高等數(shù)學(xué)方明亮版第十一章答案

1、高等數(shù)學(xué)方明亮版第十一章答案習(xí) 題 11-11判斷下列方程是幾階微分方程？（1）； （2）；（3）； （4）解 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高階數(shù)，叫做微分方程的階所以有，（1）一階微分方程； （2）一階微分方程；（3）三階微分方程； （4）三階微分方程2指出下列各題中的函數(shù)是否為所給微分方程的解：（1），；（2），；（3），；（4），解 （1）將代入所給微分方程的左邊，得左邊，而右邊2左邊，所以是的解 （2）將，代入所給微分方程的左邊，得左邊右邊，所以是所給微分方程的解 （3）將，代入所給微分方程的左邊，得 左邊（右邊），所以不是所給微分方程的解 （4）對(duì)的兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得

2、，即 再對(duì)求導(dǎo)，得 ，即 ，所以是所給微分方程的解3確定下列各函數(shù)關(guān)系式中所含參數(shù)，使函數(shù)滿足所給的初始條件（1）， ； （2），解 （1）將，代入微分方程，得所以，所求函數(shù)為（2），將，分別代入和，得，所以，所求函數(shù)為4能否適當(dāng)?shù)剡x取常數(shù)，使函數(shù)成為方程的解解 因?yàn)椋詾槭购瘮?shù)成為方程 的解，只須滿足，即 而，因此必有，即或，從而當(dāng)，或時(shí)，函數(shù)均為方程的解 5消去下列各式中的任意常數(shù)，寫出相應(yīng)的微分方程（1）； （2）；（3）； （4）解 注意到，含一個(gè)任意常數(shù)及兩個(gè)變量的關(guān)系式對(duì)應(yīng)于一階微分方程；含兩個(gè)獨(dú)立常數(shù)的式子對(duì)應(yīng)于二階微分方程（1）由兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，代入原關(guān)系式，得所求的微分方程

3、為 （2）由兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，即 而，故所求的微分方程為，化簡(jiǎn)得 （3）由兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，兩邊再對(duì)求導(dǎo)，得，這樣便可得所求的微分方程為 （4）由兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，將代入上式，并化簡(jiǎn)得，對(duì)上式兩邊再對(duì)求導(dǎo)，得，故所求的微分方程為習(xí) 題 11-21求下列微分方程的通解或特解：（1）； （2）；（3）； （4）；（5），； （6），解 （1）分離變量，得，兩端積分，得，即，所以原方程的通解為注 該等式中的與等本應(yīng)寫為與等，去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)會(huì)出現(xiàn)號(hào)；但這些號(hào)可認(rèn)為含于最后答案的任意常數(shù)中去了，這樣書寫簡(jiǎn)潔些，可避開(kāi)絕對(duì)值與正負(fù)號(hào)的冗繁討論，使注意力集中到解法方面，本書都做這樣的處理（2）原方程分離變量，得，

4、兩端積分，得 ，即 ，故原方程的通解為（3）原方程可化成，分離變量，得，兩端積分，得 ，即 是原方程的通解（4）分離變量，得，兩邊積分，得，即 是原方程的通解（5）分離變量，得，兩端積分，得，即由定解條件，知，即，故所求特解為，即（6）將方程兩邊同除以，得，兩端積分，得，積分后得 （其中），從而有，代入初始條件，得因此，所求方程滿足初始條件的特解為，即 2一曲線過(guò)點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸間任意點(diǎn)處的切線被切點(diǎn)所平分，求此曲線的方程解 設(shè)曲線的方程為，過(guò)點(diǎn)的切線與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為及，則點(diǎn)就是該切線的中點(diǎn)于是有，即，且，分離變量后，有，積分得 ，即由定解條件，有，故為所求的曲線3一粒質(zhì)量為20克的子彈以

