基于“核心素養(yǎng)”的數(shù)學解題研究(林新建)

1、基于“核心素養(yǎng)”的數(shù)學解題研究漳州一中 林新建一.高中數(shù)學核心素養(yǎng)的具體內容 博士生導師王尚志教授作了“關于普通高中數(shù)學課程標準修訂”的專題報告，提出中國學生在數(shù)學學習中應培養(yǎng)好“數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析”這六大核心素養(yǎng)。 1.數(shù)學抽象 數(shù)學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象的思維過程。 主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構，并且用數(shù)學符號或者數(shù)學術語予以表征。 數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數(shù)學的本質特征，貫穿在數(shù)學的產生、發(fā)展、應用的過程

2、中。2.邏輯推理 邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程。 主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。 邏輯推理是得到數(shù)學結論、構建數(shù)學體系的重要方式，是數(shù)學嚴謹性的基本保證，是人們在數(shù)學活動中進行交流的基本思維品質。3. 數(shù)學建模 數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構建模型解決問題的過程。 主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構建模型，求解結論，驗證結果并改進模型，最終解決實際問題。 數(shù)學模型構建了數(shù)學與外部世界的橋梁，是數(shù)學應用

3、的重要形式。 數(shù)學建模是應用數(shù)學解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學發(fā)展的動力。4. 直觀想象 直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程。 主要包括： 借助空間認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。 直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題、分析和解決數(shù)學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎。5. 數(shù)學運算 數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的過程。 主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選

4、擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等。 數(shù)學運算是數(shù)學活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學結果的重要手段。 數(shù)學運算是計算機解決問題的基礎。6. 數(shù)據(jù)分析 數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程。 主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構建模型對信息進行分析、推斷，獲得結論。 數(shù)據(jù)分析是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學應用的主要方法，已經(jīng)深入到現(xiàn)代社會生活和科學研究的各個方面。 在數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的形成過程中，學生能夠提升數(shù)據(jù)處理的能力，增強基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)思考問題的習慣，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質、關聯(lián)和規(guī)律

5、的活動經(jīng)驗。 二.數(shù)學思想是數(shù)學素養(yǎng)的核心內容 數(shù)學課程標準在修訂的過程中，繼承了我國數(shù)學教學中傳統(tǒng)的“雙基”教學，同時提出了“基本思想、基本活動經(jīng)驗”，使“雙基”上升為“四基”。 這樣突出了培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力，強調了數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應該具備的基本素養(yǎng)。 數(shù)學思想是解決數(shù)學問題的指導思想和重要策略，是體現(xiàn)學生數(shù)學素養(yǎng)、數(shù)學學習的靈魂。 數(shù)學課程標準指出： “學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程使學生理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能，體會和運用數(shù)學思想，獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗”。 在教學中，我們可以窺見數(shù)學思想是伴隨在數(shù)學知識學習、數(shù)學思

6、維活動之中的，數(shù)學思想方法、數(shù)學基本知識轉化為數(shù)學能力是數(shù)學素養(yǎng)的核心體現(xiàn)。 培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力，最終轉化為創(chuàng)造能力，永遠是我們的教學追求。三.立意于思想，運用思想引領解題是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的關鍵要素 知識是載體，方法是手段，思想是靈魂，它們是知識體系的三個層次。 在強調對數(shù)學活動的指導時稱數(shù)學思想。 在強調具體操作（如推理、解題和建模等）時則稱數(shù)學方法。 嚴格來說，數(shù)學方法是數(shù)學思想的具體化。 為什么有許多人解決不了一些并不復雜甚至是簡單的數(shù)學問題呢？ 除了極少數(shù)的人不知道相應的數(shù)學知識外，絕大部分不是不會方法。 而是由于沒有站在思想的高度來思考和引領方法。 或者是因為思想不明確而想不

7、起來用什么方法來處理問題。 因此，唯有立意于思想，樹立起運用思想引領解題的意識，才能真正培養(yǎng)和提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。 以下以全國卷為例予以說明！1.立意于“特殊與一般思想”，運用“特殊化策略”求解“一般性問題” 在數(shù)學全國卷中，經(jīng)常會設置一些具有“一般性” 特征的試題，即“動態(tài)元素對任意情況都成立” ，或“變量間存在相關性與一致性”的試題，以此考查學生對“特殊與一般思想”的理解與應用。 此時應立意于“特殊與一般思想”，運用“特殊化策略”予以求解，能使問題獲得輕松解決。（2014 年高考課標全國卷第 8 題） 設(0,)2，(0,)2，且1sintancos， 則（ ） A32 B22 C32

