高等數(shù)學(xué)題庫

1、高等數(shù)學(xué)題庫（1） 函數(shù)一、 填空題：1 函數(shù) y=arcsin 定義域是:2.設(shè)y=(x)的定義域是0，1，則復(fù)合函數(shù)(sinx)的定義域是:. 3函數(shù)的值域是 0y + . 4函數(shù)的反函數(shù)是:. 5函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)是單調(diào)增加的.在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)減少. 6設(shè)，（xo）,則=. 7設(shè),則=, = x . 8函數(shù)的反函數(shù)y= .二選擇題：1 在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù) 與它的反函數(shù)說代表的曲線具有的性質(zhì)是（D）(A) 關(guān)于y軸對稱; (B) 關(guān)于x軸對稱; (C)重合； (D) 關(guān)于直線y=x對稱. 2.下列幾對函數(shù)中，與相同的是（C）. （A）與 （B）與 （C）與 （D）與 3已知的定義域為則的定

2、義域是（C） （A）-a,3a (B) a,3a (C) a (D) -a 4如果，那么的表達(dá)式是（B）(A) x-1 (B)1-x (C) (D) 都不是三設(shè)函數(shù)是線性函數(shù)，已知求此函數(shù). 解：設(shè)f(x)=ax+b, 則有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.四證明函數(shù)在它的整個定義域內(nèi)是有界. 證明：f(x)的定義域為R. 因為 所以： 函數(shù)在它的整個定義域內(nèi)是有界五試討論函數(shù)的奇偶性. 解： 所以 偶函數(shù).高等數(shù)學(xué)題庫（2） 數(shù)列的極限一判斷題：1如果數(shù)列以A為極限，那么在數(shù)列增加或去掉有限項之后，說形成的新數(shù) 列仍以阿A為極限 ( T )2如果，則有或 ( F )3如果，

3、且存在自然數(shù)N，當(dāng)nN時恒有，則必有aX 時，有成立. 故 三求時的左右極限，并說明它們在x0時的極限是否 存在？ 解：=1，所以. 所以 ， 顯然，故不存在.四根據(jù)定義證明：當(dāng)x0時，函數(shù)是無窮大，問x應(yīng)滿足什么條件，能使 出？ 證明：設(shè)M是任意給定的正數(shù). 要使 M, 只要M+2 () 或 M-2 () 即：0M+2 或 2-M 0 所以，取，則對于適合的一切x, 就有 M, 所以有：. 取M=,由上知x在下列條件下： 0 x 或 x 0）成立. 所以當(dāng)x時，這函數(shù)不是無窮大高等數(shù)學(xué)題庫（4） 極限的求法一 判斷題： 下列運算是否正確： (F) (F) （F）二計算下列極限：解：=解：=2

4、 解：設(shè)，則 因為=0， 所以 即：解：=解：因為 所以arctgx為有界函數(shù). 而 =0， 由有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小知. =0解：=解： = = =三已知 解：=0，=3+a,存在，即：=所以. .高等數(shù)學(xué)題庫（5） 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 無窮小的比較一、 判斷題：1 因為時，tgxx,sinxx,所以 （F）2 (T)3 (F)二、計算下列極限1.解：=2.解：=13.解：=24.解：=1.5.解：=6.解：=.二、 證明：當(dāng)x0時，下列各對無窮小量是等價的1.證明：設(shè)A=arctgx,則 x=tgA, 當(dāng)時，. =12.1-cosx 證明：=1.四、證明：用兩邊夾法則：（解

5、法一） 設(shè)F(n)= 0 則 設(shè)g(n)=0, h(n)= , 則g(n)=0 F(n) 0 因為 （n為自然數(shù)）， 所以有F(n) = 設(shè)g(n)=0, h(n)= , 則g(n)=0 F(n) h(n). 顯然，； 由極限存在準(zhǔn)則I知：.證畢. 另解： 設(shè)F(n)= ( 0F(n)1 )， 則F(n+1)= ，有F(n+1)0 即： 所以為單調(diào)有界數(shù)列，由極限存在準(zhǔn)則II知有極限. ， 則有 ， A=2A-，解得：A=1 或A=0（舍去，因為為遞增數(shù)列且.） 所以 高等數(shù)學(xué)題庫（6） 函數(shù)的連續(xù)性一 判斷題1 （ T ）2.設(shè)在點連續(xù)，則 （ T ）3如果函數(shù)在上有定義，在上連續(xù)，且0，則