5、速度（米/秒）打進(jìn)一塊厚度為10厘米的木板，然后穿過(guò)木板以速度（米/秒）離開(kāi)木板若該木板對(duì)子彈的阻力與運(yùn)動(dòng)速度的平方成正比（比例系數(shù)為k），問(wèn)子彈穿過(guò)木板的時(shí)間解 依題意有 ，即 ，兩端積分得， （其中20克0.02千克），代入定解條件，得，故有設(shè)子彈穿過(guò)木板的時(shí)間為秒，則，又已知時(shí)，米/秒，于是，從而， ，為此有 ，所以 （秒），故子彈穿過(guò)木板運(yùn)動(dòng)持續(xù)了（秒）4求下列齊次方程的通解或特解：（1）； （2）；（3）； （4）；（5），； （6）， 解 （1）原方程變形，得，令，即，有，則原方程可進(jìn)一步化為，分離變量，得，兩端積分得，即 ，將代入上式并整理，得原方程的通解為 （2）原方程變形，得

6、，即令，即，有，則原方程可進(jìn)一步化為，即 ，兩端積分，得 ，將代入上式并整理，得原方程的通解為 （其中） （3）原方程變形，得，即，令，有，則原方程可進(jìn)一步化為 ，即 ，兩端積分，得 ，即 ，將代入上式并整理，得原方程的通解為 （4）顯然，原方程是一個(gè)齊次方程，又注意到方程的左端可以看成是以為變量的函數(shù)，故令，即，有，則原方程可化為，整理并分離變量，得，兩端積分，得 ，即 將代入上式并整理，得原方程的通解為（5）原方程可化為 令，有，則原方程可進(jìn)一步化為 ，即 ，兩端積分，得 ，將代入上式，得 ，代入初始條件，得 因此，所求方程滿足初始條件的特解為（6）原方程可寫成 令，即，有，則原方程成為，

7、分離變量，得 ，兩端積分，得 ，即 ，代入并整理，得通解 由初始條件，得于是所求特解為5設(shè)有連結(jié)原點(diǎn)O和的一段向上凸的曲線弧，對(duì)于上任一點(diǎn)，曲線弧與直線段所圍成圖形的面積為，求曲線弧的方程解 設(shè)曲線弧的方程為，依題意有yxO11A(1,1)P(x, y)xyy，上式兩端對(duì)x求導(dǎo)，即得微分方程，令，有，則微分方程可化為，即，積分得 ，因，故有 又因曲線過(guò)點(diǎn)，故于是得曲線弧的方程是6化下列方程為齊次方程，并求出通解：（1）； （2）解 （1）原方程可寫成，令，解得交點(diǎn)為，作坐標(biāo)平移變換，有，所以原方程可進(jìn)一步化為 （*）這是齊次方程設(shè)，則，于是（*）式可化為，即 ，變量分離，得 ，兩端積分，得 ，

8、即 ，將代入上式，得原方程的通解為（2）原方程可寫成，該方程屬于類型，一般可令令，有，則原方程可化為，即 ，積分得 ，將代入上式，得原方程的通解為習(xí) 題 11-31求下列微分方程的通解：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）解（1） （2）原方程可化為，故通解為（3）原方程可化為，故通解為 （4）所給方程的通解為 （5）方程可化為，即，故通解為 （6） 2求下列微分方程的特解：（1），； （2），；（3），解（1），代入初始條件，得故所求特解為 （2） ，代入初始條件，得，故所求特解為，即（3） ，代入初始條件，得，故所求特解為3求一曲線的方程，這曲線通過(guò)原點(diǎn)，并且它在點(diǎn)處的切

9、線斜率等于解 設(shè)曲線方程為，依題意有，即從而 由，得故所求曲線的方程為4設(shè)曲線積分在右半平面（）內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，其中可導(dǎo)，且，求解 依題意及曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，有，即 記，即得微分方程及初始條件為，于是， 代入初始條件，得，從而有5求下列伯努利方程的通解：（1）； （2）； （3）； （4）解（1）方程可以化為令，則，即代入上面的方程，得，即 ，其通解為 ，所以原方程的通解為 （2）原方程化為令，則，即代入上面的方程，得，即 ，其通解為 所以原方程的通解為 （3）原方程化為令，則，于是原方程化為，其通解為 ，所以原方程的通解為 （4）原方程化為，即令，則，則原方程化為，其通解為 ，所以原方