8、 D22 （2010 年新課標全國卷理科 11 題） 已知函數(shù) lg,010,16,02xxf xxx1 若, ,a b c 互不相等，且 f af b f c，則abc 的取值范圍是 A1,10 B5,6 C10,12 D20,24 （2009 年高考全國卷理科 11 題） 函數(shù)( )f x的定義域為R， 若(1)f x 與(1)f x 都是奇函數(shù)，則 A.( )f x 是偶函數(shù) B. ( )f x 是奇函數(shù) C. ( )(2)f xf x D. (3)f x 是奇函數(shù) （2013 年高考新課標卷理科 16 題） 若函數(shù)( )f x=22(1)()xxaxb的圖像 關于直線2x 對稱，則(

9、)f x 的最大值 是_. 取0 x 和1x ，由 ( 4)(0)ff，( 3)( 1)ff 可得：8a ，15b ，從而 ( )f x 22(1)(815)xxx(1)(1)(3)(5)xxxx 22(43)(45)xxxx 。 令24xxt ，則4t ，(3)(5)ytt 22(215)(1)16ttt 16， 當且僅當1t 時“ ”成立，所以( )f x的最大值為16。 （2012 年高考全國新課標卷理科 16 題） 數(shù)列na滿足1( 1)21nnnaan ， 則na的前 60 項和為_。 由1( 1)21nnnaan ，得121 ( 1)nnnana 。 令11a ，則22a ，31a

10、 ，46a ，51a ， 610a ，71a ，814a ，可以猜想， 奇數(shù)項均為 1；偶數(shù)項是以 2 為首項， 4 為公差的等差數(shù)列， 故6030 2930 1(30 24)18302S 。 （2013 年高考新課標卷理科 11 題） 已知函數(shù)( )f x 22 ,0ln(1),0 xx xxx， 若|( )f x | ax，則a的取值范圍是 A(,0 B(,1 C 2,1 D 2,0 本題按常規(guī)方法求解較為繁瑣， 若能結合選擇題的特征運用特殊化 策略予以求解，簡直不費吹灰之力。 取1x ，得3a ，可排除選項A、B； 取1x ，則ln 2a ，可排除選項 C ， 故正確選項為D。 （201

11、6 年福建省高三質檢考理科 11 題） 已知12,F F 分別為雙曲線222210,0 xyCabab： 的左、右焦點，若點 P是以12FF 為直徑的圓與C右支 的一個交點， 1PF 交C于另一點Q，且12PQQF， 則C的漸近線方程為 A2yx B12yx C2yx D22yx （2016 年福建省高三質檢考理科 12 題） 已知)(xf是定義在R 上的減函數(shù)，其導函數(shù) fx滿足 1fxxfx，則下列結論正確的是 （A）對于任意Rx， )(xf0 （C）當且僅當1 ,x，)(xf0 令( )1xf xe ，則)(xf為R上減函數(shù)， 且( )xfxe ， 1xxfxexxfxe 1xxe ，又

12、1xex ，所以12xxe ， 所以 1fxxfx成立， 以下驗證選項容易判斷正確答案為B。 （2014 年高考全國卷理科 17 題） 已知數(shù)列na的前n項和為nS ， 11a ，0na ，11nnna aS ， 其中為常數(shù)。 （1）證明：2nnaa； （2）是否存在，使得na為等差數(shù)列？ 并說明理由。 本題難在第（）問，難在判斷 是否存在，以及如何求出的值。 其實，若能立意于“特殊與一般思想” ， 借助“特殊化策略”不難使問題輕松 得以解決。 由11a 及11nnna aS ，可得21a ， 又由2nnaa可得31a 。 由問題的一般性知，若na為等差數(shù)列， 則1a ，2a ，3a 必成等差

