三角鎖推算元素的精度估算

1、§2.3 三角鎖推算元素的精度估算 在1.1.2小節(jié)中已經(jīng)提到，控制測(cè)量工作的第一階段就是控制網(wǎng)的設(shè)計(jì)階段。論述控制網(wǎng)的精度是否能滿足需要是技術(shù)設(shè)計(jì)報(bào)告的主要內(nèi)容之一。雖然對(duì)于評(píng)定控制網(wǎng)的優(yōu)劣、費(fèi)用的高低也是一項(xiàng)重要的指標(biāo)，但是，通常首先考慮的是精度，只有在精度指標(biāo)滿足要求的情況下，才考慮選擇費(fèi)用較低廉的布設(shè)方案。本節(jié)著重介紹估算三角鎖邊長(zhǎng)精度的方法。 近20年來(lái)，隨著電子計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，以近代平差理論為基礎(chǔ)的控制網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)理論獲得了迅速地發(fā)展。例如，僅在表達(dá)控制網(wǎng)質(zhì)量的指標(biāo)方面，無(wú)論在廣度和深度上，均非過(guò)去所能比。2.3.1 精度估算的目的和方法 精度估算的目的是推求控制網(wǎng)中邊長(zhǎng)

2、、方位角或點(diǎn)位坐標(biāo)等的中誤差，它們都是觀測(cè)量平差值的函數(shù)，統(tǒng)稱為推算元素。估算的方法有兩種。1.公式估算法 此法是針對(duì)某一類網(wǎng)形導(dǎo)出計(jì)算某種推算元素（例如最弱邊長(zhǎng)中誤差）的普遍公式。由于這種推算過(guò)程通常相當(dāng)復(fù)雜，需經(jīng)過(guò)許多簡(jiǎn)化才能得出有價(jià)值的實(shí)用公式，所以得出的結(jié)果都是近似的。而對(duì)另外一些推算元素，則難以得出有實(shí)用意義的公式。公式估算法的好處是，不僅能用于定量地估算精度值，而且能定性地表達(dá)出各主要因素對(duì)最后精度的影響，從而為網(wǎng)的設(shè)計(jì)提供有用的參考。推導(dǎo)估算公式的方法以最小二乘法中條件分組平差的精度計(jì)算公式為依據(jù)，現(xiàn)列出公式如下。 設(shè)控制網(wǎng)滿足下列兩組條件方程式 （） （）推算元素是觀測(cè)元素平差

3、值的函數(shù)，其一般形式為式中，為觀測(cè)值，為其權(quán)，為其相應(yīng)的改正數(shù)。實(shí)際上的數(shù)值很小，可將上式按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)，并舍去二次以上各項(xiàng)，得到其線性式 （2-1）式中， 根據(jù)兩組平差的步驟，首先按第一組條件式進(jìn)行平差，求得第一次改正后的觀測(cè)值，然后改化第二組條件方程式。設(shè)改化后的第二組條件方程式為則的權(quán)倒數(shù)為 （2-2）如果平差不是按克呂格分組平差法進(jìn)行的，即全部條件都是第一組，沒(méi)有第二組條件，則在計(jì)算權(quán)倒數(shù)時(shí)應(yīng)將上式的后兩項(xiàng)去掉。 的中誤差為 （2-3）式中，為觀測(cè)值單位權(quán)中誤差。 2.程序估算法 此法根據(jù)控制網(wǎng)略圖，利用已有程序在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算。在計(jì)算過(guò)程中，使程序僅針對(duì)所需的推算元素計(jì)算精度并輸出

4、供使用。 通常這些程序所用的平差方法都是間接平差法。設(shè)待求推算元素的中誤差、權(quán)（或權(quán)系數(shù)）分別為、，后者與網(wǎng)形和邊角觀測(cè)值權(quán)的比例有關(guān)（對(duì)邊角網(wǎng)而言），不具有隨機(jī)性。至于單位權(quán)中誤差，對(duì)驗(yàn)后網(wǎng)平差來(lái)說(shuō)，是由觀測(cè)值改正數(shù)求出的單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的估值，具有隨機(jī)性。但對(duì)于設(shè)計(jì)的控制網(wǎng)來(lái)說(shuō)，用于網(wǎng)的精度估算，可取有關(guān)規(guī)范規(guī)定的觀測(cè)中誤差或經(jīng)驗(yàn)值。這時(shí)需要計(jì)算的主要是或，所用程序最好具有精度估算功能。否則，應(yīng)加適當(dāng)修改，以使其自動(dòng)跳過(guò)用觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算的程序段，而直接由用戶將指定值賦給。如此計(jì)算出的即為所需結(jié)果。在這種情況下，運(yùn)行程序開(kāi)始時(shí)應(yīng)輸入由網(wǎng)圖量取的方向和邊長(zhǎng)作為觀測(cè)值，各觀測(cè)值的精度也應(yīng)按設(shè)計(jì)值給