10、程的通解為，或?qū)懗?習(xí) 題 11-41求下列全微分方程的通解：（1）； （2）；（3）解 （1）易知，因?yàn)?，所以原給定的方程為全微分方程而 ，故所求方程的通解為（2）易知，因?yàn)椋栽o定的方程為全微分方程而 ，故所求方程的通解為（3）易知，因?yàn)?，在的區(qū)域內(nèi)為全微分方程，故 所求方程的通解為，（或），即 2用觀察法求出下列方程的積分因子，并求其通解：（1）； （2）解（1）用乘方程，便得到了全微分方程，即 故通解為（2）原方程可化為即用乘方程，便得到了全微分方程，故原方程的通解為3用積分因子法解下列一階線性方程： （1）； （2）解 （1）將原方程寫成，此方程兩端乘以后變成，即，兩端積分，得，

11、故原方程的通解為（2）方程兩端乘以，則方程變?yōu)椋?，兩端積分，得 ，故原方程的通解為習(xí) 題 11-51求下列微分方程的通解：（1）； （2）； （3）解（1）， （2）， ， （作為最后的結(jié)果，這里也可以直接寫成）（3）令，則有，可知，從而有，再逐次積分，即得原方程的通解2求下列微分方程的通解： （1）； （2）； （3）； （4）解 （1）令，則，且原方程化為利用一階線性方程的求解公式，得 即，再積分，得通解（2）令，則，且原方程化為，分離變量，得，積分得 ，即 ，再積分，得通解 （3）令，則，且原方程化為，分離變量，得，積分得 ，故 ，再分離變量，得 由于，故上式兩端積分，即，兩邊平方，

12、得 （4）令，則，且原方程化為，即若，則是原方程的解，但不是通解若，由于的連續(xù)性，必在的某區(qū)間有于是，分離變量，得 ，積分得 ，即 ，亦即 積分得 即 ，也可寫成 由于當(dāng)時(shí)，故前面所得的解也包含在這個(gè)通解之內(nèi)3求下列初值問(wèn)題的解： （1），；（2），；（3），； （4），解 （1）易知，由初值條件，知，得；由，知，得故特解為（2）令，則，且原方程化為，變量分離，得，兩端積分，得，再兩端積分，得，由初值條件，有，解得，由初值條件，有解得，故所給初值條件的微分方程的特解為（3）令，則，且原方程化為，即， 積分得，代入初始條件，得，從而有，即，亦即分離變量后積分，即，得，代入初始條件，得于是得符合所

13、給初值條件的特解為，即（4）令，則，且原方程化為，分離變量，得，兩端積分，得，代入初始條件，得從而，即，再分離變量，得，即兩端積分，得，代入初始條件，得，從而有滿足所給初始條件的特解為，即或?qū)懗?試求的經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在此點(diǎn)與直線相切的積分曲線解 由于直線在處的切線斜率為，依題設(shè)知，所求積分曲線是初值問(wèn)題，的解由，積分得，再積分，得，代入初始條件，解得，于是所求積分曲線的方程為5對(duì)任意的，曲線上的點(diǎn)處的切線在軸上的截距等于，求的表達(dá)式解 設(shè)曲線的方程為，其中有二階導(dǎo)數(shù)，則在點(diǎn)處的切線方程為，令，知切線在軸上的截距為，據(jù)題意，有，即兩端求導(dǎo)，得，即已知，故有 令，則，且原方程化為分離變量，得，兩端積分，

