高等數(shù)學 第四章 微分學的應(yīng)用

1、第四章 微分學的應(yīng)用一、 本章提要1. 基本概念 未定型,極值點,駐點,尖點,可能極值點,極值,最值,曲率,上凹,下凹,拐點,漸近線,水平漸近線,鉛直漸近線2. 基本方法 用洛必達法則求未定型的極限； 函數(shù)單調(diào)性的判定； 單調(diào)區(qū)間的求法； 可能極值點的求法與極大值（或極小值）的求法； 連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值及最小值的求法； 求實際問題的最大（或最小）值的方法； 曲線的凹向及拐點的求法； 曲線的漸近線的求法； 一元函數(shù)圖像的描繪方法3. 定理 柯西中值定理,拉格朗日中值定理,羅爾中值定理, 洛必達法則,函數(shù)單調(diào)性的判定定理,極值的必要條件,極值的第一充分條件,極值的第二充分條件,曲線凹向的判

2、別法則二、 要點解析問題1 如何根據(jù)曲線的幾何形狀及導數(shù)的幾何意義記憶曲線凹向的判別法則？解析 掌握曲線的凹向判定準則關(guān)鍵是要掌握二階導數(shù) 的符號與曲線凹向的具體聯(lián)系為此,可先在紙上畫一條有確定凹向的曲線弧,比如下凹曲線?。ㄈ缬覉D），然后,在其上作兩條切線當x 逐漸增大時,觀察其上各點切線斜率的變化規(guī)律不難發(fā)現(xiàn),當時,有 ,即一階導數(shù)單減,所以,即這就是說,若曲線弧是下凹曲線弧,則有按上述方法,就不會弄錯的符號與曲線凹向的對應(yīng)關(guān)系 問題2 在函數(shù)單調(diào)性判別定理中,定理的假設(shè)條件除了要求在開區(qū)間內(nèi)有確定符號（大于零或小于零）外,還特別要求在閉區(qū)間上連續(xù),它與定理結(jié)論中的函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)（單增或

3、單減）有何聯(lián)系？在利用該定理考慮有關(guān)問題時,將閉區(qū)間一律寫成開區(qū)間行嗎？ 解析 對于該定理, 在開區(qū)間內(nèi)存在并有確定的符號是不容易被忽視的容易忽視的是的單調(diào)區(qū)間究竟是,或中哪一種形式？這從該定理的證明過程中可知,在上述四個區(qū)間中,哪一個區(qū)間上連續(xù),則就是在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)（單增或單減）在利用該定理求解問題時,應(yīng)特別注意定理的條件與結(jié)論的對應(yīng),不能忽視在區(qū)間的端點處的性態(tài)請注意例1是如何應(yīng)用單調(diào)性判別定理證明不等式的 例1 證明當時，證 令，則在上連續(xù),且在內(nèi)，由單調(diào)性判斷定理知,在上單調(diào)增加,所以,當時,有，即，所以時,有在本例的證明過程中,有利于單增函數(shù)最本質(zhì)的屬性：當時,應(yīng)用此性質(zhì)時,要特別

4、注意,必須屬于的單增區(qū)間.因此,在上面的證明過程中,所斷定的的單調(diào)增區(qū)間包含點是必要的三.例題精解例2求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解 因為在其定義域內(nèi)連續(xù)又因為當時,有 令=0,得的單調(diào)區(qū)間的可能分界點:,用它們將的定義域分為幾個小區(qū)間：,列表討論在各個小區(qū)間內(nèi)的符號,并判定函數(shù)在每個小區(qū)間內(nèi)的增減性如下：+注：表中用“”表示單減,用“”表示單增.因此的單增區(qū)間有和,的單減區(qū)間有和例3已知在x處有極值12,試確定常系數(shù)a與b解 因為 ,所以 ，因為為極值點,所以,即 ， 由,得 ， 解由與組成的方程組，得例 4由曲線 ,軸和直線圍成一曲邊三角形，在曲邊上求一點,使過此點的切線與軸和直線圍成的三角形面積最

5、大,并求出其最大面積 解 曲線上點處的切線斜率，設(shè)為曲線上點處的切線上任一點之坐標，于是曲線上點處的切線方程為 ，即 將代入式,得切線與直線的交點的縱坐標為 ，將代入式,得切線與x 軸的交點的橫坐標為 ，于是,的面積為 ， 所以 ， ， 令，解得,由于超出了范圍，故舍去因為在內(nèi)有惟一的駐點,且，即當時，取得極大值，所以， 是最大值點其最大面積 ， 因此，所求切點的坐標為四、練習題1.判斷正誤 若是可導函數(shù) 的一個極值點,則必有； ( )解析 函數(shù)的極值點為駐點或尖點，若是可導函數(shù)的極值點，則必為駐點，即必有 若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,則曲線必是上凹的或必是下凹的； ( × )解析 函