5、出。輸入方式按程序規(guī)定進(jìn)行。圖2-82.3.2 三角鎖推算邊長(zhǎng)的精度估算1.單三角形中推算邊長(zhǎng)的中誤差 圖2-8中，設(shè)為三角形的起算邊，為推算邊，、為角度觀測(cè)值，于是由推算的函數(shù)式為 單三角形中有下列圖形條件 按角度平差時(shí)，條件方程式的系數(shù)為，對(duì)角度、的偏導(dǎo)數(shù)（各角以弧度為單位）如下，設(shè)角、為等精度觀測(cè)，中誤差為，代入（2-2）式（去掉后兩項(xiàng)）得于是將上式的結(jié)果代入（2-3）式，并注意上式在求導(dǎo)數(shù)時(shí)角度是以弧度為單位的，因而相應(yīng)的測(cè)角中誤差也應(yīng)化成以弧度為單位，即為，于是可得寫成相對(duì)中誤差的形式為 （2-4）過(guò)去經(jīng)常使用邊長(zhǎng)對(duì)數(shù)的中誤差，為此可利用微分式式中，=0.434 29為常用對(duì)數(shù)的模，

6、將上式換成中誤差的形式有 （2-5）式中的是以對(duì)數(shù)第6位為單位的。于是（2-5）式又可改寫為 （2-6）將上式右端的乘以根號(hào)內(nèi)的和可得 （2-7）式中 （2-8）、的含義可以這樣理解，因?yàn)?（以秒為單位）當(dāng)=1"時(shí)左端為正弦對(duì)數(shù)每秒的增量，在對(duì)數(shù)表上即為相應(yīng)每1"的正弦對(duì)數(shù)表列值之差，簡(jiǎn)稱為正弦對(duì)數(shù)每秒表差。若以對(duì)數(shù)第6位為單位，則上式可寫為由此可見(jiàn)，等于角的正弦對(duì)數(shù)每秒表差（以對(duì)數(shù)第6位為單位）。 若令 （2-9）則（2-7）式可寫為 （2-10）表2-5 （以對(duì)數(shù)第六位為單位）如果已知的不是測(cè)角中誤差，而是方向中誤差（有關(guān)方向和方向觀測(cè)的概念見(jiàn)第三章），則利用關(guān)系代入（

7、2-10）式可得或 （2-11）由（2-9）和（2-8）式可知與三角形的內(nèi)角有關(guān)，亦即與三角形的形狀有關(guān)。通常將稱為三角形的圖形權(quán)倒數(shù)，也就是以方向的權(quán)為單位權(quán)，三角形推算邊（一般是指精度最差的邊，即最弱邊）邊長(zhǎng)對(duì)數(shù)的權(quán)倒數(shù)稱為三角形的圖形權(quán)倒數(shù)。關(guān)于圖形權(quán)倒數(shù)的這個(gè)定義不僅適用于三角形，也適用于下面講述的大地四邊形等其他圖形。 為了便于計(jì)算圖形權(quán)倒數(shù)，已將列成數(shù)表，以角度為引數(shù)查?。ㄒ?jiàn)表2-5）。2.三角形的最有利形狀 以上導(dǎo)出了三角形的圖形權(quán)倒數(shù)公式，并說(shuō)明了它同三角形的形狀有關(guān)。由此，我們自然會(huì)提出什么樣的三角形圖形權(quán)倒數(shù)最小，亦即推算出的邊長(zhǎng)精度最高的問(wèn)題。圖2-9 為了便于研究，選取

8、（2-6）式進(jìn)行分析。令。欲使最小，亦即最小，則應(yīng)使最小。表面看來(lái)這是個(gè)多元極值問(wèn)題，但應(yīng)注意，三個(gè)角為三角形的內(nèi)角，此外由圖2-8，從已知邊推求任一邊或應(yīng)使它們精度相等，則應(yīng)使。于是考慮這兩個(gè)條件，可寫出因而使最小變成了一元極值問(wèn)題。首先求出將上式代入表達(dá)式內(nèi)，得到為了求的極小值，將上式對(duì)取一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，則經(jīng)整理得方程因此 ，這個(gè)結(jié)果說(shuō)明，以為底邊，角度的等腰三角形，對(duì)推算邊長(zhǎng)的精度最為有利。 然而上述結(jié)果只是從推算邊長(zhǎng)精度最高這一要求得出的。如果用這種等腰三角形布設(shè)三角鎖，則三角形的邊長(zhǎng)將越來(lái)越短（見(jiàn)圖2-9），因而將無(wú)法擴(kuò)展下去。這說(shuō)明實(shí)際布網(wǎng)時(shí)不能只從精度考慮，而必須顧及各方面

