隱函數(shù)存在定理在幾何方面的應(yīng)用北工大ppt課件

1、v空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 v曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面1.1.設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線C C的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為: :它們?cè)谒鼈冊(cè)?可導(dǎo)可導(dǎo), ,且且, It 0)()()(222 tztytx取定曲線上一點(diǎn)取定曲線上一點(diǎn)).(),(),(),(00000000tztytxPzyxP ),(0001zzyyxxP過(guò)曲線過(guò)曲線C C上兩點(diǎn)的割線方程為上兩點(diǎn)的割線方程為10,PP.),(),(),(Ittzztyytxx I).(),(),(0001ttzttyttxP zzzyyyxxx 000或或tzzzty

2、yytxxx 000當(dāng)當(dāng) 沿曲線沿曲線C C 時(shí)時(shí), ,即即 割線的割線的極限位置就是曲線在點(diǎn)極限位置就是曲線在點(diǎn) 的切線的切線.1P0P0 t10PP0P則切線方程為則切線方程為.)( )()( )()( )(000000tztzztytyytxtxx 切線的方向向量切線的方向向量)(),(),(000tztytxT 稱(chēng)為曲線稱(chēng)為曲線C C在點(diǎn)的切向量。在點(diǎn)的切向量。0P一個(gè)平面通過(guò)空間曲線一個(gè)平面通過(guò)空間曲線C C上的一點(diǎn)上的一點(diǎn)),(0000zyxP且與點(diǎn)的切線垂直，稱(chēng)此平面是空間且與點(diǎn)的切線垂直，稱(chēng)此平面是空間0P曲線曲線C C在點(diǎn)的法平面。在點(diǎn)的法平面。0P在法平面上任取一點(diǎn)在法平面

3、上任取一點(diǎn) , ,那那么么),(0000zzyyxxPP 與切向量垂直即與切向量垂直即0),()( ),( ),( (000000 zzyyxxtztytx),(zyxP法平面方程法平面方程法平面方程是法平面方程是0)()()(000000 zztzyytyxxtx或或0)()()()()()(000000 tzztztyytytxxtx例例1求螺旋線求螺旋線btztaytax ,sin,cos在在 處的切線方程與法平面方程處的切線方程與法平面方程30 t若空間曲線若空間曲線C C是由函數(shù)方程組是由函數(shù)方程組 0),(0),(21zyxFzyxF),(000zyxP所確定所確定若方程組在曲線若

4、方程組在曲線C C上一定點(diǎn)上一定點(diǎn) 的某的某鄰域滿(mǎn)足隱函數(shù)組定理的條件，即鄰域滿(mǎn)足隱函數(shù)組定理的條件，即21,FF對(duì)對(duì)x,y,zx,y,z的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)P P的鄰域內(nèi)連續(xù)，的鄰域內(nèi)連續(xù)，PPpxzFFzyFFyxFF),(),(,),(),(,),(),(212121 不妨設(shè)不妨設(shè), 0),(),(21 PzyFF且且不同時(shí)為零，不同時(shí)為零，).(),(xzzxyy 曲線曲線C C的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為).(),(,xzzxyyxx 切向量切向量)., 1(dxdzdxdyT 利用利用 分別對(duì)求偏導(dǎo)，求出分別對(duì)求偏導(dǎo)，求出21,FFx.,dxdzdxdy,00222111 dxdz

5、zFdxdyyFxFdxdzzFdxdyyFxF則在點(diǎn)某鄰域，曲線則在點(diǎn)某鄰域，曲線C C可表示為可表示為0 x解得解得.),(),(),(),(,),(),(),(),(21212121zyFFyxFFdxdzzyFFxzFFdxdy 從而可得曲線在點(diǎn)從而可得曲線在點(diǎn) 的切線方程：的切線方程：PPPPyxFFzzxzFFyyzyFFxx),(),(),(),(),(),(210210210 法平面方程法平面方程0)(),(),()(),(),()(),(),(021021021 zzyxFFyyxzFFxxzyFFPPP例例2 2求曲線求曲線 在點(diǎn)在點(diǎn)0, 6222 zyxzyx法平面方程：

