充分條件與必要條件

1、1.2.1充分條件與必要條件1 1、命題：、命題：可以判斷真假的陳述句，可寫成：若可以判斷真假的陳述句，可寫成：若p則則q。 2、四種命題及相互關(guān)系：、四種命題及相互關(guān)系：一、復(fù)習(xí)引入一、復(fù)習(xí)引入逆命題逆命題若若q則則p原命題原命題若若p則則q否命題否命題若若 p則則 q逆否命題逆否命題若若 q則則 p 互逆互逆互逆互逆互互 否否互互 否否互為互為 逆否逆否注注：兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性。兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性。一、復(fù)習(xí)引入一、復(fù)習(xí)引入（2）因?yàn)槿簦┮驗(yàn)槿鬭b=0 則應(yīng)該有則應(yīng)該有a=0 或或b=0。 所以并不能得到所以并不能得到a一定為一定為0。3、例、例

2、:判斷下列命題的真假。判斷下列命題的真假。 （1）若）若xa2+b2，則，則x2ab 。 （2）若）若ab=0,則則a=0。真命題真命題假命題假命題解解（1）因?yàn)槿簦┮驗(yàn)槿魓a2+b2 ，而，而a2+b2 2ab，所以可以，所以可以 得到得到 x2ab 。 練習(xí)練習(xí)1 用符號用符號 與與 填空。填空。 （1） x2=y2 x=y；（2）內(nèi)錯角相等）內(nèi)錯角相等 兩直線平行；兩直線平行；（3）整數(shù)）整數(shù)a能被能被6整除整除 a的個位數(shù)字為偶數(shù)；的個位數(shù)字為偶數(shù)；（4）ac=bc a=b 1、如果命題、如果命題“若若p則則q”為真，則記作為真，則記作p q（或（或q p）。）。二、新課二、新課2、如

3、果命題、如果命題“若若p則則q”為假，則記作為假，則記作p q 。1、充分條件的特征是：當(dāng)、充分條件的特征是：當(dāng)p成立時，必有成立時，必有q成成立，但當(dāng)立，但當(dāng)p不成立時，未必有不成立時，未必有q不成立。因此不成立。因此要使要使q成立，只需要條件成立，只需要條件p即可，故稱即可，故稱p是是q成成立的充分條件。立的充分條件。2、必要條件的特征是：當(dāng)、必要條件的特征是：當(dāng)q不成立時，必有不成立時，必有p不不成立，但當(dāng)成立，但當(dāng)q成立時，未必有成立時，未必有p 成立。因此要使成立。因此要使p成立，必須具備條件成立，必須具備條件q，故稱，故稱q是是p成立的必要成立的必要條件。條件。如何正確理解如何正確

4、理解p是是q的充分條件與必要條件的充分條件與必要條件pq3、只要有、只要有p是是q的充分條件就必有的充分條件就必有q是是p的必要條件，但的必要條件，但不是不是p為為q的必要條件。的必要條件。例例1，下列，下列“若若p，則，則q”形式的命題中，哪些命題形式的命題中，哪些命題 中的中的p是是q的充分條件？的充分條件？ （1）若）若x=1，則，則x2 4x+3=0； （2）若）若f（x）=x，則，則f（x）為增函數(shù)；）為增函數(shù)； （3）若）若x 為無理數(shù)，則為無理數(shù)，則x2 為無理數(shù)為無理數(shù)解解：命題（：命題（1）（）（2）是真命題，命題（）是真命題，命題（3）是假命題，）是假命題，所以命題（所以命

5、題（1）（）（2）中的）中的p是是q的充分條件的充分條件 如果已知如果已知p q，則說，則說p是是q的充分的充分 條件，條件， q是是p的必要條件。的必要條件。pq例例2 下列下列“若若p，則，則q”形式的命題中，哪些命題中的形式的命題中，哪些命題中的 q是是p的必要條件？的必要條件？(1) 若若x=y，則，則x2=y2。(2) 若兩個三角形全等，則這兩個三角形的面積相等。若兩個三角形全等，則這兩個三角形的面積相等。(3) 若若ab，則，則acbc。解解：命題：命題（1）（）（2）是真命題，命題（）是真命題，命題（3）是假命題，）是假命題， 所以命題（所以命題（1）（）（2）中的）中的q是是p

6、的必要條件。的必要條件。pqpqpq且且 例例3、下列各題中、下列各題中,那些那些p是是q的充要條件的充要條件? (1)p: b=0, q: 函數(shù)f(x)=ax2+bx+c是偶函數(shù); (2)P: x0,y0, q: xy0; (3)P: ab, q: a+cb+c.解：在解：在(1)(3)中，中，p q, 所以所以(1)(3)中的中的p是是q的充要條件。在的充要條件。在(2)中，中，q p，所以，所以(2)中中p的的不是不是q的充要條件。的充要條件。歸納歸納定義定義2：如果已知：如果已知q p，則說，則說p是是q的必要條件。的必要條件。 1、 定義定義1：如果已知：如果已知p q，則說，則說p