9、的條件。若按正三角形布網(wǎng)，則不僅點(diǎn)位密度均勻而且正三角形的值（=4.4）與上述最有利圖形（=4.0）也比較接近。因此從兩個(gè)方面的要求綜合考慮，可以認(rèn)為正三角形是布網(wǎng)的理想圖形。3.三角形鎖中推算邊長(zhǎng)的中誤差 圖2-10代表一段三角形單鎖，其中為起算邊，為傳距邊。在每個(gè)三角形中與傳距邊相對(duì)的角為傳距角，用和表示。三角形中另一個(gè)角用表示，稱為間隔角，與之相對(duì)的邊稱為間隔邊。 設(shè)三角形單鎖是按角度觀測(cè)和按角度平差的，也就是所有等角都是等精度獨(dú)立觀測(cè)值并按此參加平差?，F(xiàn)在導(dǎo)出計(jì)算的邊長(zhǎng)對(duì)數(shù)中誤差的公式。圖2-10 由圖2-10可以看出是由依次經(jīng)過(guò)第1，第2，第個(gè)三角形推算而得的，由于在平差時(shí)只是將第個(gè)

10、三角形的角度閉合差平均分配在三個(gè)內(nèi)角、上，因此平差后只有這三個(gè)內(nèi)角是相關(guān)的，而不同三角形之間各角是互不相關(guān)的。于是每個(gè)三角形對(duì)推算邊長(zhǎng)，所產(chǎn)生的誤差可以認(rèn)為是互相獨(dú)立的。因而根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播律可知，由起始邊通過(guò)各三角形推算最末邊的權(quán)倒數(shù)將是各三角形圖形權(quán)倒數(shù)之和，即 （2-12）4.大地四邊形和中點(diǎn)多邊形推算邊長(zhǎng)的中誤差圖2-11 在兩相鄰三角形內(nèi)加測(cè)一條對(duì)角線所構(gòu)成的圖形，稱為大地四邊形，如圖2-11、2-12所示。這種圖形在工程控制網(wǎng)中應(yīng)用頗廣，例如橋梁三角網(wǎng)，通常就采用一個(gè)或幾個(gè)大地四邊形構(gòu)成。圖2-13所示的圖形為中點(diǎn)多邊形。大地四邊形和中 點(diǎn)多邊形都是構(gòu)成三角網(wǎng)的主要圖形。圖2-11、

11、2-12和2-13中的是已知邊，是推算邊。圖2-11和2-12兩種圖形中既含有若干圖形條件（前者有3個(gè)）又含有一個(gè)極條件因此不易推出邊長(zhǎng)中誤差的普遍公式。圖2-12 對(duì)于大地四邊形，此處只給出兩種典型情況的圖形權(quán)倒數(shù)公式。一種是圖2-11 （a）所示的矩形大地四邊形和圖2-12（a）所示的菱形大地四邊形（由兩個(gè)等邊三角形加測(cè)對(duì)角線所構(gòu)成的圖形）。按方向平差時(shí)它們的圖形權(quán)倒數(shù)如下： 矩形大地四邊形 （2-13） 菱形大地四邊形 （2-14）式中（見(jiàn)圖2-11（b）和圖2-12（b）、（c）。 在圖2-12（a）中，如果不加測(cè)長(zhǎng)對(duì)角線-，而按圖2-12（b）計(jì)算三角形單鎖的圖形權(quán)倒數(shù)，則得（見(jiàn)（2

12、-12）式）。與（2-14）式比較，可見(jiàn)加測(cè)長(zhǎng)對(duì)角線后，前面的系數(shù)僅由1.33降低為1.25，這說(shuō)明圖形強(qiáng)度增強(qiáng)很少。但長(zhǎng)對(duì)角線給觀測(cè)帶來(lái)困難，如在平地還須增加覘標(biāo)高度。由此可見(jiàn)，在兩個(gè)近似等邊的三角形內(nèi)一般不宜加測(cè)長(zhǎng)對(duì)角線。 雖然對(duì)于任意角度的大地四邊形計(jì)算圖形權(quán)倒數(shù)的普遍公式不易求得，但是在實(shí)際作業(yè)中所選出的大地四邊形通?？偸墙橛诰匦闻c菱形大地四邊形之間，因此可近似地?。?-13）式和（2-14）式中系數(shù)的平均值，作為計(jì)算任意角度大地四邊形圖形權(quán)倒數(shù)的系數(shù)，即 （2-15） 按上式計(jì)算大地四邊形權(quán)倒數(shù)時(shí)有兩個(gè)不同的推算路線（見(jiàn)圖2-11（b）和圖2-12 （c），應(yīng)取其中較小的。較小的那條

