三角鎖推算元素的精度估算

1、§2.3 三角鎖推算元素的精度估算 在1.1.2小節(jié)中已經(jīng)提到，控制測量工作的第一階段就是控制網(wǎng)的設(shè)計階段。論述控制網(wǎng)的精度是否能滿足需要是技術(shù)設(shè)計報告的主要內(nèi)容之一。雖然對于評定控制網(wǎng)的優(yōu)劣、費用的高低也是一項重要的指標(biāo)，但是，通常首先考慮的是精度，只有在精度指標(biāo)滿足要求的情況下，才考慮選擇費用較低廉的布設(shè)方案。本節(jié)著重介紹估算三角鎖邊長精度的方法。 近20年來，隨著電子計算機的廣泛應(yīng)用，以近代平差理論為基礎(chǔ)的控制網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計理論獲得了迅速地發(fā)展。例如，僅在表達(dá)控制網(wǎng)質(zhì)量的指標(biāo)方面，無論在廣度和深度上，均非過去所能比。2.3.1 精度估算的目的和方法 精度估算的目的是推求控制網(wǎng)中邊長

2、、方位角或點位坐標(biāo)等的中誤差，它們都是觀測量平差值的函數(shù)，統(tǒng)稱為推算元素。估算的方法有兩種。1.公式估算法 此法是針對某一類網(wǎng)形導(dǎo)出計算某種推算元素（例如最弱邊長中誤差）的普遍公式。由于這種推算過程通常相當(dāng)復(fù)雜，需經(jīng)過許多簡化才能得出有價值的實用公式，所以得出的結(jié)果都是近似的。而對另外一些推算元素，則難以得出有實用意義的公式。公式估算法的好處是，不僅能用于定量地估算精度值，而且能定性地表達(dá)出各主要因素對最后精度的影響，從而為網(wǎng)的設(shè)計提供有用的參考。推導(dǎo)估算公式的方法以最小二乘法中條件分組平差的精度計算公式為依據(jù)，現(xiàn)列出公式如下。 設(shè)控制網(wǎng)滿足下列兩組條件方程式 （） （）推算元素是觀測元素平差

3、值的函數(shù)，其一般形式為式中，為觀測值，為其權(quán)，為其相應(yīng)的改正數(shù)。實際上的數(shù)值很小，可將上式按臺勞級數(shù)展開，并舍去二次以上各項，得到其線性式 （2-1）式中， 根據(jù)兩組平差的步驟，首先按第一組條件式進行平差，求得第一次改正后的觀測值，然后改化第二組條件方程式。設(shè)改化后的第二組條件方程式為則的權(quán)倒數(shù)為 （2-2）如果平差不是按克呂格分組平差法進行的，即全部條件都是第一組，沒有第二組條件，則在計算權(quán)倒數(shù)時應(yīng)將上式的后兩項去掉。 的中誤差為 （2-3）式中，為觀測值單位權(quán)中誤差。 2.程序估算法 此法根據(jù)控制網(wǎng)略圖，利用已有程序在計算機上進行計算。在計算過程中，使程序僅針對所需的推算元素計算精度并輸出

4、供使用。 通常這些程序所用的平差方法都是間接平差法。設(shè)待求推算元素的中誤差、權(quán)（或權(quán)系數(shù)）分別為、，后者與網(wǎng)形和邊角觀測值權(quán)的比例有關(guān)（對邊角網(wǎng)而言），不具有隨機性。至于單位權(quán)中誤差，對驗后網(wǎng)平差來說，是由觀測值改正數(shù)求出的單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的估值，具有隨機性。但對于設(shè)計的控制網(wǎng)來說，用于網(wǎng)的精度估算，可取有關(guān)規(guī)范規(guī)定的觀測中誤差或經(jīng)驗值。這時需要計算的主要是或，所用程序最好具有精度估算功能。否則，應(yīng)加適當(dāng)修改，以使其自動跳過用觀測值改正數(shù)計算的程序段，而直接由用戶將指定值賦給。如此計算出的即為所需結(jié)果。在這種情況下，運行程序開始時應(yīng)輸入由網(wǎng)圖量取的方向和邊長作為觀測值，各觀測值的精度也應(yīng)按設(shè)計值給

