九年級(jí)下冊(cè)人教版數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、第二十二單元二次函數(shù)一、二次函數(shù)概念：1 .二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxe(a,b,c是常數(shù)，a0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類(lèi)似，二次項(xiàng)系數(shù)a0,而b,c可以為零-二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).2 .二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征：(1)等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量X的二次式，x的最高次數(shù)是2.(2)a,b,c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).二、二次函數(shù)的基本形式2二次函數(shù)的基本形式y(tǒng)axhk的性質(zhì)：a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸，性質(zhì)a0向上h,kX=hxh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減小；xh時(shí)，y有最小值k.

2、a0向下h,kX=hxh時(shí)，y隨x的增大而減?。粁h時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值k.三、二次函數(shù)圖象的平移1 .平移步驟：2方法一：(1)將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h,k;保持拋物線y ax?的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h, k處，具體平移方法如下:2 .平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”方法二：(l)yax2bxc沿y軸平移：向上(下)平移m個(gè)單位，yax2bxc變成22yaxbxcm(或yaxbxcm)（2）y ax2 bx c沿軸平移：向左（右）平移m個(gè)單位, y ax2 bx c變

3、成y a(x m)2 b(xm) c (或 y a(x m)2 b(x m) C)四、二次函數(shù)yax2 bx c的比較從解析式上看,ax? bx c是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前者，即2b 4acb ，其中b，cb2a 4a ,2a 4a五、二次函數(shù)ax2 bx c圖象的畫(huà)法五點(diǎn)繪圖法：利用配方物確遜讖般我4y選耳幽y的的廢電頂點(diǎn)式以及為，c關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸故頂點(diǎn)坐標(biāo)X轅將空對(duì)柳輔南與x倒筋翩的苗用照榭組關(guān)于對(duì)稱(chēng)觸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)）x側(cè)，五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).交點(diǎn)為,o，畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)，與六二次函數(shù)yax2bxc的性質(zhì)1

4、 . a 0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為舟，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b 4ac b22a 4ax 一時(shí)，y隨x的增大而減小;2a一時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x 時(shí)，2a2ay有最小值色*4a2.當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x2氏，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b4T- 2a 4a時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)xw時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x舟時(shí)'y有最大值4acb24a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1 .一般式：yax2bxe（a,b,c為常數(shù)，aO）；2 .頂點(diǎn)式：ya（xh）2k（a,h,k為常數(shù)，aO）Xi）（x X2）（ aO, Xi ,X2是拋物線與X軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）3 .兩根式：ya（x注意：任何二次函

5、數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式.，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b24ac0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示-二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)yax2bxe中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0-a決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向，a的正負(fù)決定開(kāi)口方向，a的大小決定開(kāi)口的大小.在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下, ab的符號(hào)的判定：對(duì)稱(chēng)軸xb決定了拋物線的對(duì)稱(chēng)軸.0,概旦在y軸左邊則ab。，在y軸的右側(cè)則ab2a括的說(shuō)就是“左同右異”3.常數(shù)項(xiàng)cc決定了拋物線與V釉交點(diǎn)的位置.總之，只要a,b,c都確定，那么

6、這條拋物線就是唯一確定的.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡(jiǎn)便.一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：1 .已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2 .已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸或最大（?。┲担话氵x用頂點(diǎn)式；3 .已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4 .已知拋物線卜縱坐標(biāo)相同的兩占，常選用T而占式九、二次函數(shù)與一元二次方程：x軸交點(diǎn)情況）：2ax bx c當(dāng)函數(shù)值v 0時(shí)的特殊情況1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與一兀二次方程axbxc0是二次函數(shù)y圖象與x軸的

7、交點(diǎn)個(gè)數(shù)：X2），其中的X, X2是A/h2 4ac.當(dāng)0b24ac0時(shí),圖象與x軸交于兩點(diǎn)Axi,0,Bx2,0(xi元二次方程ax2bxc0a0的兩根.這兩點(diǎn)間的距離ABx，x.Pl時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)。時(shí)，圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).1'當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x釉的上方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0;2當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0.2.一次項(xiàng)系數(shù)b2 .拋物線yax2bxe的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c);3 .二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；求二次函數(shù)的最大(小)值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般

8、式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxe中a，b，c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a，b，c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；(4)二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱(chēng)性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)1、二次根式式子Va(aO)叫做二次根式，二次根式必須滿(mǎn)足：含有二次根號(hào)"J”;被開(kāi)方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。2、最簡(jiǎn)二次根式若二次根式滿(mǎn)足：被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式?；胃綖樽詈?jiǎn)二次根式的方法和步驟：(1)如果被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)(包括小數(shù))或分式，

9、先利用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)把它寫(xiě)成分式的形式，然后利用分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)。(2)如果被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式開(kāi)出來(lái)。3、同類(lèi)二次根式幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式。4、二次根式的性質(zhì)廠a(a0)痔aYL,a(a0)(3)abb(a0,b0)第一單元二次根式(4)、aa (a 0,bb寸b0)5、二次根式混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里的(或先去括號(hào))。第二單元一元二次方程元二次方程1、一元二次方程含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)

