向量基礎(chǔ)知識(shí)匯總

1、向量基礎(chǔ)知識(shí)梳理1向量：既有_，又有_的量叫向量2向量的幾何表示：以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量記作_3向量的有關(guān)概念：（1）零向量：長度為_的向量叫做零向量，記作_（2）單位向量：長度為_的向量叫做單位向量（3）相等向量：_且_的向量叫做相等向量（4）平行向量（共線向量）：方向_的_向量叫做平行向量，也叫共線向量記法：向量a平行于b，記作_規(guī)定：零向量與_平行1向量的加法法則（1）三角形法則如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作a，b，則向量_叫做a與b的和（或和向量），記作_，即ab_上述求兩個(gè)向量和的作圖法則，叫做向量求和的三角形法則對(duì)于零向量與任一向量a的和有a0_（2）平行

2、四邊形法則如圖所示，已知兩個(gè)不共線向量a，b，作a，b，則O、A、B三點(diǎn)不共線，以_，_為鄰邊作_，則對(duì)角線上的向量_ab，這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量求和的平行四邊形法則2向量加法的運(yùn)算律（1）交換律：ab_（2）結(jié)合律：（ab）c_3向量的減法（1）定義：aba（b），即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的_（2）作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作a，b，則向量ab_如圖所示（3）幾何意義：如果把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為_，被減向量的終點(diǎn)為_的向量例如：_1向量數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)_，這種運(yùn)算叫做向量的_，記作_，其長度與方向規(guī)定如下：（1）|a|_（2）a （a

3、0）的方向；特別地，當(dāng)0或a0時(shí)，0a_或0_2向量數(shù)乘的運(yùn)算律（1）（a）_（2）（）a_（3）（ab）_特別地，有（）a_；（ab）_3共線向量定理向量a （a0）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使_4向量的線性運(yùn)算向量的_、_、_運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a、b，以及任意實(shí)數(shù)、1、2，恒有（1a±2b）_1平面向量基本定理（1）定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)_向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的_向量a，_實(shí)數(shù)1，2，使a_（2）基底：把_的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)_向量的一組基底2. 兩向量的夾角與垂直（1）夾角：已知兩個(gè)_a和b，作a，b，則_ （0&#

4、176;180°），叫做向量a與b的夾角范圍：向量a與b的夾角的范圍是_當(dāng)0°時(shí)，a與b_.當(dāng)180°時(shí)，a與b_.（2）垂直：如果a與b的夾角是_，則稱a與b垂直，記作_3平面向量的坐標(biāo)表示（1）向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)_的向量，叫作把向量正交分解（2）向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)_i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使得a_，則_叫作向量a的坐標(biāo)，_叫作向量的坐標(biāo)表示（3）向量坐標(biāo)的求法：在平面直角坐標(biāo)系中，若A（x，y），則_，若A（x1，y1），B（x2，y2），則_1平面向量的

5、坐標(biāo)運(yùn)算（1）若a（x1，y1），b（x2，y2），則ab_，即兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（2）若a（x1，y1），b（x2，y2），則ab_，即兩個(gè)向量差的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差（3）若a（x，y），R，則a_，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)2兩向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a（x1，y1），b（x2，y2）（1）當(dāng)ab時(shí)，有_（2）當(dāng)ab且x2y20時(shí)，有_即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例3若，則P與P1、P2三點(diǎn)共線當(dāng)_時(shí)，P位于線段P1P2的內(nèi)部，特別地1時(shí)，P為線段P1P2的中點(diǎn)；當(dāng)_時(shí)，P位于線段P1P2的延長線上；當(dāng)_時(shí)，P位于線段P1P2的反向延

6、長線上1平面向量數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量_叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b，即a·b|a|b|cos ，其中是a與b的夾角（2）規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_（3）投影：設(shè)兩個(gè)非零向量a、b的夾角為，則向量a在b方向的投影是_，向量b在a方向上的投影是_2數(shù)量積的幾何意義a·b的幾何意義是數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影_的乘積3向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）a·b_（交換律）；（2）（a）·b_（結(jié)合律）；（3）（ab）·c_（分配律）1平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示若a（x1，y1），b（x2，y2），則a·b_即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于_2兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)兩個(gè)非零向量a（x1，y1），b（x2，y2），則ab_3平面向量的模（1）向量模公式：設(shè)a（x1，y1），則|a|_（2）兩點(diǎn)間距離公式：若A（x1，y1），B（x2，y2），則|_4向量的夾角公式設(shè)兩非零向量a（x1，y1），b（x2，y2），a與b的夾角為，則cos _向量方法在幾何中的應(yīng)用（1）證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行（共線）的等價(jià)條件：ab（b0）_（2）證明垂直問題，如