5、出。輸入方式按程序規(guī)定進行。圖2-82.3.2 三角鎖推算邊長的精度估算1.單三角形中推算邊長的中誤差 圖2-8中，設(shè)為三角形的起算邊，為推算邊，、為角度觀測值，于是由推算的函數(shù)式為 單三角形中有下列圖形條件 按角度平差時，條件方程式的系數(shù)為，對角度、的偏導(dǎo)數(shù)（各角以弧度為單位）如下，設(shè)角、為等精度觀測，中誤差為，代入（2-2）式（去掉后兩項）得于是將上式的結(jié)果代入（2-3）式，并注意上式在求導(dǎo)數(shù)時角度是以弧度為單位的，因而相應(yīng)的測角中誤差也應(yīng)化成以弧度為單位，即為，于是可得寫成相對中誤差的形式為 （2-4）過去經(jīng)常使用邊長對數(shù)的中誤差，為此可利用微分式式中，=0.434 29為常用對數(shù)的模，

6、將上式換成中誤差的形式有 （2-5）式中的是以對數(shù)第6位為單位的。于是（2-5）式又可改寫為 （2-6）將上式右端的乘以根號內(nèi)的和可得 （2-7）式中 （2-8）、的含義可以這樣理解，因為 （以秒為單位）當(dāng)=1"時左端為正弦對數(shù)每秒的增量，在對數(shù)表上即為相應(yīng)每1"的正弦對數(shù)表列值之差，簡稱為正弦對數(shù)每秒表差。若以對數(shù)第6位為單位，則上式可寫為由此可見，等于角的正弦對數(shù)每秒表差（以對數(shù)第6位為單位）。 若令 （2-9）則（2-7）式可寫為 （2-10）表2-5 （以對數(shù)第六位為單位）如果已知的不是測角中誤差，而是方向中誤差（有關(guān)方向和方向觀測的概念見第三章），則利用關(guān)系代入（

7、2-10）式可得或 （2-11）由（2-9）和（2-8）式可知與三角形的內(nèi)角有關(guān)，亦即與三角形的形狀有關(guān)。通常將稱為三角形的圖形權(quán)倒數(shù)，也就是以方向的權(quán)為單位權(quán)，三角形推算邊（一般是指精度最差的邊，即最弱邊）邊長對數(shù)的權(quán)倒數(shù)稱為三角形的圖形權(quán)倒數(shù)。關(guān)于圖形權(quán)倒數(shù)的這個定義不僅適用于三角形，也適用于下面講述的大地四邊形等其他圖形。 為了便于計算圖形權(quán)倒數(shù)，已將列成數(shù)表，以角度為引數(shù)查取（見表2-5）。2.三角形的最有利形狀 以上導(dǎo)出了三角形的圖形權(quán)倒數(shù)公式，并說明了它同三角形的形狀有關(guān)。由此，我們自然會提出什么樣的三角形圖形權(quán)倒數(shù)最小，亦即推算出的邊長精度最高的問題。圖2-9 為了便于研究，選取

8、（2-6）式進行分析。令。欲使最小，亦即最小，則應(yīng)使最小。表面看來這是個多元極值問題，但應(yīng)注意，三個角為三角形的內(nèi)角，此外由圖2-8，從已知邊推求任一邊或應(yīng)使它們精度相等，則應(yīng)使。于是考慮這兩個條件，可寫出因而使最小變成了一元極值問題。首先求出將上式代入表達(dá)式內(nèi)，得到為了求的極小值，將上式對取一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，則經(jīng)整理得方程因此 ，這個結(jié)果說明，以為底邊，角度的等腰三角形，對推算邊長的精度最為有利。 然而上述結(jié)果只是從推算邊長精度最高這一要求得出的。如果用這種等腰三角形布設(shè)三角鎖，則三角形的邊長將越來越短（見圖2-9），因而將無法擴展下去。這說明實際布網(wǎng)時不能只從精度考慮，而必須顧及各方面

