導數(shù)與最值解題方法指導

1、當求解函數(shù)的最值問題時，所用的一般都是配方法、二次函數(shù)圖象、反函數(shù)法、換元法、判別式法或基本不等式等常用的方法，但有些問題僅用上述初等方法不能解決或解答起來較繁瑣，學了導數(shù)后，這種困惑大多可迎刃而解。本文以幾道典型題目為例，和大家共同探討用導數(shù)求最值的方法步驟以及需要注意的問題。一、求函數(shù)在特定區(qū)間上的最值例1:求函數(shù)f(x)=x2-4x+6在區(qū)間1,5內(nèi)的最大值和最小值。題目分析：函數(shù)在特定區(qū)間上的最值一般有兩種情況：(1)如果函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)增加(減少)，則f(a)是f(x)在a,b上的最小值(最大值),f(b)是f(x)在a,b上的最大值(最小值)。(2)如果函數(shù)在區(qū)間a,b內(nèi)

2、有極值，將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的一個為最大值，最小的一個最小值.正確解答:f'(x)=2x-4,令f'(x)=0,即止-4=0,彳導x=2。x1(1,2)2(2,5)5y'負0正y3減2增11故函數(shù)f(x)在區(qū)間1,5內(nèi)有極小值為2,最大值為11,最小值為2?？偨Y升華：求f(x)在閉區(qū)間a,b上的最值的步驟:求f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值(極大值或極小值)(2)求出區(qū)間端點處的函數(shù)值；(3)將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個為最大值,最小的一個最小值。趁熱打鐵：求函數(shù)y=x3+3x29x在上4,4的最大值

3、和最小值。題目解析：(1)由f'(x)=3x2+6x-9,得駐點為x1=3，x2=1駐點處的函數(shù)值為f(3)=27,f(1)=4(2) 區(qū)間端點4,4處的函數(shù)值為f(4)=20,f(4)=76(3) 比較以上各函數(shù)值，可知函數(shù)在4,4上的最大值為f(4)=76，最小值為f(3)=27。警鈴長鳴：1、看清楚題目中給的條件到底是開區(qū)間還是閉區(qū)間，若是閉區(qū)間，則將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個最小值；若是開區(qū)間，則不需要和端點值比較。2、求函數(shù)極值時，導數(shù)值為0的點是該點為極值點的必要條件，但不是充分條件。二、實際應用中的最值問題例2：把長度

4、為16cm的線段分成兩段，各圍成一個正方形，它們的面積之和的最小值為多少題目分析：建立面積和正方形的周長的函數(shù)關系，再求最小值正確解答：設一段長為xcm,則另一段長(16x)cm.(r+(r一2五十260<x<16)4416g.S'=2,令S'=0有x=8.列表:x(。，8)8(8,16)S，一0十 當x=8時,S有最小值8cm2.總結升華：這是解實際應用題的一般方法.先構造函數(shù)關系，再求滿足條件的解，極值或最值。趁熱打鐵：如圖所示，在二次函數(shù)f(x)=4x-X2的圖象與x軸所圍成圖形中有個內(nèi)接矩形ABCQ求這個矩形面積的最大值。題目解析：設點B的坐標為(x,0)且0<x<2, f(x)=4x-X2圖象的對稱軸為x=2,點C的坐標為(4-x,0), .|BC|=4-2x,|BA|=f(x)=4x-x2。.矩形面積為y=(4-2x)(4x->2)=16x-12)2+2x3y，=l4x+6>?=2(3-12x+8)=2