高等數(shù)學(xué)教案提綱 - 吉林化工學(xué)院

1、Chapter 11 Infinite Series11.2 Test for the Convergence of the Constant Series本節(jié)教學(xué)目的：了解正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法以及幾何級(jí)數(shù)與p-級(jí)數(shù)的斂散性，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法。了解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨定理，會(huì)估計(jì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的截?cái)嗾`差。了解絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及二者的關(guān)系。本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法。本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)：絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及二者的關(guān)系。 顯然，對(duì)一個(gè)級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，首先碰到的問(wèn)題就是：它是否收斂？如果收斂的話，和是多少？由于在實(shí)際應(yīng)用中，往往是在給定的誤差范圍內(nèi)，用部分和代替級(jí)數(shù)的和，因此判斷級(jí)數(shù)的斂散

2、性是我們要著力解決的問(wèn)題。 在常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中，各項(xiàng)都是可正、可負(fù)或者為零。當(dāng)各項(xiàng)都是正數(shù)或零時(shí)，稱(chēng)之為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。這種級(jí)數(shù)特別重要，以后將會(huì)看到許多級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題都可歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題。如負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。一 Test for the Convergence of Positive Series1 Bounded Sum Test設(shè)級(jí)數(shù)是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，它的部分和為，顯然，數(shù)列是一個(gè)單調(diào)增加數(shù)列。根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則和有極限的數(shù)列是有界數(shù)列的性質(zhì)，可有Theorem 1 (Bounded Sum Test) A series of nonnegative terms converges

3、if and only if its partial sums are bounded above.定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是：它的部分和數(shù)列有界。由定理1可知，如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則它的部分和數(shù)列，即。如前面的調(diào)和級(jí)數(shù)至此有了定論。2 Ordinary Comparison Test and Limit Comparison Test一般說(shuō)來(lái)，判斷數(shù)列是否有界并不很容易，因而，通常不直接應(yīng)用此結(jié)論來(lái)判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，而是用它來(lái)導(dǎo)出常用的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法。Theorem 2 (Ordinary Comparison Test) Suppose that and are positi

4、ve series, and . If the series converges, so does ; if the series diverges, so does the series .定理2 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且。若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；反之，若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散。證明 設(shè)級(jí)數(shù)收斂于和，則級(jí)數(shù)的部分和，即部分和數(shù)列有界，由定理1知級(jí)數(shù)收斂。反之，設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)必發(fā)散。因?yàn)槿艏?jí)數(shù)收斂，由上面已證明的結(jié)論，將有級(jí)數(shù)也收斂，與假設(shè)矛盾。只要你能找到可以參照的級(jí)數(shù)。相反的情況均未必，后面會(huì)給出例子。注意到級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘不為零的常數(shù)，以及去掉級(jí)數(shù)前面部分的有限項(xiàng)不會(huì)影響級(jí)數(shù)的收斂性，我們

5、可有如下推論Corollary Suppose that and are positive series, if the series converges, and there is a natural number , such that for any , holds, then the series also converges; If diverges, and there is a natural number , such that for any , holds, then the series also diverges.推論 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果級(jí)數(shù)收斂，且存在自然數(shù)，使當(dāng)

6、時(shí)有成立，則級(jí)數(shù)收斂；如果級(jí)數(shù)發(fā)散，且當(dāng)時(shí)有成立，則級(jí)數(shù)發(fā)散。Example 1 討論級(jí)數(shù) 的斂散性，其中。解 設(shè)，這時(shí)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)不小于調(diào)和級(jí)數(shù)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)：，但調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，因此根據(jù)比較審斂法可知，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。 設(shè)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，所以 。而級(jí)數(shù)的部分和，故收斂。從而由比較審斂法知時(shí)級(jí)數(shù)收斂。綜合上述結(jié)果，我們得到：級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。說(shuō)明：作為可以參照的級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的斂散性常?？梢砸龑?dǎo)我們審斂的“方向”。應(yīng)用比較審斂法的關(guān)鍵，就是把所給級(jí)數(shù)與一個(gè)斂散性已知的正項(xiàng)級(jí)數(shù)做比較，我們經(jīng)常把等比級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)作為比較的級(jí)數(shù)（要散布陽(yáng)光到別人心中，首先得自己心中有陽(yáng)光）。Example 2 判別下列級(jí)數(shù)的