10、是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式ax2bxc0(a0)，它的特征是：等式左邊人一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中ax?叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。二、一元二次方程的解法1、直接開(kāi)平方法利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法。直接開(kāi)平方法適用于解形如(xa)2b的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，xa是b的平方根，當(dāng)b0時(shí)，xab，xa,b，當(dāng)bvO時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。2、配方法配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。

11、配方法的理論根據(jù)是完全平方公式a22abb2(ab)2，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有222x2bxb(xb)o3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式：,£xb-r4ac0)2a4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常用的方法。三、一元二次方程根的判別式根的判別式一元二次方程ax2bxc0(a0)中，b?4ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即b24ac當(dāng)4>0時(shí)，一元二次方程

12、有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根；當(dāng)V。時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果方程ax2bxc0(a0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是洛，x2，那么論x2一,aX/2.。也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程a的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。第三單元旋轉(zhuǎn)一、旋轉(zhuǎn)1、定義把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，其中O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。2、，性質(zhì)(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。二、中心對(duì)稱(chēng)1、定義把一個(gè)圖形繞

13、著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180o，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來(lái)的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心。2、，性質(zhì)（1）關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形。（2）關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且被對(duì)稱(chēng)中心平（3）關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。3、判定如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。4、中心對(duì)稱(chēng)圖形把一個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180o，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來(lái)的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)店就是它的對(duì)稱(chēng)中心?？键c(diǎn)五、坐標(biāo)系中對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特征（3分）1、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

14、的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，它們的坐標(biāo)的符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P'（-x）2、關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，它們的坐標(biāo)中，x相等，y的符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P'（X、-V3、關(guān)于y觸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，它們的坐標(biāo)中，y相等，X的符號(hào)相反，即點(diǎn)P（X，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P'（x，y）第四單元圓的相關(guān)概念的定義在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所的幾何表示以點(diǎn)。為圓心的圓記作O,讀作“圓。二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。(如圖中

15、的AB(2)直徑經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。(如途中的CD直徑等于半徑的2倍。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。(4)弧、優(yōu)弧、劣弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧?；∮梅?hào)表示，以A，B為端點(diǎn)的弧記作，讀作“圓弧AB或“弧AB'大于半圓的弧叫做優(yōu)弧(多用三個(gè)字母表示)；小于半圓的弧叫做劣弧(多用兩個(gè)字母表示三、垂徑定理及其推論垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。推論1:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。(2)弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的

16、另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。垂徑定理及其推論可概括為：垂直于弦直徑<平分弦知二推三平分弦所對(duì)的優(yōu)弧I平分弦所對(duì)的劣弧J四、圓的對(duì)稱(chēng)性1、圓的軸對(duì)稱(chēng)性圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸。2、圓的中心對(duì)稱(chēng)性圓是以心為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形。五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理1、圓心角頂點(diǎn)在圓心的角叫做心角2、弦心距從圓心到弦的距離叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦想等，所對(duì)的弦的弦心距相等。推論：在同或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所

17、對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。周角定理及其推論1、圓周角頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。2、圓周角定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。推論1 ：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。推論2:半圓(或直徑)所對(duì)的周角是直角；90%勺圓周角所對(duì)的弦是直徑。推論3:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。七、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)的半徑是r,點(diǎn)P到圓心。的距離為d,則有：dvr點(diǎn)P在內(nèi)；d=r 點(diǎn) P 在。0士;d>r點(diǎn)P在。外。八、過(guò)三點(diǎn)的1、過(guò)三點(diǎn)的圓不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。2、三角形的外接圓經(jīng)過(guò)三角形的

18、三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓。3、三角形的外心三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它叫做這個(gè)三角形的外心。4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)(四點(diǎn)共圓的判定條件)內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)。九、反證法先假設(shè)命題中的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過(guò)推理，引出矛盾，判定所做的假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。十、直線與的位置關(guān)系直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下:(1)相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線，公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)；(2)相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，(3)相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離如果的半徑

19、為r, 直線I與。0相交 直線I與。0相切 直線I與。0相離圓心0到直線I的距離為d,那么:dvr；d=r；d>r；4八一、切線的判定和性質(zhì)1、切線的判定定理經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。2、切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。十二、切線長(zhǎng)定理1、切線長(zhǎng)在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。2、切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。十三、三角形的內(nèi)切1、三角形的內(nèi)切圓與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。2、三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心。十四、的位置關(guān)系1、圓和圓的位置關(guān)系如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相離，相離分為外離和內(nèi)含兩種。如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相切，相切分為外切和內(nèi)切兩種。如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)5那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相交。2、圓心距兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定設(shè)兩的半徑分別為R和r,圓心距為d,那么兩圓外離d>R+r兩