13、，由2132aaa 即得4，以下不難予以證明。 （2013 年高考新課標卷理科 21 題） 已知函數(shù)( )f x2xaxb，( )g x()xe cxd， 若曲線( )yf x和曲線( )yg x都過點(0,2)P， 且在點 P 處有相同的切線42yx （）求a， b ，c， d 的值； （）若x2 時，( )f x ( )kg x，求 k 的取值范圍。 解析：本題難在第（）問，難在如何對 參數(shù) k 分類討論。 第（）問，由（）知2( )42f xxx， ( )2(1)xg xex。 構造函數(shù)( )F x =( )( )kg xf x=22(1)42xkexxx， 則( )F x=2(2)24

14、xkexx=2(2)(1)xxke(2)x ， 至此需對k分類討論，但許多學生不知應該從何開始 討論，如何分類？ 其實，若能借助“特殊化”策略，不僅可輕松 探明討論方向，而且可大大簡化討論過程。 由題設可知( )0F x 對一切2x 成立，所以 可取0 x 探路。 由(0)0F，即得10k ，所以1k 。 至此問題就好解決了，由( )2(2)(1)xFxxke 12 (2)()xk xek，因2x ，21xee， 只需討論211ke與211ke即可，這是容易做到的。 2.立意于“有限與無限思想”，運用“極限化策略”求解“無限性問題” 在數(shù)學全國卷中，經(jīng)常會設置一些具有“無限性” 特征的試題，即

15、“問題中的變量可無限逼近于某個值，或動點可無限趨向于某個位置”，以此考查學生對“有限與無限思想”的理解與應用。 此時應立意于“有限與無限思想”，運用“極限化策略”將元素極限化，可使問題輕松獲解。（2014 年高考課標全國卷第 8 題） 設(0,)2，(0,)2，且1sintancos， 則（ ） A32 B22 C32 D22 （2010 年新課標全國卷理科 11 題） 已知函數(shù) lg,010,16,02xxf xxx1 若, ,a b c 互不相等，且 f af b f c，則abc 的取值范圍是 A1,10 B5,6 C10,12 D20,24 （2015 年高考新課標卷理科 16 題）

16、在平面四邊形ABCD中，75ABC ， 2BC ，則AB的取值范圍是_。 本題運用極限思想求解簡單快捷 當DA，則75BC ，30A， 由正弦定理得sin30sin75BCAB,從而62AB ， 當 DC，則75AB ，30C， 由正弦定理得sin75sin30BCAB,從而62AB ， 所以( 62, 62)AB。 （2013 年高考新課標卷理科 12 題） 已知點( 1,0)A ，(1,0)B，(0,1)C， 直線 yaxb(0)a 將ABC分割為 面積相等的兩部分，則b的取值范圍是 A.(0,1) B .2 1(1,)22 C .2 1(1,23 D.1 1,)3 2 （2001 年高考

17、全國卷理科 11 題） 一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法： 單向傾斜；雙向傾斜；四向傾斜， 記三種蓋法屋頂面積分別為1P、2P、3P。 若屋頂斜面與水平面所成的角都是，則( ) A.321PPP B.321PPP C.321PPP D.321PPP （2003 年高考全國卷理科 12 題） 已知長方形的四個頂點(0,0)A，(2,0)B，(2,1)C 和(0,1)D。一質點從 AB 的中點0P沿與 AB 夾角 為的方向射到 BC 上的點1P后，依次反射到 CD 、 DA和AB上的點2P、3P和4P（入射角等于反射角） 。 設4P的坐標為4(,0)x。 若412x，則 tan的取值范圍是（ ）

18、 A1( ,1)3 B1 2( ,)3 3 C2 1( ,)5 2 D2 2( ,)5 3 3.立意于“函數(shù)與方程思想”，運用“構造策略”求解“三角問題” 在數(shù)學全國卷中，經(jīng)常以三角函數(shù)為載體，考查求值、最值與取值范圍問題，以此考查學生對“函數(shù)與方程思想”的理解與應用。 此時應立意于“函數(shù)與方程思想”，運用“構造策略”構造出待求最值關于某個變量的函數(shù)，或關于待求值的方程，可使問題輕松得以解決。（2011 年高考新課標卷理科 16 題） 在ABC中，60B ，3AC ， 則2ABBC的最大值為_。 分析：本題是三角形問題，已知一邊及其對角， 無法直接求解，怎么辦？ 注意到本題是最值問題，若能巧妙

