例談均值不等式的運(yùn)用條件和技巧

1、例談均值不等式的運(yùn)用條件和技巧運(yùn)用均值不等式“若ai,a2,KanR,則a1a2Kann/.a2K4,當(dāng)且僅當(dāng)n,ala2an（n2且nN）時(shí)等號(hào)成立”求最值是中學(xué)數(shù)學(xué)求最值的基本方法之一，許多外形與它截然相異的函數(shù)式，常常也能利用它巧妙地求出最值.且運(yùn)用均值定理求最值是歷年來(lái)高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，因此必須熟練掌握他的運(yùn)用條件和運(yùn)用技巧一、重視運(yùn)用過(guò)程中的三個(gè)條件：“一正、二定、三相等”，三者缺一不可。（1） 注意“正數(shù)”一一，1例1、求函數(shù)yx的值域.誤解：Qx12Jx-2（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)），所以值域?yàn)?,.xx這里錯(cuò)誤在于使用均值定理ab20b時(shí)忽略了條件：a,bRx x2（僅當(dāng)x 1時(shí)取

2、等號(hào)）；一一、，,1正確解法：（a）當(dāng)x0時(shí),x2x2* ( x)( -) 2(僅當(dāng)x 1時(shí)取等號(hào))x - , xx1（b）當(dāng)x0時(shí)，x0而（x）（一）x所以函數(shù)的值域是yy2或y2.（2） 注意“相等”1例2、設(shè)xR,求函數(shù)y3x的最小值.x誤解：拿到很容易想到用均值定理，所以有xR,y2xx；332xx12332ym.332.xx1這里的錯(cuò)誤是沒(méi)有考慮等號(hào)成立的條件.顯然要2xx2，這樣的x不存在，故x導(dǎo)致錯(cuò)誤.此題用均值定理，需要拆項(xiàng)，同時(shí)要等號(hào)成立，需要配一個(gè)系數(shù)正確解法：y以/0333x3x123318(胡口時(shí)取等號(hào))222222x22x22x所以x3 1833 18V,ymin F

3、例 3、設(shè)a,b, x, y R,且有 a2 b23, x2 y2 6,求ax by的最大值2222axby,1,2,222.9慶斛：Qax,byaxby(abxy)KK(1)2222一,，一八9所以axby的最大值為9.2這里(1)取等號(hào)的條件是僅當(dāng)xa,yb；由條件知這是不可能的，所以不可能取到上述的最大值正確解法：Qa2x2b2y22axby,(a2b2)(x2y2)(axby)2僅當(dāng)axbyaxby時(shí)取等，所以axbyJ363夜僅當(dāng)a2b23時(shí)取等號(hào).22xy6一.6如取ab,xy.3,(axby)max3.、2(3)注意“定值”例4、已知x2y1,x,yR，求x2y的最大值.2,x

4、x y、3慶斛：x y (-)3(2)3(2xy)(當(dāng)xy時(shí)取等工又x27xyL時(shí)x2y-.3271.2121以上過(guò)程只能說(shuō)明當(dāng)xy-時(shí)xy.但沒(méi)有任何理由說(shuō)明xy，這種似是32727而非的錯(cuò)誤解法，關(guān)鍵在于運(yùn)用重要不等式放縮后的式子不是定值，致使得不出正確的結(jié)果227，正確解法:x,y R所以僅當(dāng)x 4y ，即xx 2y 11xx4y31/ox2y3x4y(-)(2-)43432,y1時(shí)取等號(hào)，x2y最大值為2.3627二、常用的處理方法和技巧(1) 拆項(xiàng)：為了創(chuàng)設(shè)使用不等式的條件，有時(shí)需將一些項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃?，拆為多?xiàng)之積,從而達(dá)到湊積或和為定值的目的。為了使等號(hào)成立，常遵循“平均分拆”的原