14、得，即再對(duì)兩端積分，得，即習(xí) 題 11-61下列函數(shù)組中，在定義的區(qū)間內(nèi)，哪些是線性無(wú)關(guān)的（1），； （2），；（3），； （4），解 （1）因?yàn)?，滿足：常數(shù)，所以函數(shù)組，是線性無(wú)關(guān)的（2）因?yàn)?，滿足：，所以函數(shù)組，是線性相關(guān)的（3）因?yàn)?，滿足：常數(shù)，所以函數(shù)組，是線性無(wú)關(guān)的（4）因?yàn)椋瑵M足：常數(shù)，所以函數(shù)組，是線性無(wú)關(guān)的2驗(yàn)證及都是方程的解，并寫出該方程的通解 證明 由，得，； 由，得，可見(jiàn)， ，故及都是方程的解又因?yàn)槌?shù)，故與線性無(wú)關(guān)于是所給方程的通解為3驗(yàn)證及都是方程的解，并寫出該方程的通解證明 由，得，；由，得，因?yàn)?；所以及都是方程的解又因?yàn)槌?shù)，故與線性無(wú)關(guān)，于是所給方程的通解為4若

15、，都是方程（）當(dāng)，都是連續(xù)函數(shù)時(shí)，求此方程的通解解 因?yàn)?，所以及都是方程?duì)應(yīng)齊次方程的特解又因?yàn)槌?shù)，所以與線性無(wú)關(guān)因此，所給方程的通解為習(xí) 題 11-71求下列微分方程的通解（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解 （1）所給方程對(duì)應(yīng)的特征方程為，解之，得，所以原方程的通解為（2）所給方程對(duì)應(yīng)的特征方程為解之，得，所以原方程的通解為（3）所給方程對(duì)應(yīng)的特征方程為解之，得，所以原方程的通解為（4）所給方程對(duì)應(yīng)的特征方程為，解之，得，所以原方程的通解為（5）所給方程對(duì)應(yīng)的特征方程為，解之，得，所以原方程的通解為（6）所給方程對(duì)應(yīng)的特征方程為，即解之，得，所以原方程的通解為2求下列微

16、分方程滿足所給初始條件的特解：（1）；（2）；（3）；（4）解 （1）所給方程對(duì)應(yīng)的特征方程為，解之，得，所以原方程的通解為，從而，代入初始條件，得解得，故所求特解為（2）所給方程對(duì)應(yīng)的特征方程為，解之，得，所以原方程的通解為，從而，代入初始條件，得解得，故所求特解為（3）所給方程對(duì)應(yīng)的特征方程為，解之，得，所以原方程的通解為，從而，代入初始條件，得解得，故所求特解為（4）所給方程對(duì)應(yīng)的特征方程為，解之，得，所以原方程的通解為，從而，代入初始條件，得解得，故所求特解為3設(shè)圓柱形浮筒，直徑為0.5米，鉛直放在水中，當(dāng)稍向下壓后突然放開(kāi)，浮筒在水中上下振動(dòng)的周期為2秒，求浮筒的質(zhì)量解 設(shè)x軸的正向

17、鉛直向下，原點(diǎn)在水面處平衡狀態(tài)下浮筒上一點(diǎn)A在水平面處，又設(shè)在時(shí)刻t，點(diǎn)A的位置為，此時(shí)它受到的恢復(fù)力的大小為（是浮筒的半徑），恢復(fù)力的方向與位移方向相反，故有，其中m是浮筒的質(zhì)量 記，則得微分方程解其對(duì)應(yīng)的特征方程，得，故， 由于振動(dòng)周期，故，即，從中解出浮筒的質(zhì)量為（千克）習(xí) 題 11-81求下列微分方程的特解的形式（不必求出待定系數(shù)）（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）解 （1）是型（其中，），對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 易知，不是特征方程的根，所以特解的形式為 （這里A、B和C為待定系數(shù)）（2）是型（其中，），對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為

