軸對稱知識點(diǎn)

1、軸對稱知識點(diǎn)歸納、軸對稱圖形1 .把一個圖形沿著一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這 個圖形就叫做軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。這時我們也說這個圖形關(guān) 于這條直線成軸對稱。2 .把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個圖形完全重合，那么就 說這兩個圖關(guān)于這條直線對稱。這條直線叫做對稱軸。折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn) 叫做對稱點(diǎn)3、船巡僦和軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系3、軸對稱圖形和軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系關(guān)于某直線對稱的兩個圖形是全等形。如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段 的垂直平分線。軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。如果兩個圖形的

2、對應(yīng)點(diǎn)連線被同條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱。兩個圖形關(guān)于某條直線成軸對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那 么交點(diǎn)在對稱軸上。練習(xí):1 .以下四個圖案中，軸對稱圖形的個數(shù)是()F 一 H(A) (B) (C) (D)2 .以下命題中，不正確的選項(xiàng)是 ()關(guān)于直線對稱的兩個三角形一定全等.兩個圓形紙片隨意平放在水平桌面上構(gòu)成軸對稱圖形假設(shè)兩圖形關(guān)于直線對稱，則對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線等腰三角形一邊上的高、中線及這邊對角平分線重臺3 .以下四個圖案中.具有一個共有性質(zhì):罩心滿足上述性質(zhì)的一個是(A)6 (B)7 (C)8 (D)950。，則另外兩個角的度數(shù)分別是()(

3、A) 65(C) 6565°.(B) 5065 °或 50°, 80°.,80°.(D) 50,50 :5 .如果等腰三角形兩邊長是(A) 9cm(B)6 cm和3 cm,那么它的周長是(12cm(C) 12cmg£ 15cm (D)15cm.、填空題(每題5分，共20分)6 .等腰三角形是對稱圖形，它至少有7 .小明上午在理發(fā)店理發(fā)時，從鏡子內(nèi)看到背后墻上普通時鐘的時條對稱軸.針與分針的位置如下圖，此時時間是.8 .已知 ABO軸對稱圖形.且三條高的交點(diǎn)恰好是9 .已知點(diǎn) A( 2, 4), B(2 , 4), C(1 . 2)系內(nèi)

4、的6個點(diǎn)，選擇其中三個點(diǎn)連成一個三角形， 角形關(guān)于y軸對稱，就稱為一組對稱三角形，D(1-2)C點(diǎn)，則4 ABC勺形狀是,E( 3, 1), F(3, 1)是平面坐標(biāo)剩下三個點(diǎn)連成另一個三角形，假設(shè)這兩個三那么，坐標(biāo)系中可找出組對稱三角形.10 .如圖， ABW, AB=AC Z A=36°, AB勺中垂線D豉A什D,交A葉E.下述結(jié)論(1)BD 平分/ ABC; (2)AD=BD=BC ; (3) BDC勺周長等于 AB+BC; (4)D是AC中點(diǎn)，其中正確 的命題序號是.二、（重點(diǎn)）線段的垂直平分線1 .定義： 經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線， 叫做這條線段的垂直平分線，也

5、叫中垂線。2 .性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等3 .判定：與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上關(guān)于 x 軸對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù);關(guān)于 y 軸對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相等;關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；與 X 軸或 Y 軸平行的直線的兩個點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系；關(guān)于與直線X=C或Y=C對稱的坐標(biāo)點(diǎn)x, y關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_ x,-y.點(diǎn)x, y關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 -x, y .2.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)， 這個點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等4、 重點(diǎn) 等腰三角形）知識點(diǎn)回憶 .等腰三角形的兩個底角相等

6、。 等邊對等角 .等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、 底邊上的高互相重合。 三線合一理解：已知等腰三角形的一線就可以推知另兩線。2、等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。 等角對等邊5、 重點(diǎn) 等邊三角形知識點(diǎn)回憶1.等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個角都相等，并且每一個角都等于 600 。2、等邊三角形的判定：三個角都相等的三角形是等邊三角形。有一個角是600 的等腰三角形是等邊三角形。3.在直角三角形中，如果一個銳角等于 300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一 半。練習(xí)：等腰三角形練習(xí)題一、計算題：1 .如圖，AABC 中，AB=AC,BC=BD,A