6、在內(nèi) 至少存在一點，使得= 0 （ T ）4若 連續(xù)，則必連續(xù). （ T ）5若函數(shù)在上連續(xù)且恒為正，則在上必連續(xù). （ T ）6若,且，則在的某一鄰域內(nèi)恒有. （ F ）7是函數(shù)的振蕩間斷點.（ F ）二 填空題：1()2. ( 0 )3. ( )4. 是的第（二）類間斷點.三 求 解：=四 求函數(shù)在內(nèi)的間斷點，并判斷其類型. 解：在內(nèi)的間斷點有：， 因為 不存在， 所以，是的第一類（可去）間斷點; ，是的第二類間斷點. 五 設(shè)，（1）求；（2）當(dāng)連續(xù)時，求的值. 解：(1) (2) 連續(xù) .高等數(shù)學(xué)題庫（7） 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一計算下列極限： 1 解：原式= = 2 解：原式= 3 解：原式

7、= 4 解：原式= 5 解：原式= 6 解：令，得，當(dāng) 原式=二證明方程至少有一個不超過的正根（其中）. 證明：設(shè)，則在上連續(xù). 又，. 若，則結(jié)論成立. 若，則由零點定理.三設(shè)在上連續(xù)，且，證明：至少存在一點，使得 . 證明：設(shè)，則在上連續(xù). 又, 若，則結(jié)論成立. 若，則由零點定理.四設(shè)在上連續(xù)，且，又存在使 .證明在上有最大值. 證明：取 , 當(dāng)時, . 即 當(dāng)時，. , 當(dāng)時, . 即 當(dāng)時，. 若,為最大值. 若,在上連續(xù),必有最大值. , . 在上取得最大值. 高等數(shù)學(xué)題庫（8） 導(dǎo)數(shù)的概念一 選擇題：1 設(shè)f (x)存在，a為常數(shù)，則等于（C）. (A) f (x) ; (B)

8、0 ; (C) ; (D) .2. 在拋物線上，與拋物線上橫坐標(biāo)和的兩點連線平行的切線方程 是（B）. (A) 12x-4y+3=0; (B)12x+4y+3=0; (C) 4x+12x+3=0; (D)12x+4y+1=0.3. 將一個物體鉛直上拋，設(shè)經(jīng)過時間t秒后，物體上升的高度為，則物體 在3秒時的瞬時速度為（B）. (A) ; (B) 40-3g ; (C) 0 ; (D) .4. 若函數(shù)在x=0處 (B). (A) 連續(xù)且可導(dǎo)； （B）連續(xù)，不可導(dǎo)； （C）不連續(xù)； （D）都不是.二設(shè)函數(shù)在處x=1可導(dǎo)，求a和b.解：在x=1處可導(dǎo)在x=1處連續(xù)，可得 即 (1) 又在x=1處可導(dǎo),

9、 可得 即 (2) 由(1),(2)得 , .三設(shè)，求.解: , 由冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可得 .四已知，求.（提示：分段點x=0處的導(dǎo)數(shù)用導(dǎo)數(shù)的定義求）解: 當(dāng)x=0時, 令, ; .所以 五設(shè)f(x)在上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù).證明f(x)為偶函數(shù)的充要條件是：為奇函數(shù)（充分性的證明用到不定積分的概念，只證必要性）.證明: 對于 則有 依題意 令有 ; ; 為偶函數(shù)高等數(shù)學(xué)題庫（9） 求導(dǎo)法與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)一 填空題：1 曲線與x軸交點的切線方程是.2 曲線在橫坐標(biāo)x=0點處的切線方程是,法線方程是.3 設(shè)，則.4 設(shè)，則.5 設(shè)，則.二 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1. .解: .2. .解: .3. .解: .4