9、的條件。若按正三角形布網(wǎng)，則不僅點位密度均勻而且正三角形的值（=4.4）與上述最有利圖形（=4.0）也比較接近。因此從兩個方面的要求綜合考慮，可以認(rèn)為正三角形是布網(wǎng)的理想圖形。3.三角形鎖中推算邊長的中誤差 圖2-10代表一段三角形單鎖，其中為起算邊，為傳距邊。在每個三角形中與傳距邊相對的角為傳距角，用和表示。三角形中另一個角用表示，稱為間隔角，與之相對的邊稱為間隔邊。 設(shè)三角形單鎖是按角度觀測和按角度平差的，也就是所有等角都是等精度獨立觀測值并按此參加平差?，F(xiàn)在導(dǎo)出計算的邊長對數(shù)中誤差的公式。圖2-10 由圖2-10可以看出是由依次經(jīng)過第1，第2，第個三角形推算而得的，由于在平差時只是將第個

10、三角形的角度閉合差平均分配在三個內(nèi)角、上，因此平差后只有這三個內(nèi)角是相關(guān)的，而不同三角形之間各角是互不相關(guān)的。于是每個三角形對推算邊長，所產(chǎn)生的誤差可以認(rèn)為是互相獨立的。因而根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播律可知，由起始邊通過各三角形推算最末邊的權(quán)倒數(shù)將是各三角形圖形權(quán)倒數(shù)之和，即 （2-12）4.大地四邊形和中點多邊形推算邊長的中誤差圖2-11 在兩相鄰三角形內(nèi)加測一條對角線所構(gòu)成的圖形，稱為大地四邊形，如圖2-11、2-12所示。這種圖形在工程控制網(wǎng)中應(yīng)用頗廣，例如橋梁三角網(wǎng)，通常就采用一個或幾個大地四邊形構(gòu)成。圖2-13所示的圖形為中點多邊形。大地四邊形和中 點多邊形都是構(gòu)成三角網(wǎng)的主要圖形。圖2-11、

11、2-12和2-13中的是已知邊，是推算邊。圖2-11和2-12兩種圖形中既含有若干圖形條件（前者有3個）又含有一個極條件因此不易推出邊長中誤差的普遍公式。圖2-12 對于大地四邊形，此處只給出兩種典型情況的圖形權(quán)倒數(shù)公式。一種是圖2-11 （a）所示的矩形大地四邊形和圖2-12（a）所示的菱形大地四邊形（由兩個等邊三角形加測對角線所構(gòu)成的圖形）。按方向平差時它們的圖形權(quán)倒數(shù)如下： 矩形大地四邊形 （2-13） 菱形大地四邊形 （2-14）式中（見圖2-11（b）和圖2-12（b）、（c）。 在圖2-12（a）中，如果不加測長對角線-，而按圖2-12（b）計算三角形單鎖的圖形權(quán)倒數(shù)，則得（見（2

12、-12）式）。與（2-14）式比較，可見加測長對角線后，前面的系數(shù)僅由1.33降低為1.25，這說明圖形強度增強很少。但長對角線給觀測帶來困難，如在平地還須增加覘標(biāo)高度。由此可見，在兩個近似等邊的三角形內(nèi)一般不宜加測長對角線。 雖然對于任意角度的大地四邊形計算圖形權(quán)倒數(shù)的普遍公式不易求得，但是在實際作業(yè)中所選出的大地四邊形通常總是介于矩形與菱形大地四邊形之間，因此可近似地?。?-13）式和（2-14）式中系數(shù)的平均值，作為計算任意角度大地四邊形圖形權(quán)倒數(shù)的系數(shù)，即 （2-15） 按上式計算大地四邊形權(quán)倒數(shù)時有兩個不同的推算路線（見圖2-11（b）和圖2-12 （c），應(yīng)取其中較小的。較小的那條

