高等數(shù)學(xué)課件 §10.6-7旋度和斯托克斯公式ppt課件

1、10.6 旋度與斯托克斯公式旋度與斯托克斯公式1 10 0. .6 6. .1 1 斯斯托托克克斯斯)(Stokes公公式式 高斯公式是格林公式在三維空間的推廣，而格林 公式還可從另一方面推廣，就是將曲面的曲面積分 與該曲面 C的邊界閉曲線的曲線積分聯(lián)系起來(lái)。 CRdzQdyPdx dydxyPxQdxdzxRzPdzdyzQyR )()()(定理定理1 1斯托克斯定理）斯托克斯定理） 設(shè)分片光滑曲面的邊界是分段光滑C 閉曲線。空間 向量場(chǎng)),(),(),(zyxRzyxQzyxPA在某一包含曲面 空間域內(nèi)具有連續(xù)的 的偏導(dǎo)數(shù)，則有 nC其中的側(cè)向符合右手法則的取向與曲面曲線 C 。 上式稱為

2、斯斯托托克克斯斯公公式式。 Stokes公式可表為行列式的形式： RQPzyxdydxdxdzdzdyRdzQdyPdxC dSRQPzyxRdzQdyPdxC coscoscos或公式的推廣。公式是因此公式公式即為域時(shí)面上的一塊取上側(cè)的區(qū)為當(dāng)公式中的GreenStokesGreenStokesxy , , , 注注: :例 1計(jì)算曲線積分dzyxdyzxdxyzC)()()(， 是其中 C曲線2122zyxyx，軸負(fù)向看軸正向往從 zz 的方向是順時(shí)針的 C。 解：設(shè)為邊界曲線的曲面上以平面表示Czyx2 ， 且取下側(cè)，1 22yxDxoyxy為面上的投影區(qū)域在， 由Stokes公式得 dz

3、yxdyzxdxyzC)()()(xyDdxdydydx.222yxzxyzzyxdydxdxdzdzdyxyoz1xyD1C例 2計(jì)算CdzyxdyxzdxzyI)( )( )( 222222， 其中23 zyxC為平面截立方體10 , 10 , 10zyx 的表面所得的截線，若從軸正向看去ox，取逆時(shí)針?lè)较颉?xyzO111xyO1123 yx21 yx2121解:取所圍成的部分的上側(cè)被為平面 23 Czyx， 1 , 1 , 131 n的單位法向量，即31coscoscos， 由Stokes公式得 CdzyxdyxzdxzyI)( )( )( 222222dSyxxzzyzyx22222

4、2313131dSzyx)(34.29)8121 (66xyDdxdyxyDdxdydS332233410.6.2 10.6.2 環(huán)量與環(huán)量面密度環(huán)量與環(huán)量面密度一、環(huán)量一、環(huán)量定定義義設(shè)有向量場(chǎng)),(),(),(zyxRzyxQzyxPA， 稱的沿有向閉曲線 CA曲線積分 CCRdzQdyPdxdsA 為的沿有向閉曲線向量場(chǎng) CA環(huán)環(huán)量量。 環(huán)量表示了A 向量場(chǎng)沿有向閉曲線 C 旋轉(zhuǎn)的整體 性態(tài)，但它不能表示A 向量場(chǎng)在一點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)性態(tài)。 二二、環(huán)環(huán)量量面面密密度度 定義定義 中的一點(diǎn)為向量場(chǎng)設(shè) AM，處取定一個(gè)在點(diǎn) M n 方向 ， 作一小曲面，使其在 nM的法向量為點(diǎn)。 小曲面的S面積記

5、為，其邊界為分段l 光滑閉曲線， nl 與的關(guān)系按右手法則確定，向量場(chǎng)正向的沿 lA 與環(huán)量 曲面面積S之比 稱為繞沿曲線在點(diǎn) lMA n 向量的平均環(huán)量面密度平均環(huán)量面密度。 ldsASS 1nlM如果當(dāng)在保持為其法向量 n而任意收縮到點(diǎn) M 時(shí)，的 S極限存在，則稱此極限為向量場(chǎng)MA 在點(diǎn) 沿的向量 n環(huán)環(huán)量量面面密密度度，記為Arotn，即 lMndsASArot 1lim. 注注意意: 環(huán)環(huán)量量面面密密度度是是一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)量量，它它是是環(huán)環(huán)量量對(duì)對(duì)曲曲面面 面面積積的的變變化化率率，且且在在點(diǎn)點(diǎn) M 沿沿不不同同方方向向可可能能有有不不 同同的的環(huán)環(huán)量量面面密密度度。 10.6.10.