7、D=DE=EB求ZA的度數(shù)2 .如圖，CA=CB,DF=DB,AE=AD求ZA的度數(shù)3 .如圖，AACC 中，AB=AC , D 在 BC 上，DEXAB 于 E, DFLBC 交 AC 于點(diǎn)F,假設(shè)/EDF=70求ZAFD的度數(shù)4 .如圖，AABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA求ZA的度數(shù)設(shè)/A為xA5 .如圖，AABC 中，AB=AC , D 在 BC 上,/BAD=30 ，在 AC 上取點(diǎn) E,使 AE=AD,求/EDC的度數(shù)D6 .如圖，ZXABC中，/C=90 ° ,D為AB上一點(diǎn)，作 DELBC于E,假設(shè)BE=AC,BD= 1,DE+BC=1, 2求/ABC的度

8、數(shù)7 .如圖，AABC中，AD平分/BAC,彳貿(mào)設(shè)AC=AB+BD求/B: /C的值、證明題:8 .如圖，AABC中，/ABC,/CAB的平分線交于點(diǎn) P,過點(diǎn)P作DE/AB ,分別交BC、AC于點(diǎn)D、E求證：DE=BD+AE9 .如圖，ZXDEF 中，/EDF=2/E, FAX DE 于點(diǎn) A,問：DF、AD、AE 間有什么樣的大小關(guān)系易錯點(diǎn)解析:一、混淆軸對稱與軸對稱圖形的概念例1圖形成軸對稱和軸對稱圖形是同一概念嗎？錯解：圖形成軸對稱與軸對稱圖形是一回事，都是關(guān)于某條直線對稱 錯解分析：產(chǎn)生上述錯誤認(rèn)識的原因是對圖形成軸對稱與軸對稱圖形 這兩個概念的含義未能正確理解.1圖形成軸對稱反映的

9、是兩個圖 形之間的形狀和位置的關(guān)系，而軸對稱圖形是指一個圖形自身的性質(zhì)2軸對稱的對稱點(diǎn)分別在兩個圖形上，而軸對稱圖形的對稱點(diǎn)都在同一個圖形上.當(dāng)然，如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，那 么這兩部分關(guān)于這條對稱軸成軸對稱；如果把兩個成軸對稱的圖形看 成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形.正解：圖形成軸對稱和軸對稱圖形是兩個不同的概念 .它們之間又有 著密切的聯(lián)系.二、錯將軸對稱與全等畫“二”例2如圖，判斷 ABCWA B C的關(guān)系.錯解：因?yàn)锳BCW匕A B C全等，所以它們對稱.錯解分析：說兩個圖形對稱，必須說它們關(guān)于哪條直線對稱.在圖中, ABCW匕A B C關(guān)于直線12不對稱.實(shí)質(zhì)上，全

10、等只是從圖形的形 狀相同、大小相等兩個方面揭示兩個圖形的關(guān)系， 而軸對稱是從形狀相同、大小相等、位置成軸對稱三個方面揭示了兩個圖形的關(guān)系 .正解：ABCWB' C關(guān)于直線li對稱.三、漏找、錯找軸對稱圖形的對稱軸例 3 求線段、角、等腰三角形、正方形、圓的對稱軸 .錯解： 線段有一條對稱軸，是它的垂直平分線；角有一條對稱軸，是它的角平分線；等腰三角形有一條對稱軸，是底邊的垂直平分線；正方形有兩條對稱軸，是兩組對邊中點(diǎn)的連線；圓有無數(shù)條對稱軸，是它的直徑 .錯解分析： 1圖形的對稱軸是直線，而不是線段； 2線段的對稱軸有兩條， 正方形的對稱軸有四條， 等腰三角形有一條或三條對稱軸 .正解