19、引入變量， 則可運用正余弦定理建立起待求目標函數(shù)關于 這個變量的函數(shù)，則問題不難獲解。 解析： 設A，則120C，由正弦定理得： sinsin(120)BCAB3sin60，從而 2ABBC2sin(120)4sin5sin3cos 2 7 sin()，故2ABBC的最大值為2 7。 （2015 年高考新課標卷理科 16 題） 在平面四邊形ABCD中，75ABC ， 2BC ，則AB的取值范圍是_。 分析： 本題同樣無法直接求解，因是取值范圍問題， 若能引入變量，建立起目標函數(shù)關于這個變量 的函數(shù)，則問題不難獲解。 解析： 設BAC，則105BCA。 由75及10575知 3075。 在ABC

20、中，由正弦定理得2sinsin(105)AB， 從而知2sin(75)sinAB6262cot22 ( 62,62)。 （2010 年高考新課標卷理科第 11 題） 已知圓 O 的半徑為1，PA、PB為該圓 的兩條切線，A、B為兩切點， 那么PA PB 的最小值為 A42 B32 C42 2 D32 2 分析： 本題也是個最值問題，同樣需引入變量，建立起目標函數(shù)關于這個變量的函數(shù)，問題方能得到解決。解析： 設POA，則1costansinPAPB， 從而cos2PA PBPA PB 222(1sin)(12sin)sin。 作替換，令2sint，(0,1)t ， 則(1)(12 )ttyt12

21、3223tt， 當且僅當12tt，即22t 時“”成立， 故 PA PB 的最小值為2 23。 （2010 年高考新課標卷文科 16 題） 在ABC中，D為 BC 邊上一點， 3BCBD，2AD ，135ADB， 若2ACAB，則_BD 。 分析： 本題也是三角形問題，無論在哪個三角形中，都因條件不足無法直接求解三角形，怎么辦？ 注意到本題是求值問題，若能將待求變量視為已知，則可運用余弦定理建立起關于這個變量的方程，問題可不難獲得解決。解析：設 BDx，則2DCx。 在ADC中，由余弦定理得：222( 2)(2 )22 2cos45bxx ， 化簡得：22244bxx。 在ADB中，由余弦定理

22、得：222( 2)22cos135cxx ， 化簡得：2222cxx。 因為2bc，所以有2244xx22(22 )xx， 解得25x ，所以25BD 。 （2010 年高考新課標卷理科 16 題） 在ABC中，D為 BC 邊上一點， 12BDDC，120ADB，2AD ， 若ADC的面積為33，則_BAC 分析： 本題也是三角形問題，也因條件不夠無法直接求解三角形，怎么辦？ 同樣，因為是求值問題，若能引入變量，建立起關于這個變量的方程，則問題不難獲得解決。解析： 在ADC中，由1sin60332AD DC 可得2( 31)DC ，從而引進變量，設DAC， 則120DCA，由正弦定理得：sin

23、sin(120)DCAD， 化簡可求得45，即45DAC。 在ADB中，同理可求得15BAD，故60BAC。 （2013 年高考新課標卷理科 17 題） 在ABC中，90ABC，3AB ， 1BC ， P 為ABC內一點，90BPC。 （1）若12PB ，求PA； （2）若150APB，求tanPBA。 分析： 本題難在第（2）問，同樣已知一邊及其所對角，無法直接運用正、余弦定理求解，故需引入變量，建立起關于這個變量的方程，問題方能獲解。解析： 設PBA，則90PBC。 在Rt CPB中，1BC ，cos(90)sinBPBC。 在PAB中，因為3AB ，sinBP，150APB， 30PAB

24、，所以由正弦定理可得： sinsinABBPAPBPAB，即3sinsin150sin(30)， 化簡得：4sin3cos，所以3tan4。 設DCAx，則2ADCx，2BDCx， 223BCDx。在CDA中，由正弦定理得： 3sin(2 )sinCDxx，所以32cosCDx。 在BDC中，由正弦定理得：12sin(2 )sin33CDx， 所以2sin(2 )cos3xx， sin(2 )sin()32xx， 2232xkx或(2 )()232xxk， 結合(0,)2x，易得6x或18x。 4.立意于“化歸與轉化思想”，運用“轉化策略”求解“解幾問題” 在數(shù)學全國卷中，常以解析幾何為載體，