10、. .解: .5. .解: .三.求導(dǎo)數(shù):1. ,求.解: .2. ,求.解: .3. ,求.解: .四.已知,求. 解: 令 ,則 .高等數(shù)學(xué)題庫(10) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(二) 高階導(dǎo)數(shù)一. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):1. .解：. 2.解： .3.解： .4.解： .5.解： .二. 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):1. .解： , .2. .解： , .3. .解： , .三. 求函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).解： ， 一般地，可得 .四. 設(shè),其中在點a的鄰域內(nèi)連續(xù),求.解： . 在點a的鄰域內(nèi)連續(xù) . .高等數(shù)學(xué)題庫(11) 隱函數(shù)求導(dǎo)法一. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù).1. .解： , 即 其中y是由方程所

11、確定的隱函數(shù).2. .解： , 即 . 其中y是由方程所確定的隱函數(shù).3. .解： , 即 . 其中y是由方程所確定的隱函數(shù).二. 用對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):1. .解： 先兩邊取對數(shù)(假定 . ) 得 . 則 . . 當(dāng)時,用同樣的方法可得與上面相同的結(jié)果.2. . 解： 先兩邊取對數(shù)(假定) 得 . 對上式兩邊對求導(dǎo)，得 . 即 . 當(dāng)時,用同樣的方法可得與上面相同的結(jié)果. 三. 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).1. .解： , .2. 已知 這里存在且不為零.解： 存在且不為零 , .四. 設(shè),證明y=y(x)在t=0時存在,并求其值.證明： 原方程可化為 . 當(dāng)時, 高等數(shù)學(xué)題庫(12)

12、 微分一. 選擇題:1. 已知,則dy等于(C).(A) 2tgxdx ; (B) ; (C) ; (D) .2 一元函數(shù)連續(xù)是可導(dǎo)的（A）；一元函數(shù)可導(dǎo)是可微的（C）.（A）必要條件； （B）充分條件；（C）充要條件； （D）既非充分條件又非必要條件.2. 函數(shù)不可微點的個數(shù)是（B）.（A） 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0.二填空題：1 已知函數(shù)在點x處的自變量的增量，對應(yīng)的函數(shù)增量的線性主部是，那末自變量的始值為.2 ，則.3. ; ; ; .三 利用微分求近似值：.解： . 這里較小應(yīng)用(p150)(2)式,得 .四 已知測量球的直徑D時有1%的相對誤差，問用公式計算球的體

13、積時，相對誤差有多少？解： 我們把測量D時所產(chǎn)生的誤差當(dāng)作自變量D的增量，那么，利用公式來計算V時所產(chǎn)生的誤差就是函數(shù)V的對應(yīng)增量.當(dāng)很小時，可以利用微分近似地代替增量，即 . 其相對誤差 .五 求由方程所確定的隱函數(shù)s在t=0處的微分.解： 對方程兩邊關(guān)于t求導(dǎo)，得 . 當(dāng) t=0時, 得 . 又對原方程, 當(dāng) t=0時, 得 即 s=1. 高等數(shù)學(xué)題庫（13）中值定理一選擇題： 1下列函數(shù)中，滿足羅爾定理條件的是（B）.(A)(B)(C)(D) 2.對于函數(shù)，在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的點是(A).(A); (B); (C); (D)1.二. 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明恒等式：.（注意：對 處的討論）

14、證：令當(dāng)時，（C為常數(shù)）.特別地，取,則求得當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，三. 設(shè)，證明：.證：設(shè)，在上利用拉格朗日中值定理，有：.四. 證明：不論b取何值，方程在區(qū)間上至多有一個實根.證：反證法.設(shè)，且在區(qū)間上有兩個以上實根，其中兩個分別記為，不妨設(shè)，則，由羅爾定理，在內(nèi)至少有一點，使.而在內(nèi)恒小于0，矛盾.命題成立.五. 構(gòu)造輔助函數(shù)，證明不等式.證：設(shè)，則在區(qū)間上，根據(jù)拉格朗日中值定理，在內(nèi)至少存在一點使即又即六. 設(shè)函數(shù)和在上存在二階導(dǎo)數(shù)，且，證明（1） 在(a,b)內(nèi)；（2） 在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使.證：（1）反證法.設(shè)（a,b）內(nèi)存在一點使，則在上有g(shù)(a)=g(x1)=0,由羅爾定理