7、是是q的充分條件。的充分條件。 p q，相當(dāng)于，相當(dāng)于P Q ，即，即 P Q 或或 P、Q q p，相當(dāng)于，相當(dāng)于Q P ，即，即 Q P 或或 P、Q p q，相當(dāng)于，相當(dāng)于P=Q ，即，即 P、Q 定義定義3：如果既有：如果既有p q，又有，又有q p，就記作，就記作 則說則說p是是q的充要條件。的充要條件。 p q，口訣口訣:對于具體的數(shù)集對于具體的數(shù)集,以條件集合為基礎(chǔ)以條件集合為基礎(chǔ),小充分小充分,大必要大必要 認(rèn)清條件和結(jié)論。認(rèn)清條件和結(jié)論。 考察考察p q和和q p的真假。的真假。 可先簡化命題。可先簡化命題。 將命題轉(zhuǎn)化為等價的逆否命題后再判斷。將命題轉(zhuǎn)化為等價的逆否命題后再

8、判斷。 否定一個命題只要舉出一個反例即可。否定一個命題只要舉出一個反例即可。1、充分且必要條件、充分且必要條件2、充分非必要條件、充分非必要條件3、必要非充分條件、必要非充分條件4、既不充分也不必要條件、既不充分也不必要條件p是是q的的各種條件的可能情況各種條件的可能情況充分非必要條件充分非必要條件必要非充分條件必要非充分條件既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件充分且必要條件充分且必要條件1）A B且且B A，則，則A是是B的的2）若）若A B且且B A，則，則A是是B的的3 3）若）若A BA B且且B AB A，則，則A A是是B B的的4）A B且且B A，則，則A是是B的的3 3）

9、若）若A BA B且且B AB A，則甲是乙的則甲是乙的2）若）若A B且且B A，則甲是乙的，則甲是乙的1）若）若A B且且B A，則甲是乙的，則甲是乙的充分非必要條件充分非必要條件必要非充分條件必要非充分條件既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件4）若）若A=B ，則甲是乙的，則甲是乙的充分且必要條件充分且必要條件BA1 )AB2 )AB3 )A = B4 )小結(jié)小結(jié) 充分必要條件的判斷方法：充分必要條件的判斷方法：定義法、集合法、等價法（逆否命題）定義法、集合法、等價法（逆否命題）例例4在下列電路圖中，閉合開關(guān)在下列電路圖中，閉合開關(guān)A是燈泡是燈泡B亮的什么條件：亮的什么條件：如圖如圖

10、(1)所示，開關(guān)所示，開關(guān)A閉合是燈泡閉合是燈泡B亮的亮的條件；條件；如圖如圖(2)所示，開關(guān)所示，開關(guān)A閉合是燈泡閉合是燈泡B亮的亮的條件；條件；如圖如圖(3)所示，開關(guān)所示，開關(guān)A閉合是燈泡閉合是燈泡B亮的亮的條件；條件；如圖如圖(4)所示，開關(guān)所示，開關(guān)A閉合是燈泡閉合是燈泡B亮的亮的條件；條件；充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要答：答：命題命題（1）為真命題：）為真命題：練習(xí)、判斷下列命題的真假：練習(xí)、判斷下列命題的真假： （1）x=2是是x2 4x+4=0的必要條件；的必要條件； （2）圓心到直線的距離等于半徑是這條）圓心到直線的距離等于半徑是這條 直線為圓的切線的必要條件；直

11、線為圓的切線的必要條件； （3）sin =sin 是是 = 的充分條件；的充分條件； （4）ab 0是是a 0的充分條件。的充分條件。=命題（命題（2）為真命題；）為真命題；命題（命題（3）為假命題；）為假命題；命題（命題（4）為真命題。）為真命題。例例5、請用、請用“充分不必要充分不必要”、“必要不充分必要不充分”、“充要充要”、“既不充分也不必要既不充分也不必要”填空：填空： (1)“(x-2)(x-3)=0”是是“x=2”的條件的條件. (2)“同位角相等同位角相等”是是“兩直線平行兩直線平行”的條的條件件. (3)“x=3”是是“x2=9”的條件的條件. (4)“四邊形的對角線相等四邊形的對角線相等”是是“四邊形為平行四四邊形為平行四邊形邊形”的條件的條件.充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分充要充要既不充分也不必要既不充分也不必要小結(jié)：小結(jié)：定義定義2：如果已知：如果已知q p，則說，則說p是是q的必要條件。的必要條件。 1、 定義定義1：如果已知：如果已知p q，則說，則說p是是q的充分條件。的充分條件。定義定義3：如果既有：如果既有p q，又有，又有q p，就記作，就記作 則說則說p是是q的充要條件。的充要條件。 p q，充分非必要條件充分非必要條件必要非充分條件必要非