25、考查學生對圓錐曲線定義的理解和運用，考查學生對“化歸與轉化思想”的理解和應用。 此時應立意于“化歸與轉化思想”，運用“轉化策略”將問題轉化求解，可使問題輕松得以解決。（2016 年福建省單科質檢理科第 7 題） 已知拋物線 C ：22ypx(0)p，過其 焦點F的直線l交拋物線C于點A、B， 若:3:1AFBF ，則直線 l 的斜率等于 A33 B1 C2 D3 （2014 年高考新課標卷理科 12 題） 已知拋物線 C ：28yx的焦點為F, 準線為l，P是l上一點， Q 是直線PF與C的一個交點， 若4FPFQ ,則QF A.72 B.52 C.3 D. 2 （2015 年高考新課標卷文科

26、 16 題） 已知F是雙曲線C：2218yx 的右焦點， P是C的左支上一點，(0,6 6)A。 當APF周長最小時，該三角形的面積為_。 （2012 年高考新課標全國卷理科 20 題） 設拋物線 C ：22xpy(0)p 的焦點為F， 準線為l，A為C上一點，已知以F為圓心， FA為半徑的圓F交l于B、D兩點。 （1）若90BFD，ABD的面積為4 2， 求p的值及圓F的方程； （2）若A、B、F三點在同一直線m上，直線 n與m平行，且n與 C 只有一個公共點， 求坐標原點到m、n距離的比值。 解析： 第（1）問，因為FBFD，90BFD， 所以2FBFDp，則2FAp， 由拋物線定義知點A

27、到直線BD的距離為 2p。因為ABD的面積為4 2，2BDp， 所以有1224 22pp，解得2p 。 第（2）問， 因為A、B、F三點在同一直線m上， 所以AB為圓F的直徑，90ADB。 由拋物線定義知12ADFAAB， 所以30ABD，直線m的斜率為 33或33，以下不難就m分類討論獲解。 5.立意于“數(shù)形結合思想”，運用“直觀感知策略”求解“函數(shù)問題” 在數(shù)學全國卷中，經(jīng)常以函數(shù)等知識為載體，考查學生運用圖形解決問題的能力，考查對“數(shù)形結合思想”的理解和應用。 此時應立意于“數(shù)形結合思想”，運用“直觀感知策略”予以求解，可使問題輕松得以解決。（2009 年高考全國卷理科第 9 題） 已知

28、直線1yx與曲線yln()xa相切， 則 a 的值為 A.1 B.2 C. -1 D.-2 （2011 年高考新課標卷理科 12 題） 函數(shù)11yx的圖像與函數(shù)2sinyx ( 24)x的圖像所有交點的橫坐標 之和等于 A2 B 4 C 6 D8 本題若立意于“化歸與轉化思想”，運用“直觀感知策略”予以求解， 同樣簡單快捷。直觀感知函數(shù)11yx與函數(shù)2sinyx ( 24)x 的圖像均關于點(1,0)對稱， 兩函數(shù)圖象共有4對交點，而關于 (1,0) 對稱 的兩點的橫坐標之和為2，所以所有交點的 橫坐標之和等于 8 ，選D。 （2013 年高考新課標卷理科 16 題） 若函數(shù)( )f x=22

29、(1)()xxaxb的圖像 關于直線2x 對稱，則( )f x 的最大值 是_. （2015 年高考新課標卷理科 12 題） 設函數(shù)( )(21)xf xexaxa，其中1a ， 若存在唯一的整數(shù)0 x使得0()0f x， 則a的取值范圍是（ ） A3,1)2e B33,)24e C33,)24e D3,1)2e 由已知存在唯一的整數(shù)0 x， 使得0()0f x即000(21)0 xexaxa， 從而知存在唯一的整數(shù)0 x， 使得000(21)xexaxa。 作出( )(21)xf xex與( )g xaxa的圖象， 直觀感知過定點 (1,0) 的直線 yaxa必須 介于點 (0, 1)和3(