7、斂散性：（1） 。 解 ，所以收斂。（2） 。解 因?yàn)?，所以而?jí)數(shù)是發(fā)散的，據(jù)比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)也是發(fā)散的。（3） 。解 因?yàn)?所以級(jí)數(shù)收斂。（4） 。解 只取 或 ，則由，而幾何級(jí)數(shù) 收斂，故據(jù)比較審斂法知：原級(jí)數(shù)亦收斂。Theorem 3 (Limit Comparison Test) Suppose that and are positive series, Then (1) If , and the series converges, so does ;(2) If , or , and the series diverges, then the series also diver

8、ges.定理3 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，（1）如果，且級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；（2）如果或，且級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散。證明 （1）由極限定義可知，對(duì)，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，即 。而級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)比較審斂法的推論，知級(jí)數(shù)收斂。（2）按已知條件知極限 存在，如果級(jí)數(shù)收斂，則由結(jié)論（1）必有級(jí)數(shù)收斂，但已知級(jí)數(shù)發(fā)散，因此級(jí)數(shù)不可能收斂，即級(jí)數(shù)發(fā)散。說(shuō)明：極限形式的比較審斂法，在兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)均趨向于零的情況下，其實(shí)是比較它們的一般項(xiàng)作為無(wú)窮小量的階。定理表明，當(dāng)時(shí)，如果是與同階或是比高階的無(wú)窮小，而級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；如果是與同階或是比低階的無(wú)窮小，而級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散。由于我們比較熟悉極限的運(yùn)算規(guī)

9、律，求數(shù)列的極限較比較數(shù)列的大小更方便，因而這個(gè)結(jié)論有時(shí)更實(shí)用些。將所給正項(xiàng)級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)作比較，可得在實(shí)用上較方便的極限審斂法。Theorem 6 (Limit Test) Let be a series of positive terms. Then (1) If (or ), the series diverges;(2) If , and , the series converges.定理6 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，（1）如果（或），則級(jí)數(shù)發(fā)散；（2）如果，而，則級(jí)數(shù)收斂。證明 （1）在極限形式的比較審斂法中，取 ，由調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，知結(jié)論成立。 （2）在極限形式的比較審斂法中，取 ，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù) 收斂

10、，故結(jié)論成立。Example 3 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1） 。解 因?yàn)?，根據(jù)極限審斂法可知，此級(jí)數(shù)收斂。 其中的極限可化為連續(xù)變量：。（2） 。解 由 ，取 ，因?yàn)?，所以由比較審斂法的極限形式知級(jí)數(shù)收斂。3 Ratio Test and Cauchy Test 將所給正項(xiàng)級(jí)數(shù)與等比級(jí)數(shù)相比較，可以得到在實(shí)用上很方便的比值審斂法。從形式上看，它們是利用級(jí)數(shù)本身所滿足的關(guān)系，究其實(shí)質(zhì)，是把所給級(jí)數(shù)與幾何級(jí)數(shù)相比較，正因?yàn)樗鼈兪菑募?jí)數(shù)本身出發(fā)，所以有時(shí)使用起來(lái)更方便些。Theorem 4 (Ratio Test，DAlembert Test) Let be a series of posit

11、ive terms and suppose that , then if , the series converges; If (or ), the series diverges; If , the test is inconclusive.定理4 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果，則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；（或）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。證明 （1）當(dāng)。取一個(gè)適當(dāng)小的正數(shù)，使得，根據(jù)極限定義，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)有不等式 。因此 而級(jí)數(shù)收斂（公比），根據(jù)定理2的推論，知級(jí)數(shù)收斂。（2）當(dāng)。取一個(gè)適當(dāng)小的正數(shù)，使得，根據(jù)極限定義，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)有不等式 ， 也就是 。所以當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)是逐漸增大的，從