6、數(shù)在某區(qū)間單調(diào)不是函數(shù)曲線上凹或下凹的必要條件如函數(shù)，在開區(qū)間上是單調(diào)增加的，但在內(nèi)是下凹的，在內(nèi)是上凹的 若，則 必為曲線的拐點； ( × )解析 由定義，曲線的拐點是曲線上凹與下凹的分界點如函數(shù)，則 ，顯然 ，所以曲線是上凹的，無拐點；但，此時點就不是曲線的拐點因此二階導數(shù)為零的點不一定是曲線的拐點 若在上連續(xù),且在內(nèi),則為在上的最大值； ( )解析 在內(nèi)，可知在上單調(diào)減少，又因為在上連續(xù)，所以在處取得最大值，即為在上的最大值2. 選擇題在閉區(qū)間上的最大值為（ C ）(A) ; (B) ; (C) ; （）.解 因為，在上單調(diào)增加，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為 是的圖形在處有拐點

7、的（ D ）(A) 充分條件； (B)必要條件； (C) 充分必要條件； （）以上說法都不對解析 由定義，拐點為曲線上凹和下凹的分界點，所以拐點兩側(cè)必然異號，拐點的橫坐標應(yīng)是或不存在的點，所以不是函數(shù)的圖形在處有拐點的必要條件另一方面，也不是函數(shù)的圖形在處有拐點的充分條件，如函數(shù)，則，顯然函數(shù)在上凹，無拐點，但，所以不是的圖形在有拐點的充分條件 曲線 ( B )(A) 有水平漸近線無垂直漸近線； （B）無水平漸近線有垂直漸近線；(C) 既無水平漸近線又無垂直漸近線；（D）既有水平漸近線又有垂直漸近線解 由于，所以曲線有垂直漸近線為；又由，所以曲線無水平漸近線 的極值點的個數(shù)是 ( C ) （A

8、） 個； （B） 個； （C） 個； （D） 個解 ，當時無定義，所以為函數(shù)的尖點，令，得為函數(shù)的駐點，01不存在0極大值極小值所以函數(shù)有2個極值點3. 填空題 函數(shù)的可能極值點有 駐點 和 尖點 在上滿足羅爾中值定理的條件, 當=時,解 由題意在上連續(xù)，在上可導，且由羅爾中值定理，在上至少有一點，使得令，有 ，因在上，所以取 函數(shù) 的水平漸近線為解 ，所以函數(shù)的水平漸近線為 曲線的拐點為解 ，令，解得 ，當時，當時，所以為曲線拐點的橫坐標，即曲線的拐點為4. 解答題 過平面上的點引一直線,使它在兩坐標軸上的截距都為正數(shù)且乘積最小,求此直線方程解 設(shè)直線在兩坐標軸上的截距分別為則直線方程為 ，

9、又知直線過點，則 ，可得 由題意，直線在兩坐標軸上的截距乘積最小，設(shè)，求最小值，令，解得（不符合題意，舍去），（惟一）當時，單調(diào)減少，當時，單調(diào)增加，所以在處取得極小值，因駐點惟一，此極小值也為函數(shù)的最小值，所以，所求直線方程為 ，即 求曲線 的漸近線解 ，所以曲線有垂直漸近線 ，所以曲線有水平漸近線 設(shè)為常數(shù)，問取何值時，取極小值？解 ，令，得駐點 ，而 ，所以函數(shù)在點處取極小值，即時，取極小值 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解 ，令，得駐點 和，所以，函數(shù)在上單調(diào)減少，在上單調(diào)增加 證明：當 時,；證一 令，則， ，所以在上連續(xù)且單調(diào)增加，則，所以在上連續(xù)且單調(diào)增加，則，所以在上連續(xù)且單調(diào)增加，則，即

10、，也即 證二 令，則 ，當 時，有 ，所以當時，函數(shù)單調(diào)增加，有，即 ，也即 a, b 為何值時,點(1,2) 為曲線的拐點？解 ，令，解得 ，由題意解得所以，當，時，點為曲線的拐點 描繪函數(shù) 的圖形解 定義域為，值域為不具備周期性，是偶函數(shù)，圖形關(guān)于軸對稱，令，解得駐點，令，解得，000極大值1拐點，所以曲線有水平漸近線1綜上，畫函數(shù)草圖如下： 根據(jù)函數(shù)的圖像，回答下列問題； 4 x Oxab1 x 2 x 3 x 5 x )(xf(a)在哪里改變符號？ (b)在哪里有局部極大值或局部極小值？ (c) 畫出的圖像解 (a)如圖，函數(shù)在上單調(diào)減少，所以，函數(shù)在上單調(diào)增加，所以，所以是改變符號的點；