18、 易知，是特征方程的一個(gè)單根，所以特解的形式為 （這里A和B為待定系數(shù)）（3）是型（其中，），對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為， 易知，是特征方程的二重根，所以特解的形式為 （其中A為待定系數(shù)）（4）是型（其中，），對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，易知，是特征方程的一個(gè)單根，所以特解的形式為 （其中A為待定系數(shù)）（5）是型（其中，），對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，易知，是特征方程的一個(gè)單根，所以特解的形式為 （其中A和B為待定系數(shù)）（6）是型（其中，），對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為， 易知，是不是特征方程的根，所以特解的形式為 （其中A、B和C為待定系數(shù)）（7）屬于型（其中，）對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為， 易知，不是

19、特征方程的根，所以應(yīng)設(shè)其特解為 （其中A、B為待定系數(shù)）（8）屬于型（其中，）對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為， 易知，是特征方程的根，所以應(yīng)設(shè)其特解為 （其中A和B為待定系數(shù)）（9）屬于型（其中，）對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為， 易知，不是特征方程的根，所以應(yīng)設(shè)其特解為 （其中A、B、C和D為待定系數(shù)）（10）屬于型（其中，）對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為， 易知，是特征方程的根，所以應(yīng)設(shè)其特解為 （其中A、B、C和D為待定系數(shù)）2求下列各微分方程的通解（1）； （2）；（3）; （4）解 （1）是型（其中，），對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，解得，故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 因?yàn)椴皇翘卣鞣匠痰母?，所以特解的形式為，?/p>

20、入原方程得消去，有，即，故原方程的通解為（2）是型（其中，），對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，解得，故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 因?yàn)槭翘卣鞣匠痰膯胃蕴亟獾男问綖?，代入原方程并消去，得比較系數(shù)，得，即，故原方程的通解為（3）是型（其中，），對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，解得，故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 因?yàn)槭翘卣鞣匠痰亩馗?，所以特解的形式為，代入原方程并消去，得比較系數(shù)，得，即，故原方程的通解為（4）原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為解得，故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為因，對(duì)應(yīng)于方程，可設(shè)特解為；對(duì)應(yīng)于方程（是特征方程的根）可設(shè)特解為，故由疊加原理，設(shè)原方程的特解為代入原方程，得，比較系數(shù)，得，即，故原方程的通解為

21、3已知函數(shù)所確定的曲線與軸相切于原點(diǎn)，且滿足，試求 解 顯然函數(shù)滿足初值條件：，可解得方程的通解為由定解條件，有解得所求的曲線為4設(shè)函數(shù)連續(xù)，且滿足，求解 由于函數(shù)連續(xù)，故可導(dǎo)，從而有，于是有初值問(wèn)題：，可解得方程的通解為由定解條件，可解得，故所求的函數(shù)為習(xí) 題 11-91對(duì)于技術(shù)革新的推廣，在下列幾種情況下分別建立模型（1）推廣工作通過(guò)已經(jīng)采用新技術(shù)的人進(jìn)行，推廣速度與已采用新技術(shù)人數(shù)成正比，推廣是無(wú)限的；（2）總?cè)藬?shù)有限，因而推廣速度還會(huì)隨著尚未采用新技術(shù)人數(shù)的減少而降低；（3）在（2）的前提下考慮廣告媒體的傳播作用解 設(shè)時(shí)刻采用新技術(shù)的人數(shù)為（1）指數(shù)模型：（2）Logistic模型：，

22、為總?cè)藬?shù) （3）廣告等媒介在早期作用比較大，它對(duì)傳播速度的影響與尚未采用新技術(shù)的人數(shù)成正比，在模型（2）的基礎(chǔ)上，有 （2）和（3）的區(qū)別見(jiàn)下圖（3）（3）（2）（2）2偵察機(jī)搜索潛艇設(shè)t0時(shí)艇在O點(diǎn)，飛機(jī)在A點(diǎn)，OA6里此時(shí)艇潛入水中并沿著飛機(jī)不知道的某一方向以直線形式逃去，艇速20里/時(shí)，飛機(jī)以速度40里/小時(shí)按照待定的航線搜索潛艇，當(dāng)且僅當(dāng)飛到艇的正上方時(shí)才可發(fā)現(xiàn)它（1）以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，A點(diǎn)位于的向徑上，見(jiàn)右圖分析圖中由P、Q、R組成的小三角形，證明在有限時(shí)間內(nèi)飛機(jī)一定可以搜索到潛艇的航線，是先從A點(diǎn)沿直線飛到某點(diǎn)，再?gòu)难匾粭l對(duì)數(shù)螺線飛行一周，而是一個(gè)圓周上的任一點(diǎn)給出對(duì)數(shù)螺線