12、而。根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知級(jí)數(shù)發(fā)散。類(lèi)似地，可以證明當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。（3）當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。例如 級(jí)數(shù)（2），不論為何值都有 ，但我們知道，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，因此只根據(jù)不能判定級(jí)數(shù)的收斂性。說(shuō)明：（1）比值審斂法是本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)，應(yīng)熟練掌握。其比值的方法與證明的過(guò)程都比較典型，在后面冪級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)中我們還將用到。（2）一般地，比值審斂法適合于一般項(xiàng)中含有乘積、方冪、階乘等的情形。Theorem 5 (Cauchy Test) Let be a series of positive terms and suppose that , then if , the series

13、converges; If (or), the series diverges; If , the test is inconclusive.定理5 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果，則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；（或）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。定理5的證明與定理4相仿，此處從略。說(shuō)明：比值審斂法、根值審斂法的條件是使結(jié)論成立的充分條件，而非必要條件。如：正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的，但不存在。又如，時(shí)級(jí)數(shù)是收斂的，但，而不小于1。補(bǔ)充資料：雖然比值審斂法、根值審斂法都是基于把所考察的正項(xiàng)級(jí)數(shù)與等比級(jí)數(shù)比較而得到的，但它們又有所差別。事實(shí)上，我們可以證明：如果極限存在，則極限也存在。按此結(jié)論可知，能用比值審斂法判定其斂散

14、性的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，一定可以用根值審斂法判定，當(dāng)時(shí)，兩者都失效。其次，當(dāng)不存在時(shí)，卻可能存在。例如。 不存在。但，知原級(jí)數(shù)收斂。Example 4 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1） 。解 收斂。本題若分子改為 ，則發(fā)散。（2） 。解 收斂。 Example 5 證明級(jí)數(shù)收斂，并估計(jì)以代替s所產(chǎn)生的誤差。證明 因?yàn)椋约?jí)數(shù)收斂。且誤差： 。顯然，其收斂速度還是很快的。為7時(shí)，其誤差不超過(guò)千萬(wàn)分之六點(diǎn)八！至此，我們介紹了常用的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法，后面我們將統(tǒng)一進(jìn)行審斂程序的小結(jié)。二 Alternating Series and The tests for Convergence前面討論了正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下面將討論

15、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。所謂任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，就是級(jí)數(shù)中總有正項(xiàng)（包括零），又總有負(fù)項(xiàng)。任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的討論，要比正項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)雜些，但是對(duì)于某些特殊的任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，還是能建立具體的判別法。例如所謂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)。即：，。Theorem 7 (Leibniz Theorem) If the alternating series satisfy:(1) ;(2) .Then the series converges. Moreover, , and the error made by using the sum of the first terms to approximate the sum of the series

16、 is not more than , that is, .定理7 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件：（1）；（2），則級(jí)數(shù)收斂，且其和，其余項(xiàng)的絕對(duì)值。證明 先證明前項(xiàng)的和的極限存在。為此把寫(xiě)成兩種形式： 及 根據(jù)條件（1）知道所有括號(hào)中的差都是非負(fù)的。由第一種形式可見(jiàn)數(shù)列是單調(diào)增加的，由第二種形式可見(jiàn)。于是，根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則知道，當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，趨于一個(gè)極限，并且不大于： 再證明前項(xiàng)的和的極限也是。事實(shí)上，我們有 由條件（2）知，因此 由于級(jí)數(shù)的前偶數(shù)項(xiàng)的與奇數(shù)項(xiàng)的和趨于同一極限，故級(jí)數(shù)的部分和當(dāng)時(shí)具有極限這就證明了級(jí)數(shù)收斂于和，且最后，不難看出余項(xiàng)可以寫(xiě)成 ，其絕對(duì)值 ，上式右端也是一個(gè)