30、 1,)e之間， 從而由(0)1,3( 1)gge 可得3,1)2ae，故選D。 （2012 年高考新課標卷理科 21 題） 已知函數(shù)( )fx滿足 121( )(1)(0)2xfxfefxx 。 （）求( )fx的解析式及單調區(qū)間； （）若21( )2fxxaxb， 求(1)ab的最大值。 本題難在第（）問，若能立意于“數(shù)形結合思想”，運用“直觀感知策略”予以求解，可有效簡化求解途徑。第（）問，因21( )2xf xexx， 故由21( )2f xxaxb得(1)xeaxb 。 畫出函數(shù)xye與(1)yaxb的圖象， 直觀感知要使上式恒成立，必須10a ， 因此，要使(1)ab最大，必須0b

31、 。 又(1)xeaxb恒成立，直觀感知 函數(shù)xye與(1)yaxb的圖象必須相切。 設切點為00(,)P xy， 則000(1)xyeaxb ，且01xea 。 聯(lián)立可得0ln(1)xa，(1)(1)ln(1)baaa， 故22(1)(1)(1) ln(1)abaaa。 令22( )lnh xxxx(0)x ，則( )(12ln)hxxx， 可知 ( )h x 在(0,) e 上遞增，在(,)e 上遞減， 故當 xe時， ( )g x 有最大值2e， 即當1ae ，be時，(1)ab取得最大值2e。 與參考答案比較，上述第（）問的解法更加優(yōu)美，使我們感到： （1）立意于數(shù)形結合思想，運用直觀

32、感知策略不但回避了分類討論帶來的麻煩，而且思維更加流暢、更容易接近問題的本質； （2）思維的“拐點”，就是數(shù)學思想的“發(fā)源地”。 數(shù)學解題時要關注細節(jié)、發(fā)掘隱含信息，在思維的“拐點”處下功夫，運用數(shù)學思想“解碼”，往往會有“踏破鐵鞋無覓處，柳暗花明又一村”的收獲。6.立意于“設而不求思想”，運用“虛設反代策略”求解“零點問題” 在數(shù)學全國卷中，經(jīng)常以函數(shù)零點知識為載體，考查學生對“設而不求思想”的理解和應用。 此時應立意于“設而不求思想”，運用“虛設反代策略”予以求解，可使問題輕松得以解決。（2013 年高考新課標卷理科 21 題） 已知函數(shù)( )ln()xf xexm。 ()設0 x 是(

33、)f x 的極值點，求m， 并討論( )f x 的單調性； （）當2m 時，證明( )0f x 。 本題的求解有個難點，即導函數(shù)的零點求不出來，怎么辦？ 這就必須在思想上立意，引領學生運用“函數(shù)與方程思想、設而不求思想”予以求解。（2012 年高考新課標全國卷文科 21 題） 設函數(shù)( )2xf xeax。 ()求( )f x 的單調區(qū)間； ()若1a ，k為整數(shù)，且當0 x 時， () ( )10 xk fxx ，求 k 的最大值。 （2015 年高考課標卷文科 21 題） 設函數(shù)2( )lnxf xeax。 （）討論( )f x 的導函數(shù)( )fx 零點的個數(shù)； （）證明：當0a 時，2(

34、 )2lnf xaaa。 7. 立意于“正難則反思想”，運用“轉換策略”求解“正難問題” 在數(shù)學全國卷中，經(jīng)常以函數(shù)、數(shù)列等知識為載體，命制一些正面難以求解的問題，以此考查學生對“正難則反思想”的理解和應用。 此時應立意于“正難則反思想”，運用“轉換策略”將問題轉換求解，可使問題輕松得以解決。（2009 年高考新課標卷理科第 10 題） 若直線1xyab通過點(cossin)M， 則（ ） A221ab B221ab C22111ab D22111ab （2012 年高考新課標卷理科 12 題） 設點P在曲線12xye上， 點Q在曲線ln(2 )yx上，則PQ最小值為（ ） A1 ln2 B2