23、的表達(dá)式，并畫出一條航線的示意圖；（2）為了使整條航線是光滑的，直線段應(yīng)與對(duì)數(shù)螺線在點(diǎn)相切，找出這條光滑的航線；（3）在所有一定可以發(fā)現(xiàn)潛艇的航線中哪一條航線最短，長(zhǎng)度是多少，光滑航線的長(zhǎng)度又是多少？解 （1）證明 記飛機(jī)速度40里/小時(shí)，艇速20里/時(shí)設(shè)是所求航線上的一段，即當(dāng)潛艇沿航行時(shí)飛機(jī)、潛艇在相遇（圖1），那么當(dāng)潛艇沿航行時(shí)，二者必在相遇，記弧長(zhǎng)為，則，注意到，即可得到，這是一條對(duì)數(shù)螺線，是滿足的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，而位于以為圓心、半徑為4里的圓周上 飛機(jī)從沿直線飛至，再沿螺線飛行，最遠(yuǎn)飛行一圈至，總能發(fā)現(xiàn)潛艇（圖2中實(shí)線為飛機(jī)航線，虛線為潛艇航線）圖 2圖 1（2）考察對(duì)數(shù)螺線上任一點(diǎn)

24、的切線與該點(diǎn)的向徑夾角（圖3），有，對(duì)于，夾角，而螺線起始點(diǎn)所在的圓周上只有點(diǎn)使與的夾角也是（圖4），所以沿的航線是光滑的6圖 4圖 3（3）一定可以發(fā)現(xiàn)潛艇的航線是，直線段加上螺線一圈（圖2）顯然最短的航線是取點(diǎn)為（2，0），沿螺線飛行至點(diǎn)點(diǎn)的向徑即為潛艇的航程，因?yàn)?，故飛機(jī)最短航線的長(zhǎng)度為里同理，光滑航線的長(zhǎng)度為里如果計(jì)算螺線的長(zhǎng)度，則需代入求積分復(fù)習(xí)題 A1填空題（1）已知及是微分方程的解（其中、都是已知的連續(xù)函數(shù)）則該方程的通解為_(kāi)；（2）若曲線過(guò)點(diǎn)，且曲線上任意一點(diǎn)處的切線的斜率為，則_；（3）微分方程的特解的形式為_(kāi)；（4）若，都是微分方程的解（其中，都是已知的連續(xù)函數(shù)），則此微分

25、方程的通解為_(kāi) 解 （1）因?yàn)榕c線性無(wú)關(guān)，所以所求通解為；（2）因?yàn)椋?，由定解條件，知，故有（3）是型（其中，），對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 易知，是特征方程的二重根，所以特解的形式為 （這里A和B為待定系數(shù)）（4）因?yàn)椋际菍?duì)應(yīng)齊次方程的解，并且線性無(wú)關(guān)，故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為，取所給方程的一個(gè)特解為，于是所給方程的通解為 2選擇題 （1）函數(shù)(、為任意常數(shù)）是方程的（ ） （A）通解 （B）特解 （C）不是解 （D）是解，既不是通解，又不是特解（2）方程是（ ） （A）一階線性齊次方程 （B）一階線性非齊次方程（C）齊次方程 （D）可分離變量的方程（3）具有特解，的三階常系數(shù)齊次線性微分

