簡單曲線的極坐標(biāo)方程——直線

1、選修選修4 44 4坐標(biāo)系與參數(shù)方程坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第一講第一講 坐標(biāo)系坐標(biāo)系三三. . 簡單曲線的極坐標(biāo)方程簡單曲線的極坐標(biāo)方程在極坐標(biāo)系中求曲線方程的基本步驟：在極坐標(biāo)系中求曲線方程的基本步驟：1 1、根據(jù)題意畫出草圖、根據(jù)題意畫出草圖( (包括極坐標(biāo)建系包括極坐標(biāo)建系) )；2 2、設(shè)設(shè)P P(，) 為所求曲線上的任意一點(diǎn)；為所求曲線上的任意一點(diǎn)；3 3、連結(jié)、連結(jié)OPOP，尋找尋找OPOP滿足的幾何條件；滿足的幾何條件；4 4、依照、依照幾何條件幾何條件列出關(guān)于列出關(guān)于，的的方程并化簡方程并化簡；5 5、檢驗(yàn)檢驗(yàn)并確定所得方程即為所求。并確定所得方程即為所求。探究探究: :直線的極坐

2、標(biāo)方程直線的極坐標(biāo)方程 思考思考1 1：如圖，過極點(diǎn)作射線：如圖，過極點(diǎn)作射線OMOM，若從極軸到射線，若從極軸到射線OMOM的最小正角為的最小正角為45450 0，則射線，則射線OMOM的極坐標(biāo)方程是什的極坐標(biāo)方程是什么？過極點(diǎn)作射線么？過極點(diǎn)作射線OMOM的反向延長線的反向延長線ONON，則射線，則射線ONON的極坐標(biāo)方程是什么？直線的極坐標(biāo)方程是什么？直線MNMN的極坐標(biāo)方程是什的極坐標(biāo)方程是什么？么？ 4M M4545x xO ON N射線射線OMOM： ； 4射線射線ONON： ；544和和54思考思考2 2：若若0 0，則規(guī)定點(diǎn)，則規(guī)定點(diǎn)(，) )與點(diǎn)與點(diǎn)( (，) )關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱

3、，則上述直線關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱，則上述直線MNMN的極坐標(biāo)方程是的極坐標(biāo)方程是什么？什么？M M4545x xO ON N()4R或或5()4R 和前面的直角坐標(biāo)系里和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程的表示形式比較起來，直線方程的表示形式比較起來，極坐標(biāo)系里的直線表示起來很極坐標(biāo)系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合而不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？成。原因在哪？0 可以考慮允許極徑可以取全體實(shí)數(shù)?？梢钥紤]允許極徑可以取全體實(shí)數(shù)。思考：思考：設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P P的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為A A ，直線，直線 過點(diǎn)過點(diǎn)P P且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 , ,求直線求直線 的極坐標(biāo)方的極坐標(biāo)方程。

4、程。 ( ,0)a ll解：如圖，設(shè)點(diǎn)解：如圖，設(shè)點(diǎn)( , )M 為直線為直線 上異于上異于P P的點(diǎn)的點(diǎn)l連接連接OMOM， oMx p在在 中有中有 MOP sin()sin()a 即即sin()sina顯然顯然P P點(diǎn)也滿足上點(diǎn)也滿足上方程。方程。探究：探究：過點(diǎn)過點(diǎn)A(A(a a，0)(0)(a a0)0)，且垂直于極軸的直線，且垂直于極軸的直線l l的極坐標(biāo)方程是什么？的極坐標(biāo)方程是什么？M M當(dāng)當(dāng)a a0 0時(shí)，時(shí)，coscosa a； x xO OA Ax xO OA AM M當(dāng)當(dāng)a a0 0時(shí)，時(shí)，coscosa a. .求直線的極坐標(biāo)方程步驟求直線的極坐標(biāo)方程步驟1 1、根據(jù)

5、題意畫出草圖；、根據(jù)題意畫出草圖；2 2、設(shè)點(diǎn)、設(shè)點(diǎn) 是直線上任意一點(diǎn)；是直線上任意一點(diǎn)；( , )M 3 3、連接、連接MOMO；4 4、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于 的方的方 程，程，并化簡；并化簡；, 5 5、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。(2,)4A 變變題題、求求過過點(diǎn)點(diǎn)平平行行于于極極軸軸的的直直線線。OBAM( ， )( , )MlA 解解：如如圖圖，設(shè)設(shè)是是直直線線 上上除除點(diǎn)點(diǎn) 外外的的任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)(2,)2 sin244AMBsin ,sin2Rt OMBMBOM在在中中，即即sin2 故故所所求求直直線線方方程程為為x(2

