AOEF 30 . DOEFZ AOD-Z AOEF 60 . 三、解答題 17. （2018，濰坊）如圖，BD ABC外接圓O

24、O的直徑，且/ BAE=Z C （1）求證：AE與OO相切于點 A 若AE/ BC BC= 2 羽，AC= 2 寸 2，求AD的長. 68 = 第 15 題答圖 第 16 題圖 第 16 題答圖 第 17 題圖 【思路分析】（1）連接OA交BC于點F.根據(jù)OA= OD可得/ D=Z DAO由同弧所對的圓 周角相等及已知，得/ BAE=Z DAO再由直徑所對的圓周角是直角，得/ BAD= 90 .進而可得 1 結(jié)論.（2）先證明 OAL BC由垂徑定理，得 AB = AC , FB= -BC根據(jù)勾股定理計算 AF, OB AD的長即可. (1)證明：如答圖，連接 OA交BC于點F, 貝U OA=

25、 OD / D=Z DAO / D=Z C, / C=Z DAO / BAE=Z C,./ BAE=Z DAO / BD是O O的直徑， / BAD= 90,即/ DAQ-Z BAO= 90 . / BAEZ BAO= 90，即Z OAE= 90 . AE! OA AE與OO相切于點A 解：I AE/ BC AE! OA - OAL BC 1 - AB = AC , FB= qBC AB= AC BC= 2 7, AC= 2 2, BF= 7, AB= 2 2. 在 Rt ABF中，AF= ( 2 ,2) 2( 7) 2= 1. 在 Rt OFBK OB = BF- (OB- AF)2. OB

26、 = ( 7)2 + (OB- 1)2. OB= 4. BD= 8. 在 Rt ABD中, AD=pBD AB =寸 64 8 = 2/14. 第 17 題答圖 18. (2018，德州)如圖，AB是O O的直徑，直線 CD與O O相切于點C,且與AB的延長線 交于點E, C是 BF 的中點. (1) 求證：ADL CD (2) 若Z CA= 30 ,O O的半徑為 3，一只螞蟻從點 B出發(fā)，沿著 BiEO CB 爬回至點 B,求螞蟻爬過 的路程.(n疋3.14 , 3疋1.73，結(jié)果保留一位小數(shù)) 第 18 題圖 【思路分析】(1)連接OC根據(jù)切線的性質(zhì)得到 OCL CD證明OC/ AD進而

27、得到ADL CDX2) 根據(jù)圓周角定理得到Z CO= 60 .根據(jù)銳角三角函數(shù)、弧長公式計算即可. (1)證明：如答圖，連接 OC 直線CD與O O相切，5 OCL CD / C是 BF 的中點, :丄 EAC / OA= OC Z OC= EAC :丄 OCA OC/ AD ADL CD 解：TZ CAD= 30 Z CAD= 30 由圓周角定理，得/ COW 60 - OE= 2OC= 6, EC=3OC= 3 3, BE= 3. 螞蟻爬過的路程為 3+ 3 ,3+ n 11.3. 19. (2018，赤峰)如圖，在 Rt ABC中，/ C= 90, AD平分/ BAC交BC于點D,點O

28、在AB上，O O經(jīng)過A, D兩點，交 AC于點E,交AB于點F. (1)求證：BC是O O的切線； (2)若OO的半徑是 2 cm, E是 AD 的中點，求陰影部分的面積. (結(jié)果保留根號) 【思路分析】(1)連接OD只要證明OD/ AC即可解決問題.(2)連接OE交AD于點K 只要證明厶AOE是等邊三角形即可解決問題. (1)證明：如答圖，連接 OD / OA= OD Z OAD= ODA / AD平分Z BAC Z OAD=Z 一 Z ODA= DAC OD/ AC Z ODB=Z C= 90 ODL BC BC是O O的切線. BC 60 n 3 180 第 18 題答圖 解：如答圖，連

29、接 0E交AD于點K. E 是 AD 的中點, 二 AE = DE . OEL AD / OAK=Z EAK AK= AK / AKO=Z AKE= 90 , AKO AKE AO= AE= OE AOE是等邊三角形. / AOE= 60 . 60 n 22 S 陰影=S 扇形 OAL AOE= 360 L綜合提升訓練 1 1.如圖，/ ABC= 80, O為射線BC上一點，以點 O為圓心，的長為半徑作O O,要 使射線BA與OO相切，應將射線 BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)（C） 第 1 題圖 A. 40 或 80 B. 50 C. 50 或 110 D. 60 【解析】（1）如答圖，當BA與O

30、 O相切，且BA位于BC上方時，設切點為 P,連接 BO= 30 . ABA = 50 .（2）如答 ，可求得/ A BO= 30 .此時/ ABA 110 . 或 100 OP 則/ OPB= 90 .在 Rt OPB中，OB= 2OP A 圖，當BA與O O相切， 且BA位于BC下方時， 同 =80+ 30= 110 .綜上所述，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為 r -./3 2 2 n - 2 -7 x 22=可-3(cm2). B D C 第 19 題答圖 題答圖 50或 A 第 1 AFWA AEO然后利用相似比可計算出 FN的長. 5 2. （2018，泰州）如圖，在 ABC中，/ ACB= 90, sin A=石，AC= 12，將 ABC繞點 C 13 順時針旋轉(zhuǎn) 90得到 A B C, P為線段A B上的動點，以點 P為圓心，PA的長為半徑 3. （2018，荊門，導學號 5892921）如圖，AB為O O的直徑，O為OO上一點，經(jīng)過點 C的 切線交AB的延長線于點 E, ADL EC交EC的延長線于點 D, AD交O O于點F, FML AB于點H 分別交O O, AC于點M N,連接MB BC （1） 求證：AC平分/ DAE 卄 4 （2） 右 cos M= , BE= 1. 5 求O O