11、： 線段有兩條對稱軸，是線段的垂直平分線和它所在的直線；角有一條對稱軸， 是角平分線所在的直線； 等腰三角形有一條或三條對稱軸，是底邊的垂直平分線；正方形的對稱軸有四條，是對角線所在直線和過對邊中點(diǎn)的直線；圓有無數(shù)條對稱軸，是過圓心的直線或直徑所在的直線 .中考考點(diǎn)解析:轉(zhuǎn)化方法【例1】如下圖，已知等腰三角形ABC AB邊的垂直平分線交AC于 D, AB=?AC=8 BC=q 求 BDC周長.【解】DE是AB的垂直平分線點(diǎn)B、A關(guān)于BD軸對稱AD=BD . BCD勺周長=BC+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC . AC=3 BC=6 . BCDW 長=8+6=14.【規(guī)律總結(jié)】此題的思

12、路主要是將線段轉(zhuǎn)化代換，把三角形周長轉(zhuǎn)代為已知線段的和, 這種轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法.【例2】如下圖，在公路a同側(cè)有兩個居民小區(qū) A、B, ?現(xiàn)需要在公路旁建一個液化氣站，要求到 A、B的距離之 和最短，這個液化氣站應(yīng)建在哪一個地方？【解】已知直線a和a的同側(cè)兩點(diǎn)A、B,如同所示.求作：點(diǎn)C,使C在直線a上，并且使 AC+BO小. 作法：1.作A點(diǎn)關(guān)于直線a的對稱點(diǎn)A .2 .連結(jié)A B交直線a于點(diǎn)C,則C就是所求作的點(diǎn).【規(guī)律總結(jié)】此題通過作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對稱點(diǎn)A',把AC+BM和最短問題轉(zhuǎn)化為 A'、B兩點(diǎn)之間線段最短的問題.方法2:分類討論法【例3】如下

13、圖，在四個正方形拼接的圖形中，以這十個點(diǎn)中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)，共能組成 個等腰直角三角形，你 愿意把得到上述結(jié)論的探究方法與他人交流嗎？請在下面簡要 寫出你的探究過程.【解】24個.以Ai、4、A、A10、A為直角頂點(diǎn)的等腰直角 三角形分別有1個、1?個、4個、5個、1個.共12個.再根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知：在整個圖 形內(nèi)共可組成12? X 2=24個等腰直角三角形.數(shù)形結(jié)合法【例4】如下圖，在正方形中均勻地分 布著一些數(shù)字，小明利用軸對稱的思想，用 了一種非常巧妙的方法，迅速地將這組數(shù)字 和求了出來，你也能試試嗎？【解】從數(shù)字組中可以看出，一條對角 線上的數(shù)都是5, ?假設(shè)把這條對角線當(dāng)作對 稱軸，

14、把正方形中的數(shù)之和為5X 5+10X10=125.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型A'、B'、C'.由于 C?'不在/ MON【例5】一面鏡子 MNS直懸掛在墻壁上，人眼 O 的位置.如下圖，？有三個物體 A B、C放在鏡子前面， 人眼能從鏡子看見哪個物體？【思路分析】物體在鏡子里面所成的像就是數(shù)學(xué) 問題中的物體關(guān)于鏡面的對稱點(diǎn)，人眼從鏡子里所能 看見的物體，它關(guān)于鏡面的對稱點(diǎn)，必須在眼的視線 范圍的.【解】分別作A B、C三點(diǎn)關(guān)于直線MN勺對稱點(diǎn)內(nèi)部，故人能從鏡子里看見 A、B兩物體.【規(guī)律總結(jié)】這道題是軸對稱在實(shí)際中的應(yīng)用，關(guān)鍵是建立相應(yīng)軸對稱圖形的數(shù)學(xué)模型,再利用軸對稱知識來解決.拼圖【例6】如下圖，一批廢料都是等腰三角形的小鋼板， 其中AB=AC ?現(xiàn)要把這種廢鋼板切割后再焊接成兩種不同 規(guī)格的矩形，每種矩形的面積正好等于該三角形的面積， 塊切割的次數(shù)最多兩次，切割的損失忽略不計.1請你設(shè)計兩種不同的切割焊接方案，并且用簡要 的文字加以說明.,?則該三角形應(yīng)2假設(shè)要把該三角形廢料切割后焊接成正方形零件只切割一次 滿足什么條件?【解】1方案、方案如下圖:方案中虛線為切