6、6.3 3 旋度旋度 一一、旋旋度度的的定定義義 中的一點(diǎn)為向量場(chǎng)設(shè) AM。若存在一個(gè)向量，其方向 是處在點(diǎn) MA，環(huán)量面密度取最大值的方向，其模恰好 是環(huán)量面密度所取得的最大值，則稱此向量為 A向量場(chǎng) 在點(diǎn)M處的旋度旋度，記為Arot。 設(shè)),(),(),(zyxRzyxQzyxPA，其中RQP , , 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 記 , ,yPxQxRzPzQyR，則有 ldsAdSn 公式Stokes積分中值定理). , ( )(的面積為SMSnMlMndsASArot 1limMMMMnn)( )( lim， ,)(),cos(),cos( nnnnnArot即 MnnArot)( . 這表

7、明Arotn等于向量方向在 n上的投影， 顯然，當(dāng)),cos( , 0),(nn時(shí)有最大值，即的方向 n 的與 方向相同時(shí)，Arotn有最大值， 其值為。 .RQPzyxkjiArot 或Stokes公式可寫成向量形式dSArotdSAC 。 , , yPxQxRzPzQyRArot由此得旋度的表達(dá)式Arot ： 三三、旋旋度度的的運(yùn)運(yùn)算算法法則則 （1）) , ( )(為常數(shù)BrotArotBArot； （2）) ( )(為數(shù)量場(chǎng)AgradArotArot； （3）0)(gradrot(),(zyxuu具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))。 證（3） ：zuyuxuzyxkjigradrot )( . 0)

8、()()(222222kxyuyxujzxuxzuizyuyzu結(jié)論結(jié)論: :梯度場(chǎng)無(wú)旋梯度場(chǎng)無(wú)旋10106 64 4 空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 定定理理 2 2 若),(),(),(),(zyxRzyxQzyxPzyxA在空間 單連通域上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)命題等價(jià)： （1）0 ,),(Arotzyx有； （3）內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)在)(ABCRdzQdyPdx； （4）的全微分是某個(gè)函數(shù) ),( zyxuRdzQdyPdx，即 RdzQdyPdxdu。 （2）C 閉曲線內(nèi)任意光滑或逐段光滑對(duì)，有 0CRdzQdyPdx； ),(),(),(zyxzyxRd

9、zQdyPdxzyxu且.),(),(),(zzyyxxdzzyxRdyzyxQdxzyxPxyzO),(zyxM),(zyxM),(1zyxM),(2zyxM).()(),()()(AuBuzyxuduRdzQdyPdxBAABCABC例 5驗(yàn)證dzxyzdyxzydxyzx)2()2()2(222 為某函數(shù)的全微分，并求其原函數(shù)。 證：0222 222xyzxzyyzxzyxkji， ),( zyxuu存在函數(shù)，使得 .)2()2()2(222dzxyzdyxzydxyzxdu曲線積分與路徑無(wú)關(guān)， 取)0 , 0 , 0(),(zyx，3),(Rzyx，有 dzxyzdyydxxzyxuz

10、yx020202)2(),(,2)(31333xyzzyx.2)(31333Cxyzzyxu 另另解解：dzxyzdyxzydxyzxdu)2()2()2(222 )222()(222xydzxzdyyzdxdzzdyydxx)2()(31333xyzdzyxd， .2)(31333Cxyzzyxu 10.7 10.7 有勢(shì)場(chǎng)與無(wú)源場(chǎng)有勢(shì)場(chǎng)與無(wú)源場(chǎng) 10.7.110.7.1有勢(shì)場(chǎng)有勢(shì)場(chǎng) 定定義義 1 1 設(shè)有A 向量場(chǎng)，若旋度0Arot，為則稱 A無(wú)無(wú)旋旋場(chǎng)場(chǎng)。 定義定義 2 2 設(shè)是向量場(chǎng) A，若存在數(shù)量值函數(shù)),(zyxu， 使graduA ，為則稱 A有勢(shì)場(chǎng)有勢(shì)場(chǎng)，稱的為向量場(chǎng) Au 勢(shì)函數(shù)勢(shì)函數(shù)。 定定理理 在空間線單連通域內(nèi)， 為無(wú)旋場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng)向量場(chǎng)AA 。 10.7.2 10.7.2 無(wú)源場(chǎng)無(wú)源場(chǎng) 定定義義 3 3 設(shè)有A 向量場(chǎng)，若散度0Adiv，為則稱 A無(wú)無(wú)源源場(chǎng)場(chǎng)。 1 10 0. .7 7. .3 3 算算符符 kzjyix 1 1數(shù)數(shù)量量場(chǎng)場(chǎng)),(zyxu的的梯梯度度 uukzjyixkzujyuixugradu)(； 它又稱為算子算子或哈米爾頓)( )(HamiltonNabla。 向量微分算子向量微分算子 ：2 2向向量量場(chǎng)場(chǎng)),(),(),(zyxRzyxQzyxPA的的散散度度 zRyQxPAdiv Ak