全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽二試模擬訓(xùn)練題(96)

1、-1 -加試模擬訓(xùn)練題(96)1、在四邊形ABCDKABDBCDABC的面積比是 3 ： 4 ： 1，點(diǎn)M N分別在AC CD上滿足AM：AC=CN：CD并且B、M N三點(diǎn)共線.求證：M與N分別是AC與CD的中點(diǎn).證明設(shè)AC BD交于點(diǎn)E.由AM：AOCN：CD故AM：MCCN：ND令CN：ND=r(r0), 則AM：MCr.由SABC=3SABC, SBC=4SABC,即SABD:SBCD=3 : 4.從而AE：EC：AC=3 : 4 : 7.SACD：$B(=6 ： 1,故DE：EB=6 : 1, DB：BE=7:1.r3AM AC=r: (r+1)，即AM：而AC AECr34r31Eh

2、=( -刁)A AC M AC,r+1 77(r+1)r+14r3宀“ CN DB EM小、EM：MG.由Menelaus疋理，知肯 =1,代入得7ND BE I VIC4r 3r- 7 -=1，即 4r2 3r 1=0,這個(gè)方程有惟一的正根r=1 .故CN：N=1，就是N為CN中點(diǎn)，M為AC中點(diǎn).2. n 為一正整數(shù)，試確定有多少個(gè)實(shí)數(shù)x，滿足 Kxvn 和 x3 x3= (x x )3.其中x表示不超過(guò) x 的最大整數(shù).【題說(shuō)】1992 年澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克題2.【解】記x= a, x x=r，則有 1 a n 1, 0 rv1,且333(a+r) (a+r) =r即 a3+3a2r+3

3、ar2= (a+r)3所以 a3+3a2r+3ar2是整數(shù)，且 a3 n=3ar +3a r+a推出 rv1.在 n=a3時(shí)，顯然 r=0 .所以 a 確定時(shí)，r 有(a+1)3 a3 1 個(gè)不 同的值滿足 Owrv1 .從而 x=a+r 的個(gè)數(shù)為(a+1)3 a3 1 .故所求 x 的個(gè)數(shù) 為nlCa + 1) -a3-l=n3-l-_1) =t?_n4=1【解】 一個(gè)與圖中折線 ABC 有公共點(diǎn)的三角形，一條邊長(zhǎng)不大于1,-2 -3.從 nxn 正方形剪去一個(gè) 1x1 的角格，求其余的圖形分成等積三角形的最少個(gè)數(shù).【題說(shuō)】 第十六屆（1990 年）全俄數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題6.【解】 一個(gè)與

4、圖中折線 ABC 有公共點(diǎn)的三角形，一條邊長(zhǎng)不大于1,-3 -這邊上的髙不大于“丄故其面積不大于+G-i) 因此缺角正方形至少分成n X n - 1扣-1)圖中的分法表明缺角正方形可以分成2(n + 1)個(gè)等積三角形.4.求方程 2w+2x+2y+2z=20.625 的滿足條件 wx yz 的整數(shù)解.【題說(shuō)】1979 年湖南省賽二試題 2.【解】方程兩端同乘 8，得2w+3+2x+3+2y+3+2z+3=165(1)165 為奇數(shù)，故必有 z+3=0,即 z= 3.(1) 的兩端同減去 1，再除以 4,得2w+1+2x+1+2y+1=41(2)同理 y= 1(2) 的兩端同減去 1，再除以 8,得w-2x-22 +2 =5于是 x=2 , w=4故所求的解為w=4, x=2, y= 1, z= 3個(gè)等積的三