15、知在(a,x1)內(nèi)至少存在一點1使(1)=0.同理在(x1,b)內(nèi)也至少存在一點2使(2)=0.(1)=(2)=0由羅爾定理，在(1,2)內(nèi)至少存在一點使,這與矛盾，故在內(nèi).（3） 令由題設(shè)條件可知，F(xiàn)(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=0,由羅爾定理可知，存在使得即由于，故.高等數(shù)學(xué)題庫（14）羅必塔法則 泰勒公式一. 求下列極限： 1. 解：原式= 2. 解：原式= = 3 解：原式=1 4 解：令，則 y=e0=15 解：原式=二 求函數(shù)f(x)=xex的n階麥克勞林公式.解：f(0)=0,f(x)=(x+1)ex,f(x)=(x+2)ex,f(n)(x)=(

16、x+n)ex. 三利用泰勒公式求極限并指出下列做法的錯誤之處. 解：當(dāng)時，利用等價無窮小代換有： 原式=. 更正：上述解法的錯誤在于：分母為三階無窮小量，而分子只保留了一階無窮小量. sinx、tgx分別在x0=0處的三階泰勒公式為： 四應(yīng)用三階泰勒公式求的近似值. 解：在處的三階泰勒公式為： 五證明：當(dāng)時，. 證：將tgx在x0=0處展開三階泰勒公式，得：而命題得證.六設(shè)在上二次可微，且對任意，有又=.證 明：. 證：對分別將在處展開一階泰勒公式： 兩式相減得： =當(dāng)時，當(dāng)時，因此，.高等數(shù)學(xué)題庫（15）函數(shù)的單調(diào)性一 填空題：1函數(shù)y=(x-1)(x+1)3在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增

17、加.2函數(shù) （a0）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，在區(qū)間內(nèi)單 調(diào)減少.3函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，在區(qū)間（-1， 3）內(nèi)單調(diào)減少.4. 函數(shù)在區(qū)間（0.5，1）內(nèi)單調(diào)增加，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少.二. 證明下列不等式：1. 當(dāng)時，. 證：令，則. ， ，顯然，當(dāng)時， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加. 又 在區(qū)間內(nèi)恒大于零. 又 在區(qū)間內(nèi)大于零. 即當(dāng)時，即.2. 當(dāng)時，.證：令 顯然，當(dāng)時， 在內(nèi)單調(diào)增加.又=0 在內(nèi)大于零. 在內(nèi)單調(diào)增加.而=0 在內(nèi)恒大于零. 即當(dāng)時， 即3. 當(dāng)時，證：令，則.令，則.在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少.在此區(qū)間內(nèi)也單調(diào)減少.而在內(nèi)小于0.在內(nèi)單調(diào)減少.在區(qū)間的兩端取得極大極小值.即三. 證明方程sinx

18、=x只有一個根.證：令，則. 在內(nèi)單調(diào)減少. f(x)=sinx-1=0至多有一個根.而f(0)=0, 有且只有一個根. 即方程sinx=x只有一個根.高等數(shù)學(xué)題庫（16）函數(shù)的極值一. 填空題：1. 函數(shù)在處取得極小值.2. 已知函數(shù)當(dāng)-1或5時，y=0為極小值；當(dāng)x=0.5時， y=為極大值.3已知在x=1處有極值-2，則a=0,b=-3,y=f(x)的極大值為2； 極小值為-2.二. 求下列函數(shù)的極值： 1. 解： 令得三駐點：. 當(dāng)時，當(dāng)時，. 處為非極值點. 當(dāng)時，取得極大值，其值為0. 當(dāng)時，取得極小值，其值為-13.5.2. 解：，令，得駐點（k為整數(shù)）. 當(dāng)時，x在該處取得極大