6、法平面方程： 切線方程：切線方程：610261 zyx解解., 622221zyxFzyxF ,2,2,2111zzFyyFxxF , 1, 1, 1222 zFyFxF6),(),(, 0),(),(, 6),(),(212121 PPPyxFFxzFFzyFF處的切線及法平面方程。處的切線及法平面方程。. 0 zx)1 , 2, 1( 法向量法向量 Dyxyxfz ),(),(),(000yxz 1.1.設(shè)曲面設(shè)曲面S S的方程是的方程是 , , ),(000zyxM)1),(),(0000 yxfyxfnyx則它的在點(diǎn)則它的在點(diǎn)二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線它在點(diǎn)它在點(diǎn) 可

7、微可微,設(shè)曲面設(shè)曲面S S的方程是在曲面的方程是在曲面S S. 0),( zyxF上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) . .),(000zyxM),(zyxF滿(mǎn)足函數(shù)確定的隱函數(shù)的條件，曲面滿(mǎn)足函數(shù)確定的隱函數(shù)的條件，曲面S S可表為可表為),(yxfz 則曲面在點(diǎn)則曲面在點(diǎn)M M的切平面方程是的切平面方程是. 0)()()(000 zzzFyyyFxxxFMMM則曲面則曲面S S在點(diǎn)在點(diǎn)M M的法線方程是的法線方程是.)()()(000MMMzFzzyFyyxFxx 假設(shè)假設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn)M例例3 3 求曲面求曲面 上點(diǎn)上點(diǎn)32323232azyx ),(000zyxP的切平面的方程與法線方程的切平面的方程與

8、法線方程. .解解.),(32323232azyxzyxF .32,32,32313231 zFyFxFzyx切平面方程與法線方程分別為切平面方程與法線方程分別為0)()()(031003200310 zzzyyyxxx310031003100 zzzyyyxxx與與 設(shè)曲面設(shè)曲面S S的方程是的方程是),(),(),(vuzzvuyyvuxx .),(Dvu 取定取定 ,),(00DvuQ 對(duì)應(yīng)曲面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲面上的點(diǎn)).,(000zyxM若函數(shù)組若函數(shù)組 滿(mǎn)足滿(mǎn)足11.1定理定理),(),(vuyyvuxx 則在點(diǎn)則在點(diǎn) 的鄰域存在連續(xù)偏的鄰域存在連續(xù)偏),(00yx導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)組導(dǎo)數(shù)的反

9、函數(shù)組),(),(yxvvyxuu 代入代入 有有).,(),(yxvyxuzz 曲面曲面S S在點(diǎn)在點(diǎn)M M的法向量為的法向量為 ).1),(,(0000 yxzyxznyxz的推論，的推論， .,vyyzvxxzvzuyyzuxxzuz對(duì)對(duì)u,vu,v求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)解方程組，得解方程組，得),(),(),(),(,),(),(),(),(vuyxvuxzyzvuyxvuzyxz 它的在點(diǎn)的切平面方程是它的在點(diǎn)的切平面方程是),(000zyxM0)(),(),()(),(),()(),(),(000 zzvuyxyyvuxzxxvuzyQQQ法線方程是法線方程是它在點(diǎn)它在點(diǎn)),(000zyxM.),(),(),(),(),(),(000QQQvuyxzzvuxzyyvuzyxx 例例4求曲面求曲面3322,vuzvuyvux )2 , 0(Q在點(diǎn)在點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的曲面上點(diǎn)的切平面對(duì)應(yīng)的曲面上點(diǎn)的切平面方程與法線方程方程與法線方程練習(xí)練習(xí): 1 求球面求球面 與錐面與錐面50222 zyx222zyx 所截出的曲線的點(diǎn)所截出的曲線的點(diǎn) )5 , 4 , 3(處的切線與法平面方程處的切線與法平面方程. 2. 求橢球面求橢球面 在在 632222 zy