35、(1 ln2) C1 ln2 D2(1 ln2) （2016 年福建省高三質檢考理科 16 題） 已知點53,1 ,23AB，且平行四邊形ABCD 的四個頂點都在函數(shù) 21log1xf xx的圖象上， 則四邊形ABCD的面積為 （2014 年高考新課標卷理科 23 題） 已知曲線C：22149xy，直線l： 2,22xtyt（ t為參數(shù)） 。 （1）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； （2）過曲線 C 上任意一點P作與 l夾角為 30的直線， 交l于點A，求PA的最大值與最小值。 分析： 對于第（2）問，因為直線PA的方程無法寫出， 點A的坐標更無法求出，故PA的最大值與最小 值無法直接

36、求出，故需對問題予以轉化方能求解。 其實，由直線PA與 l 的夾角為 30可知PA的長 為點P到l距離d的兩倍，所以可將 PA 的長轉化 為點P到 l距離，則問題可輕松獲解。 解析： 由（1）知，直線l的方程為 260 xy。 設(2 cos,3sin)P，則P到l的距離 4cos3sin65d5sin()65， 易知max115d，min15d， 故max225PA，min25PA。 （2014 年高考新課標卷理科 21 題） 設函數(shù)1( )lnxxbef xaexx， 曲線()yfx在點 (1,(1)f處的切線 方程為(1)2ye x。 （）求a，b； （）證明： ()1fx。 解析 ：

37、第（ ） 問 容易 ， 易得1a ，2b 。 故12( )lnxxefxexx。 第（）問， 直觀的想法是直接對函數(shù)求導， 以求得( )fx 的最小值， 并證明min( )1f x。 然而情況肯定不樂觀， 因為( )f x 的結構很復雜， 對它求導求最值顯然不太可能。 怎么辦？ 這就需要在思想上立意，引領學生運用“化歸與轉化思想”對待證函數(shù)的式子結構進行轉換證明。由( )1f x 得2lnxxxxee， 運用導數(shù)法不難證得： ( )lng xxx1e ，2( )xh xxee1e ， 故當0 x 時，( )( )g xh x，即( )1f x 。 （2010 年高考新課標卷文科 21 題） 設

38、函數(shù)2( )(1)xf xx eax。 ()若12a ，求( )f x的單調區(qū)間； （II）若當0 x 時( )0f x ，求a的取值范圍。 2010 年新課標全國卷理科 21 題（壓軸題） ： 設函數(shù)( )f x 21xexax 。 （)若0a ，求( )f x 的單調區(qū)間； （）若當0 x 時( )0f x ，求 a 的取值范圍。 評析： 本題是2010年新課標全國卷理科壓軸題，試題的第（）問難住了眾多學生。 而高考標答同樣也讓人費解這樣的解答是如何想到的呢？我們先看下高考試卷給出的解答： （I）0a 時，( )1xf xex ，( )1xfxe ， 當(,0)x 時，( )0fx ； 當

39、(0,)x 時，( )0fx ， 故( )f x 在(,0)上單調遞減，在 (0,) 單調遞增。 第（）問，由（I）可知1xex ，當且僅當0 x 時 等號成立，故( )2(12 )fxxaxa x。 當120a即12a 時，( )0(0)fxx， (0)0f，當0 x 時，( )0f x 。 由1(0)xex x可得1(0)xex x， 則當12a 時，( )12 (1)xxfxea e (1)(2 )xxxeeea。 當(0,ln 2 )xa時，( )0fx ，而(0)0f， 當(0,ln 2 )xa時，( )0f x 。 綜上得 a 的取值范圍為1(,2。 這里的問題是憑什么想到“由1(0)xex x 可得1(0)xex x ” ，又憑什么想到就“12a ” 對“( )1 2xfxeax ”作如此的變形 “( )12 (1)xxfxea e (1)(2 )xxxeeea”呢？ 第(I)問很常規(guī)。第（）問，當0 x 時( )0f x ，即 210 xexax 。自然的想法是分離 參數(shù)，21xaxex (0)x 。 當0 x 時， a R ； 當0 x 時，作變換21xexax ， 然后求右式的最小值。 這是一個自然的思路， 屬于數(shù)學活動的經(jīng)驗。 但我們發(fā)現(xiàn)，沿著這個思路，是不能繼續(xù)下去的。 （令21( )xe