13、推算路線又稱最佳推算路線。對(duì)于中點(diǎn)多邊形，現(xiàn)給出三種圖形的最弱邊邊長(zhǎng)對(duì)數(shù)的權(quán)倒數(shù)如下：中點(diǎn)五邊形 中點(diǎn)六邊形 中點(diǎn)七邊形 圖2-13可見(jiàn)采用中點(diǎn)五邊形或中點(diǎn)六邊形較為有利。實(shí)際作業(yè)時(shí)所選定的中點(diǎn)多邊形一般不符合等邊情況，因此計(jì)算權(quán)倒數(shù)時(shí)常采用近似公式 （2-16）用上式計(jì)算中點(diǎn)多邊形圖形權(quán)倒數(shù)，同樣存在兩條推算路線（見(jiàn)圖2-13（b）和圖2-13（c），應(yīng)取其中較小的。5.混合鎖段圖形權(quán)倒數(shù)的計(jì)算 實(shí)際作業(yè)時(shí)，由于受地形條件限制等原因，所選定的三角鎖段常常是由幾種圖形混合組成的三角鎖（見(jiàn)圖2-14）。估算這種鎖段的圖形權(quán)倒數(shù)時(shí)，先按下列各式計(jì)算出每種圖形的圖形權(quán)倒數(shù)：三角形 （2-17）大地四

14、邊形 （2-18）中點(diǎn)多邊形 （2-19）式中的根據(jù)傳距角由表2-5查出。但應(yīng)注意，對(duì)后兩種圖形應(yīng)取最佳推算路線求。然后取鎖段傳算路線上各圖形權(quán)倒數(shù)之和，即為推算邊長(zhǎng)的圖形權(quán)倒數(shù) （2-20）對(duì)圖2-14所示的鎖段，推算邊長(zhǎng)的圖形權(quán)倒數(shù)為圖2-14應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是（2-17）（2-19）各式的單位權(quán)中誤差應(yīng)為方向中誤差，于是最弱邊邊長(zhǎng)對(duì)數(shù)的中誤差為 （2-21）又由（2-5）式可知 （2-22） 以上的分析均未顧及起算邊邊長(zhǎng)誤差的影響。然而三角網(wǎng)平差后推算邊長(zhǎng)的精度不僅受水平角觀測(cè)誤差的影響，而且還受起算邊邊長(zhǎng)誤差的影響。在獨(dú)立三角網(wǎng)中，這兩種誤差影響是彼此無(wú)關(guān)的、互相獨(dú)立的。設(shè)起算邊長(zhǎng)相對(duì)中誤差為

15、，其邊長(zhǎng)對(duì)數(shù)中誤差為，當(dāng)顧及起算邊長(zhǎng)誤差的影響時(shí)，按誤差傳播定律，（2-21）式應(yīng)改寫為 （2-23）6.兩端有起算邊的三角形單鎖最弱傳距邊邊長(zhǎng)的中誤差 建立控制網(wǎng)時(shí)，為了提高精度，常在三角鎖的兩端布設(shè)起算邊。當(dāng)鎖兩端有起算邊和時(shí)，最弱傳距邊大體上在鎖的中央，即（見(jiàn)圖2-15）。圖2-15 設(shè)該鎖按角度觀測(cè)和按角度平差，可設(shè)想把全鎖分為互相獨(dú)立、大體相等的兩個(gè)分段，分界邊為（見(jiàn)圖2-15）。由兩端起算邊和分別推算邊長(zhǎng)，可以得到兩個(gè)互相獨(dú)立的數(shù)值和，然后取其帶權(quán)平均值。 （2-24）式中分別為、的權(quán)，則的權(quán)為。 設(shè)、分別為、的中誤差，單位權(quán)中誤差為，則有， （2-25）此外，由于權(quán)與誤差的平方成反比，故有 （2-26）已知的權(quán)，再由（2-25）式可寫出的中誤差的平方為將（2-26）代入上式，化簡(jiǎn)后可得 （2-27）上式雖然是針對(duì)兩端有起算邊的三角形單鎖導(dǎo)出的，但是從另一方面看，它也是在已知兩個(gè)分量的中誤差的情況下求其加權(quán)平均值的中誤差的一般公式。 作為一個(gè)算例，現(xiàn)應(yīng)用上式估算國(guó)家一等鎖鎖段中最弱邊的中誤差。設(shè)圖2-15表示一等鎖的一個(gè)鎖段，兩端有起算邊。若兩個(gè)分段的三角形形狀及個(gè)數(shù)大致相