19、值，其值為 當(dāng)時，x在該處取得極小值，其值為三. 試問a為何值時，函數(shù)在處取得極值？它是極 大值還是極小值？并求出此極值. 解：，令，則 即 時取得極值. 在處取得極大值，其值為.四. 設(shè)，為實數(shù)，且(1) 求函數(shù)的極值.(2) 求方程有三個實根的條件.解：(1) ，令得，而 處取得極小值，其值為 處取得極大值，其值為 (2)由上述的討論我們可以看出，僅有 三個單調(diào)區(qū)間，由介值定理及區(qū)間 單調(diào)性知：方程要有三個實根，必須滿足在這三個單調(diào)區(qū)間上各 有一個實根，也就是說，極小值應(yīng)小于或等于0同時極大值應(yīng)大 于或等于0（等于0時含重根）.即 即當(dāng)時，方程有三個實根.五. 一個無蓋的圓柱形大桶，已規(guī)定

20、體積為V,要使其表面積為最小，問圓 柱的底半徑及高應(yīng)是多少？解：設(shè)圓柱的底半徑為R,高為h，則 , 則 六. 設(shè)在上二階可微，且.證明存在 ，使得. 證：將在x取得極大值處展開一階泰勒公式（設(shè)此時） ， ， ，兩式相加得： 令，則 高等數(shù)學(xué)題庫 (17) 最大值 最小值 凹凸性 拐點一、求下列函數(shù)的最大值和最小值： 1. 函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，因此可令 解得 而 所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別為104和-5.2. 函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，因此可令 解得 而 所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別為-47和-15.二、某車間靠墻壁蓋一間長方形小屋，現(xiàn)有存磚只夠砌20米長的墻壁，問應(yīng)圍成怎樣的長

21、 方形才能使這間小屋的面積最大？ 解： 設(shè)寬為米，則長為米，因此，面積為 顯然，當(dāng)時，面積取最大值50.三、求數(shù)項 中的最大項. 解： 令 則 解得唯一駐點， ，并且在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單 調(diào)遞減，而 所以數(shù)項 中的最大項為.四、求下列函數(shù)的凹凸區(qū)間與拐點：1. 解： 函數(shù)在定義域內(nèi)階導(dǎo)數(shù)存在，并且 因此，當(dāng)時，曲線為凸的，當(dāng)時，曲 線為凹的，點是曲線的拐點.2. 解： 函數(shù)在定義域內(nèi)階導(dǎo)數(shù)存在，并且 因此，當(dāng)時，曲線為凸的，當(dāng)時，曲線 為凹的，當(dāng)時，曲線為凸的，點是曲線的拐點.五、證明有三個拐點位于同一直線上. 證明：用Mathematic畫圖（命令為） 函數(shù)在定義域內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在，并

22、且 令，解得， 因此，當(dāng)時，曲線為凸的，當(dāng)時， 曲線為凹的，當(dāng)時，曲線為凸的，當(dāng) 時，曲線為凹的，所以曲線有三個拐點 . 并且 所以三個拐點在同一條直線上.高等數(shù)學(xué)題庫 (18) 函數(shù)圖形的描繪 曲率一、作下列函數(shù)的圖形（要求列表之后再畫圖）： 1. 解：函數(shù)在定義域內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在，并且 令，解得，01-0+0-0+0-0+圖形拐點極大拐點極小拐點 2. 解：函數(shù)在定義域內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)存在，并且 令，解得，1-0+0+0-0+圖形極小拐點拐點，不是極值點 二、求拋物線在頂點處的曲率和曲率半徑. 解： 頂點處,所以 三、求一條拋物線使之與曲線在處相切，且在切點處有相同的曲率和凹向. 解：設(shè)拋物線的方

