例談數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

1、例談數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用內(nèi)容摘要:1、構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問題2、用代數(shù)與三角解決幾何問題關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是空間形式和數(shù)量關(guān)系。形與數(shù)是數(shù)學(xué)的兩大支柱，它們是對(duì)立的，又是統(tǒng)一的，辯證地以數(shù)表形和以形示數(shù)，是探索和解決數(shù)學(xué)問題的重要途徑，勿視形與數(shù)的任何一個(gè)方面，都將使數(shù)學(xué)變得殘缺不全，正如我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚所述：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。數(shù)學(xué)思想就是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法是密不可分，對(duì)于數(shù)學(xué)方法來說，思想是其相應(yīng)的方法的精神實(shí)質(zhì)和理論基礎(chǔ)，方法則是實(shí)施有關(guān)思想的

2、技術(shù)手段。中學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和各種數(shù)學(xué)方法，都體現(xiàn)著一定的數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)思想中，有一類思想是體現(xiàn)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果，這些思想可以稱之為基本數(shù)學(xué)思想。中學(xué)階段的基本數(shù)學(xué)思想包括：分類討論的思想；數(shù)形結(jié)合的思想，變換與轉(zhuǎn)化的思想，整體思想，函數(shù)與方程的思想，抽樣統(tǒng)計(jì)思想，極限思想等等。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中處處滲透著基本數(shù)學(xué)思想。如果能使它落實(shí)到學(xué)生學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)上，它就能在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力方面發(fā)揮出一種方法論的功能。在這些數(shù)學(xué)思想方法中數(shù)形結(jié)合思想是一種很重要的方法，它貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)課程。本文對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用談?wù)勔恍┳约旱目捶?。?shù)形結(jié)合

3、就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來思索，使抽象思維和形象思維結(jié)合相結(jié)合?？墒箯?fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。數(shù)形結(jié)合有兩種基本形式，一是“形”的問題轉(zhuǎn)化為用數(shù)量關(guān)系去解決，運(yùn)用代數(shù)、三角知識(shí)進(jìn)行討論，它往往把技巧性極強(qiáng)的推理論證轉(zhuǎn)化可具體操作的代數(shù)運(yùn)算，很好在起化難為易的作用。在解析幾何中就常常利用數(shù)量關(guān)系去解決圖形問題。二是“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為形狀的性質(zhì)去解決，它往往具有直觀性，易于理解與接受的優(yōu)點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合在解題過程中應(yīng)用十分廣泛，如在解方程和解不等式問題中,在求函數(shù)的值域和最值問題中,在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問題中都有體現(xiàn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，不僅直觀易于尋

4、找解題途徑，而且能避免繁雜的計(jì)算和推理，簡(jiǎn)化解題過程，這在選擇、填空題解答中更顯優(yōu)越。下面就數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)習(xí)中的應(yīng)用做一個(gè)簡(jiǎn)單的分析。一、構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問題1.構(gòu)造數(shù)軸解決某些問題例1：已知：a、b均為負(fù)數(shù)，c為正數(shù)，且|b|>|a|>|c|化簡(jiǎn)1+|"。|+護(hù)-2的。解：依題意，畫數(shù)軸、標(biāo)出各數(shù)。得b<a<0<c,且b+c<0,a-c<0,b-a<0,j>=|A+c+a-c+1=-(S+t；)-a-c)-(b-a)=-ti-c-a+ic-b+a=-2說明：通過構(gòu)造數(shù)軸，將表示a、b、c的點(diǎn)標(biāo)在數(shù)軸上后，便能直觀地看出b+

5、c<0,a-c<0,b-a<0,再來化簡(jiǎn)代數(shù)式就不易出錯(cuò)了。2、構(gòu)造三角形去解決問題例2:已知x,y,z,r均為正數(shù)，且x2+y2=z2,zdx2-r2=x2求證:rz=xy分析：由x2+y2=z2,自然聯(lián)想到勾股定理，由z、；x2-r2=x2,可以聯(lián)想到射影定理，從而可以作出符合題設(shè)條件的圖形。對(duì)照?qǐng)D形，結(jié)論的正確性則一目了然。B說明：仔細(xì)觀察，善于聯(lián)想是構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問題的關(guān)鍵。、用代數(shù)與三角方法解決幾何問題例3:如圖，在ABC中，AB>AC,CF,BE分別是AB及AC邊上的高試證：AB+C同AC+BE證明：因?yàn)?MsinAM1,所以ABAC之（ABAC）sinA=ABAC*sinA_ACABsinA=AB CF _ AC BE（當(dāng)/ A = 900時(shí)取等號(hào)）BC說明：采用了三角法與代數(shù)法，較之純幾何證法來，易于想到。數(shù)形結(jié)合思想貫穿于整個(gè)中學(xué)階段，最重要、最常用的數(shù)學(xué)思想方法之一，是中學(xué)數(shù)學(xué)的精髓。然而數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)并不是一個(gè)單一的過程，各種思想方法是相互聯(lián)系，相互滲透，往往幾種數(shù)學(xué)思想、方法交織在一起。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過程。在教學(xué)過程中依據(jù)具體情況在一段時(shí)間內(nèi)突出滲透與明確一種數(shù)學(xué)思想或方法，效果可能更好些。有關(guān)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，尚是一個(gè)嶄新的研究課題。以