5、則.3例5、求函數(shù)y2x2-(x0)的最小值.x解：y2x2332x2333336(2x22時(shí)取等號(hào))，2x2xV2x2x22x所以僅當(dāng)36x ，ymin(目標(biāo)求和的最值，所以湊積為定值，因此拆3為相同兩項(xiàng)，同時(shí)使得含變量的因子xx的次數(shù)和為零)(2) 裂項(xiàng)：常用于分式形式，且分子所含變量因子的次數(shù)比分母的含變量因子的次數(shù)大或相等時(shí)用此方法。例6、設(shè)x1,求函數(shù)y(x5)(x2)的最小值.x1解：y(x1)4(x1)1x1x15x144一一一；(x1)59(x1取等號(hào))x1x1所以僅當(dāng)x1時(shí)，ymin9.(先盡可能的讓分子變量項(xiàng)和分母相同，然后裂項(xiàng)轉(zhuǎn)化為求和的最值，進(jìn)而湊積為定值。即使得含變量

6、的因子x1的次數(shù)和為零，同時(shí)取到等號(hào))(3)添項(xiàng)：求和的最小值時(shí)，為了使積為定值，需添加某個(gè)項(xiàng)16例7、求函數(shù)y3x22的最小值.2x2解：y3(2x2)-16-y62.3(2x2)162)8362x.2x當(dāng)且僅當(dāng)3(2x2)的y取等號(hào)2x2所以當(dāng)x停虧2,ymin8v36(求和的最值，盡可湊積為定值，因此添加6,再減法6,即使得含變量的因子2x2的次數(shù)和為零，同時(shí)取到等號(hào))1,則x y.的最小值.19例8、右x0,y0,且一一xy解:xy(xy)(1-)199x102,、16d名時(shí)取等號(hào))xyxy；xyxy所以僅當(dāng)9xx 4時(shí)x y的最小值為16.y 12所以求變量出現(xiàn)在分子，已知條件變量在

7、分母，為此添上191 （即乘1即乘一一），變x y 為求和的最值，因此湊積為定值，即使得含變量的因子）的次數(shù)和為零，同時(shí)取到等號(hào) x注意：例8這種解法也叫用“1”的技巧.4、湊系數(shù)：為了求積的最大值，常將因式放入根號(hào)內(nèi)，同乘或同除以某個(gè)正數(shù)，使含變量的各因子之和為常數(shù).例9、求函數(shù)yx2y1X2（0X1）的最大值.解:x4(1X2)4X222(1X2)22X X21 X4( )32.392 X (僅當(dāng)2,2 一一一 一.1 X時(shí)取等號(hào)）因此僅當(dāng) X、- 6T,ymaxX次數(shù)相因此僅當(dāng)x2 3, ymax332 33（把變量都放在同一條件下的根號(hào)里，求積的最值，湊和為定值，因此配變量同且系數(shù)和為

8、零，且取到等號(hào)）2 .例10、已知0x2,求函數(shù)y6x（4X）的最大值.解：0x2,y0y36x2(4x2)2182x2(4x2)(4x2)2X2(4x2)(4x2),32399xR,J18rx-()(一U33(2x24x2取等號(hào))3 3x次數(shù)相同，故把變量放到根號(hào)內(nèi)使次數(shù)（求積的最值，湊和為定值，因此首先配變量升高，再配次數(shù)相同和系數(shù)和為零，且取到等號(hào)）5、分子變量常數(shù)化：常用于分式形式，且分子所含變量因子的次數(shù)比分母的含變量因子的次數(shù)小時(shí)用此方法.例、11設(shè)求函數(shù)y3x2的最大值.X3 4解：由題3x2-3 x3 4x22 203 x x 43d2萬(wàn)整x 4.3（-4取等號(hào)）2 x所以僅當(dāng)可同時(shí)除以分子所含變量因子化為（分子變量因子次數(shù)比分母的小且變量因子不為零,前面形式解）6、取倒數(shù)：已