23、程為，則 函數(shù)和在處有相同的函數(shù)值、一階和二階導(dǎo)數(shù)，因此 ， ， 即拋物線的方程為四、求曲線的一條切線，使該曲線與切線及直線所圍成的平面圖 形的面積最小. 解： 設(shè)切點的坐標(biāo)為，則切線的斜率為，所以切線方程為 當(dāng)時， 當(dāng)時， 所以，三角形的面積為 令 解得 即當(dāng)時，三角形的面積最小，從而該曲線與切線及直線所圍成的 平面圖形的面積最小，此時切線方程為： 高等數(shù)學(xué)題庫（19）不定積分 一.是非題： 1 ( F ) 2. ( F ) 3. 已知則 ( F ) 4. 是同一個函數(shù)的原函數(shù) ( T ). 二.填空： 1. . 2. . 3. . 4. 5. .6. 設(shè)，則. 7. 已知曲線通過點(e,2

24、),且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標(biāo)的倒數(shù)，則曲線方程為. 三.求下列不定積分 1. 解: 2. . 解：. 3. . 解： 4. 解： 5 解：四已知且f(0)=0求f(x).解： 又由于在x=0可導(dǎo),則f(x)在x=0連續(xù)， 所以f(-0)=f(+0)=f(0)=0得： 高等數(shù)學(xué)題庫（20）換元積分 一.填空: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.二.計算不定積分:1. . 解：.2. 解： 6 解：.7. 解:8. 解:.高等數(shù)學(xué)題庫（21） 分部積分法 一.填空題： 1設(shè)則 . 2 . 3若的原函數(shù)為，則 .二求下列不定積分： 1 解： = = .所以， 原式= . 2

25、.解：=. 3. 解：= = = . 4 . 解：= = = = 5 . 解：= = = . 6 . 解：= = =.高等數(shù)學(xué)題庫(22) 幾種特殊類型函數(shù)的積分 一 求下列有理函數(shù)的不定積分： 1 . 解：= = . 2 . 解： , 比較系數(shù)得： = = = = .二.求下列三角有理式的不定積分： 1 . 解：令 則 = = . 2 . 解：= = . 3 . 解：= = = 所以，2= 即：=三.求下列無理函數(shù)的不定積分： 1 . 解：= 令 ， 則；. 于是 = 故= = = . 2 . 解：令 則： = =四.計算積分 . 解法一：= = = = = . 解法二：= = = = =

26、注：解法二中積分亦可用萬能代換法（令：求取.五計算積分 . 解： =+ = = = = 或：= = 所以：= 高等數(shù)學(xué)題庫（23）定積分一 判斷題：1 若在上可積，則在上必連續(xù). （F）2 若在連續(xù)，則必定存在. （F）3 若包含于，則必有 （F）二填空：（用號或號） 1. . 2 . 3 . 4 .三估計下列定積分的值： 1 解： . 2 解：設(shè) 顯然在 單調(diào)減， 因此.四利用定積分的幾何意義及其性質(zhì)，求定積分的值（要說明理由）. 解：上述定積分表示曲線，兩直線，與軸所圍曲邊梯形的面 積,而曲邊梯形的以原點為圓心，半徑為2 的圓在第一象限的部分，其面積 故定積分的值等于五已知求. 解： 由于

27、 同理 六已知在上連續(xù)，且.求 解：設(shè) 由條件知 存在 所以 原式高等數(shù)學(xué)題庫（24）廣義積分一 填空題：1 0 2 3 4已知，則 5 6 7 二 計算題：1 求解：原式2 設(shè) 求 解：三 求 解：時0， 0 由于 故 注：利用介值定理或定積分中值定理也可求得結(jié)果.四 設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明 證：令 由于單調(diào)增，當(dāng) 0， 在單調(diào)增，故 即 高等數(shù)學(xué)題庫（25）定積分的換元法一下列定積分所使用的變量代換是否正確？1 （no）2 （no）3 （yes）二下列等式是否正確？1 （yes）2 （yes）3 （yes）三計算下列定積分：1.解：原式= ()令2.解：令 則 且 當(dāng) 時 當(dāng) 時于是3.4解：設(shè) 且當(dāng)