13、推算路線又稱最佳推算路線。對于中點多邊形，現(xiàn)給出三種圖形的最弱邊邊長對數(shù)的權(quán)倒數(shù)如下：中點五邊形 中點六邊形 中點七邊形 圖2-13可見采用中點五邊形或中點六邊形較為有利。實際作業(yè)時所選定的中點多邊形一般不符合等邊情況，因此計算權(quán)倒數(shù)時常采用近似公式 （2-16）用上式計算中點多邊形圖形權(quán)倒數(shù)，同樣存在兩條推算路線（見圖2-13（b）和圖2-13（c），應(yīng)取其中較小的。5.混合鎖段圖形權(quán)倒數(shù)的計算 實際作業(yè)時，由于受地形條件限制等原因，所選定的三角鎖段常常是由幾種圖形混合組成的三角鎖（見圖2-14）。估算這種鎖段的圖形權(quán)倒數(shù)時，先按下列各式計算出每種圖形的圖形權(quán)倒數(shù)：三角形 （2-17）大地四

14、邊形 （2-18）中點多邊形 （2-19）式中的根據(jù)傳距角由表2-5查出。但應(yīng)注意，對后兩種圖形應(yīng)取最佳推算路線求。然后取鎖段傳算路線上各圖形權(quán)倒數(shù)之和，即為推算邊長的圖形權(quán)倒數(shù) （2-20）對圖2-14所示的鎖段，推算邊長的圖形權(quán)倒數(shù)為圖2-14應(yīng)強調(diào)的是（2-17）（2-19）各式的單位權(quán)中誤差應(yīng)為方向中誤差，于是最弱邊邊長對數(shù)的中誤差為 （2-21）又由（2-5）式可知 （2-22） 以上的分析均未顧及起算邊邊長誤差的影響。然而三角網(wǎng)平差后推算邊長的精度不僅受水平角觀測誤差的影響，而且還受起算邊邊長誤差的影響。在獨立三角網(wǎng)中，這兩種誤差影響是彼此無關(guān)的、互相獨立的。設(shè)起算邊長相對中誤差為

15、，其邊長對數(shù)中誤差為，當(dāng)顧及起算邊長誤差的影響時，按誤差傳播定律，（2-21）式應(yīng)改寫為 （2-23）6.兩端有起算邊的三角形單鎖最弱傳距邊邊長的中誤差 建立控制網(wǎng)時，為了提高精度，常在三角鎖的兩端布設(shè)起算邊。當(dāng)鎖兩端有起算邊和時，最弱傳距邊大體上在鎖的中央，即（見圖2-15）。圖2-15 設(shè)該鎖按角度觀測和按角度平差，可設(shè)想把全鎖分為互相獨立、大體相等的兩個分段，分界邊為（見圖2-15）。由兩端起算邊和分別推算邊長，可以得到兩個互相獨立的數(shù)值和，然后取其帶權(quán)平均值。 （2-24）式中分別為、的權(quán)，則的權(quán)為。 設(shè)、分別為、的中誤差，單位權(quán)中誤差為，則有， （2-25）此外，由于權(quán)與誤差的平方成反比，故有 （2-26）已知的權(quán)，再由（2-25）式可寫出的中誤差的平方為將（2-26）代入上式，化簡后可得 （2-27）上式雖然是針對兩端有起算邊的三角形單鎖導(dǎo)出的，但是從另一方面看，它也是在已知兩個分量的中誤差的情況下求其加權(quán)平均值的中誤差的一般公式。 作為一個算例，現(xiàn)應(yīng)用上式估算國家一等鎖鎖段中最弱邊的中誤差。設(shè)圖2-15表示一等鎖的一個鎖段，兩端有起算邊。若兩個分段的三角形形狀及個數(shù)大致相