17、交錯(cuò)級(jí)數(shù)，它也滿足收斂的兩個(gè)條件，所以其和小于級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)。也就是說(shuō) 。說(shuō)明：1、只有當(dāng)級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)時(shí)，才能用此判別法，否則將導(dǎo)致錯(cuò)誤。2、使用本法時(shí)，關(guān)鍵是第二個(gè)條件的驗(yàn)證。繁時(shí)可轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)來(lái)考察單調(diào)性。3、當(dāng)利用此法判別不易時(shí)，還不能斷言級(jí)數(shù)是發(fā)散的，至少后面還有絕對(duì)收斂的情形。Example 6 判別下列交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性：（1） 。解 因?yàn)?，且 ，則由萊布尼茨審斂法知級(jí)數(shù)收斂。且 。顯然收斂速度較慢。此級(jí)數(shù)與調(diào)和級(jí)數(shù)均是常用結(jié)論。（2） 。解 因?yàn)?，且（不算特別直觀，但用初等方法可證）。則原級(jí)數(shù)收斂。如果不直觀時(shí)，我們可改用化為連續(xù)函數(shù)的方法。令 ，由 ，知單調(diào)下降。從而，。故

18、原級(jí)數(shù)收斂。本題重在說(shuō)明方法。（3） 。解 因?yàn)?，且由 ，則有 ，即，所以 ，即 。故原級(jí)數(shù)收斂。三 Absolute Convergence and Conditional Convergence現(xiàn)在我們討論一般的級(jí)數(shù)，它的各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)。如果級(jí)數(shù)各項(xiàng)的絕對(duì)值所構(gòu)成的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；如果級(jí)數(shù)收斂，而級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱(chēng)級(jí)數(shù)條件收斂。顯然，級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)，而級(jí)數(shù)是條件收斂級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與級(jí)數(shù)收斂有以下重要關(guān)系：Theorem 8 (Absolute Convergence Test) If the series converges absolutely, the serie

19、s must be convergent.定理8 如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)必定收斂。證明 令 顯然且因級(jí)數(shù)收斂，故由比較審斂法知道，級(jí)數(shù)收斂，從而也收斂。而，由收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)可知，所以級(jí)數(shù)收斂。說(shuō)明：本結(jié)論使得許多任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別問(wèn)題，化為正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別問(wèn)題。應(yīng)該注意：并不是每個(gè)收斂的級(jí)數(shù)都是絕對(duì)收斂的，如。本證明方法有一定的意義，即非正項(xiàng)級(jí)數(shù)時(shí)要先化為正項(xiàng)級(jí)數(shù)才能使用比較審斂法。Theorem 9 (Rearrangement Theorem) The terms of an absolutely convergent series can be rearranged wit

20、hout affecting either the convergence or the sum of the series.定理9 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)經(jīng)改變項(xiàng)的位置后構(gòu)成的級(jí)數(shù)也收斂，且與原級(jí)數(shù)有相同的和（即絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)具有可交換性）。Theorem 10 (Multiplication of Absolute Convergent Series) Let the series and be absolutely converge to and respectively, then the Cauchy product of them which is denoted by converges t

21、o .定理10 設(shè)級(jí)數(shù)和都絕對(duì)收斂，其和分別為和，則它們的柯西乘積也是絕對(duì)收斂的，且其和為。Example 7 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，是絕對(duì)收斂，還是條件收斂？（1） 。解 顯然絕對(duì)收斂。（2） 。 解 當(dāng)時(shí)，顯然收斂。 當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。（此時(shí)，比值審斂法的原理是，即不滿足必要條件，所以不必去判斷是否條件收斂了。）且 時(shí)，條件收斂； 時(shí)，發(fā)散。（3） 。解 發(fā)散。（4） 。解 ，而 是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)， 收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。或 而 收斂（公比小于1，由比較審斂法，故此。）（5） 。 解 ， 則， 因?yàn)?，所以級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂。 又因 ， 且 ，所以原級(jí)數(shù)為條件收斂。（6） 。 解 ，而前一級(jí)數(shù)條件收斂，后一級(jí)數(shù)發(fā)散，故根據(jù)性質(zhì)知原級(jí)數(shù)發(fā)散。 關(guān)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，其重點(diǎn)是絕對(duì)收斂性和萊布尼茨型交錯(cuò)級(jí)數(shù)。至于一般的任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判定是很復(fù)雜的問(wèn)題，至今我們的認(rèn)識(shí)也是很有限的。Example 8 設(shè)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，而級(jí)數(shù)為正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)，證明：級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。證明 由絕對(duì)收斂，則其部分和極限存在。因?yàn)?/p>