26、方程是（ ） （A） （B）（C） （D）（4）微分方程的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（式、為常數(shù)）（ ） （A） （B） （C） （D）解 （1）因?yàn)椋鼘?shí)際只含有一個(gè)任意常數(shù)，所以它既不是通解，又不是特解而滿足所給方程，所以是所給方程的解應(yīng)選（D）（2）方程可變形為，它是典型的齊次方程，故選（C）（3）由于，可知，是特征方程的二重根且于是所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為，故所求的微分方程應(yīng)為本題應(yīng)選（B）（4）原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程的根為相對(duì)于方程，因，是特征方程的（單）根，故該方程的特解應(yīng)形如又相對(duì)于方程，因，不是特征方程的根，故該方程的特解應(yīng)形如按微分方程解的疊加原理，原方程的特解應(yīng)形

27、如本題應(yīng)選（B）3求下列微分方程的通解：（1）； （2）；（3）； （4）； （5）； （6）解 （1）所給方程可以化為，令，則，方程就化成線性方程：其通解為因此，原方程的通解為（2）原方程可以化為，解此線性方程，有通解 （3）令，則，從而方程可化為，解得，故原方程的通解為（4）原方程可化為，或，令，則有，解得故原方程的通解（5）由于，故原方程可表示為，即所以原方程的通解為（6）原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為，有根，故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為對(duì)于方程，因，其中是特征方程的（單）根，故可令其特解為，代入方程中并消去，得，比較系數(shù)得解得于是有對(duì)于方程，因，其中是特征方程的（單）根，故可令其特解為，代

28、入方程中，得，比較系數(shù)得解得于是有根據(jù)線性方程解的疊加原理得原方程的特解，故原方程的通解為4求下列微分方程滿足初值條件的特解：（1），；（2），；（3），；（4）,解 （1）所給方程可以化為，即令，則，即，代入上面的方程，有，解得此線性方程的通解為，即由定解條件，可得，所求的特解為，即（2）令，則，代入原方程有，即，積分得，或，即，將初值條件代入上式，可得，從而有，再積分，得將初值條件代入上式，可得，故滿足初值條件的特解為（3）令，代入原方程，得，即積分得將初值條件，代入上式，可解得從而有，即，分離變量，得，兩端積分，得，或?qū)⒊踔禇l件代入上式，可解得，故滿足初值條件的特解為，或（4）屬于型（其

29、中，）對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，解得，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為， 因?yàn)椴皇翘卣鞣匠痰母钥稍O(shè)其特解為從而有，代入原方程，得，即，比較系數(shù)，得，故 因此，原方程的通解為，從而，將初值條件,代入以上兩式，得解得，于是滿足初始條件的特解為5設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿足，求函數(shù) 解 對(duì)所給的等式兩邊求導(dǎo)，得，即，且有故 由初值條件，有，故所求的特解為6求下列歐拉方程的通解（1）； （2）解 （1）設(shè)，即，則有，代入方程，有，即，有通解（2）設(shè)，即，則有，代入方程，有，即，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為，由于自由項(xiàng)中，不是特征方程的根，故令特解為，代入方程后，求出故所給方程的通解為復(fù)習(xí)題 B1填空題（1）微分方程的通解為_(kāi)；（

30、2）微分方程的通解為_(kāi)；（3）設(shè)（、為任意常數(shù)）為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該微分方程為_(kāi)；（4）過(guò)點(diǎn)且滿足關(guān)系式的曲線方程為_(kāi) 解 （1）此方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為，其根為又因自由項(xiàng)，是特征方程的單根，故令是原方程的特解，代入原方程可得，于是原方程的通解為（2）原方程可變形為，兩端積分，得，即，故所給方程的通解為（其中）（3）由所給通解的表達(dá)式知，是所求微分方程的特征方程的根，于是特征方程為，故所求微分方程為（4）將所給關(guān)系式改寫成，由一階線性微分方程的通解公式，得，即，代入初始條件，得，故所求曲線的方程為2選擇題（1）設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)，都是二階非齊次方程的解，、為任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是（ ） （A） （B） （C） （D）（2）設(shè)是微分方程的解，且，則在（ ） （A）的某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 （B）的某鄰域