吉林大學(xué)高等數(shù)學(xué)-張曉寧-md5-2牛萊公式ppt課件

1、二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 三、牛頓三、牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式 一、引例一、引例 第二節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 微積分的基本公式 第五章 一、引例一、引例 在變速直線運(yùn)動(dòng)中, 已知位置函數(shù))(ts與速度函數(shù))(tv之間有關(guān)系:)()(tvts物體在時(shí)間間隔,21TT內(nèi)經(jīng)過的路程為)()(d)(1221TsTsttvTT這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 .)()(的原函數(shù)是這里tvts)(xfy xbaoy)(xxhx二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù), ,)(baCxf則變上限函數(shù)

2、xattfxd)()(證證:, ,bahxx則有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定理定理1. 假假設(shè)設(shè).,)(上的一個(gè)原函數(shù)在是baxf,)(baCxf積分下限函數(shù)也容易求導(dǎo)22sinsinsin2 sinsinsin1sinsinsin2xaxabxxxdtdtxdxdtdtxxdxdtdtxdxdtdtxxdxx 闡明闡明:1) 定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2) 變限積分求導(dǎo):bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxat

3、tfx)()(xxf同時(shí)為通過原函數(shù)計(jì)算定積分開辟了道路 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx非負(fù)函數(shù)定積分等于零202sin0sin0sin0?0aababaxdxxdxxdxabx dxab)sin(2cosxex例例1. 求求0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e21闡明 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例2. 確定常數(shù) a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax時(shí),0c. 0 b00

4、原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c對(duì)t積分時(shí)，x視為常數(shù)( )( )( )( )( )( )( )( )xxaaxxaaxxxaaakf t dtkf t dtxf t dtxf t dtddxf t dtxf t dtf t dtxf xdxdx ttf txfxd)()(0例例3. ,0)(,),0)(xfxf且內(nèi)連續(xù)在設(shè)證明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) . 證證:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()

5、(0)(tx0.)0)(內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，（在xF只要證0)( xF機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(x三、牛頓三、牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式上的一個(gè)原在是連續(xù)函數(shù)設(shè),)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba( 牛頓 - 萊布尼茲公式) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 證證: 根據(jù)定理 1,)(d)(的一個(gè)原函數(shù)是xfxxfxa故CxxfxFxad)()(,ax 令, )(aFC 得因此)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得)()(d)(aFbFxxfba記作)(xFab)(xFab定理定理2.函數(shù) , 那么例例4.

6、計(jì)算計(jì)算.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213) 1arctan(3arctan3127例例5. 計(jì)算正弦曲線計(jì)算正弦曲線軸所圍成上與在xxy, 0sin的面積 . 解解:0dsinxxAxcos0112)4(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 yoxxysin例例6. 汽車以每小時(shí)汽車以每小時(shí) 36 km 的速度行駛的速度行駛 ,速停車,2sm5a解解: 設(shè)開始剎車時(shí)刻為設(shè)開始剎車時(shí)刻為,0t則此時(shí)刻汽車速度0v)(10sm)(sm3600100036剎車后汽車減速行駛 , 其速度為tavtv0)(t510當(dāng)汽車停住時(shí),0)(tv即,0510 t得(s)2t故在這段時(shí)間內(nèi)汽

7、車所走的距離為20d)(ttvs20d)510(tt22510tt (m)1002)(36hmk剎車, 問從開始剎到某處需要減設(shè)汽車以等加速度機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 車到停車走了多少距離? 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié), )()(, ,)(xfxFbaCxf且設(shè)則有1. 微積分基本公式xxfbad)(積分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛頓 萊布尼茲公式2. 變限積分求導(dǎo)公式 公式 目錄 上頁 下頁 前往 終了 3234)(2xxxf備用題備用題解：解：1. 設(shè),d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf定積分為常數(shù) ,d)(10axxf設(shè)bxxf20d)(abxxxf2)(2, 那么10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b故應(yīng)用積分法定此常數(shù) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2.求解：解：20dsin2sinxxnxIn的遞推公式(n為正整數(shù)) . 由于,dsin) 1(2sin20