6、,)4A 可可以以驗(yàn)驗(yàn)證證，點(diǎn)點(diǎn) 的的坐坐標(biāo)標(biāo)滿滿足足上上式式，幾種特殊的直線的極坐標(biāo)方程：幾種特殊的直線的極坐標(biāo)方程：cosa1.1.與極軸垂直且與極軸距離為與極軸垂直且與極軸距離為a a的直線的的直線的極坐標(biāo)方程：極坐標(biāo)方程：cosa 2.2.與極軸反向延長線垂直且距離為與極軸反向延長線垂直且距離為a a的直的直線的極坐標(biāo)方程：線的極坐標(biāo)方程：sina3.3.在極軸上方與極軸平行且到極軸距離為在極軸上方與極軸平行且到極軸距離為a a的極坐標(biāo)方程：的極坐標(biāo)方程：4.4.在極軸下方與極軸平行且到極軸距離為在極軸下方與極軸平行且到極軸距離為a a的極坐標(biāo)方程：的極坐標(biāo)方程：sina思考思考4：設(shè)

7、點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P P的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為 ，直線，直線 過點(diǎn)過點(diǎn)P P且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 , ,求直線求直線 的極坐標(biāo)方的極坐標(biāo)方程。程。 11(,) lloxMP 1 1 解：如圖，設(shè)點(diǎn)解：如圖，設(shè)點(diǎn)( , )M 點(diǎn)點(diǎn)P P外的任意一點(diǎn)，連接外的任意一點(diǎn)，連接OMOM為直線上除為直線上除則則 由點(diǎn)由點(diǎn)P P的極坐標(biāo)知的極坐標(biāo)知 ,OMxOM1OP 1xOP 設(shè)直線設(shè)直線L L與極軸交于點(diǎn)與極軸交于點(diǎn)A A。則在。則在MOP 1,()OMPOPM由正弦定理得由正弦定理得11sin()sin() 11sin()sin()顯然點(diǎn)顯然點(diǎn)P P的坐標(biāo)也的坐標(biāo)也是它的解。是它的解。oxMP 1

8、 1 練習(xí)：1.1.在極坐標(biāo)系中，求適合下列條件的直線或圓在極坐標(biāo)系中，求適合下列條件的直線或圓的極坐標(biāo)方程：的極坐標(biāo)方程：（1 1）過極點(diǎn)傾斜角是）過極點(diǎn)傾斜角是 的直線；的直線；3 （2 2）過）過 點(diǎn)（點(diǎn)（2 2， ），并且和極軸垂直的直線；），并且和極軸垂直的直線；3（3 3）圓心在）圓心在A A（1 1， ），半徑為），半徑為1 1的圓；的圓；4（4 4）圓心在（）圓心在（a a， ），半徑為），半徑為a a的圓。的圓。32B練習(xí)：練習(xí)：2.2.兩條直線兩條直線 與與 的位置關(guān)系是（的位置關(guān)系是（ ）cos()asin()aA A、平行平行 B B、垂直垂直C C、重合重合 D D、

9、平行或重合平行或重合sin2 cos2cos4 cos4ABCD 、3.3.在極坐標(biāo)系中，與圓在極坐標(biāo)系中，與圓 相切的一條相切的一條直線的方程是（直線的方程是（ ）4sinB12121212 AllBllCllDll 、 平平行行、 與與 重重合合 、 和和 斜斜交交B4.4.直線直線 和和 的位置關(guān)系是（的位置關(guān)系是（ ）sin()a25.5.求過求過A A（-2-2，3 3）且斜率為）且斜率為2 2的直線的極坐的直線的極坐標(biāo)方程。標(biāo)方程。.sin2) 3();(65)2(; 5) 1 (R*練習(xí)練習(xí)*6.6.說明下列極坐標(biāo)方程表示什么曲線并畫圖說明下列極坐標(biāo)方程表示什么曲線并畫圖. .7.7.把下列直角坐標(biāo)方程化成極坐標(biāo)方程：把下列直角坐標(biāo)方程化成極坐標(biāo)方程：.16)4(; 0132)3(; 02)2(; 4) 1 (22yxyxyx.sin4cos2)4(;cos10)3(; 04)sin5cos2()2(; 2sin) 1 (8.8.把下列極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程：把下列極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程：9.9.已知直線的極坐標(biāo)方程為已知直