機械優(yōu)化設計第五節(jié)約束優(yōu)化-懲罰函數(shù)法3-5

1、5.3、懲罰函數(shù)法 1、基本思想:(又稱序列無約束極小化方法） 把有約束優(yōu)化問題根據(jù)約束特性構成懲罰函數(shù)并使其加到原目標函數(shù)上，從而轉化為一系列無約束優(yōu)化問題來處理的一種方法。將約束優(yōu)化問題中的不等式和等式約束函數(shù)經過加權轉化后和原目標函數(shù)結合，構成新的目標函數(shù)-懲罰函數(shù)。這種轉化必須滿足如下兩個前提條件：A.不破壞原約束優(yōu)化的約束條件.B.最優(yōu)解必須歸結到原約束優(yōu)化的最優(yōu)解上去。 這種“懲罰”策略，給予無約束極值問題求解過程中企圖違反約束的那些迭代點以很大的目標函數(shù)值，而無約束極值問題的目的是極小化目標函數(shù)，這樣迫使無約束問題的極小點趨向于滿足約束條件。約束優(yōu)化問題數(shù)學模型npvxnmuxg

2、stRxxfuun2, 10)(2, 10)()(min 將目標函數(shù)和約束函數(shù)綜合構造成一種新函數(shù)（經加權處理），即pvvkmuukkkxhHrxgGrxfrrx1)(21)(1)(2)(1)()()(),(式中),()(2)(1kkrrx稱為（增廣目標函數(shù)）懲罰函數(shù)。)(2)(1,kkrr懲罰因子（加權因子）)(xgGu)(xhHv 以某種方式構成的關于 )x(gu)x(hv的泛函數(shù) 稱為加權轉化項。根據(jù)它們在懲罰函數(shù)中的作用，又分別稱為障礙項和懲罰項。障礙項的作用是當?shù)c在可行域內時，在迭代過程中將阻止迭代點越出可行域，懲罰項的作用是當?shù)c在非可行域或不滿足等式約束條件時，在迭代過程中

3、將迫使迭代點逼近約束邊界或等式約束曲面。 懲罰函數(shù)在優(yōu)化過程中迭代點是否為可行點，懲罰函數(shù)又可分為外點懲罰函數(shù)法、內點懲罰函數(shù)法和混合懲罰函數(shù)法三種。1、內點懲罰函數(shù)法（內點法） 該法是求解不等式約束最優(yōu)化問題的一種十分有效的方法，但不能處理等式約束。 主要特點：將懲罰函數(shù)定義在可行域的內部，這樣，每一迭代點都是在可行域內部移動的，因此，從可行域 內部逐漸逼近原約束優(yōu)化問題的解。對于具有不等式約束優(yōu)化問題:muxgRxxfun2, 10)()(min構造內點懲罰函數(shù)法的一般形式：muukkxgrxfrx1)()()(1)(,)()(,1)()(xgnlrxfrxumukk或式中)(kr-懲罰因

4、子,是一個遞減的正數(shù)序列. xgruk1)( xgrukln)( 或 障礙項 xgrxfrxxgrxfrxgukkukkuln)()(1)()(0)()()()(0)2()1()0(rrr且 0lim)(kkr xgruk1)( xgrukln)( 或 障礙項 內點法對企圖從內部穿越可行域的點施以懲罰。設計點離邊界越近 0 xgu時，則障礙項的 值急劇增大,并趨向無窮大,于是懲罰越大,于是懲罰函數(shù) )()(krx亦隨之急劇增大至無窮大. 就好像在可行域的邊界上設置很高的障礙，從而保障迭代點一直在可行域內而又趨向于約束最優(yōu)點。當 0)(krk 時，才能求得 原約束問題的最優(yōu)解。 參數(shù)的選取和確定

5、：給定)k(r 求可行域內初始點0k 計算懲罰因子求解內點懲罰函數(shù)的極小點迭代終止判別 1kk輸出最優(yōu)解 是 否 （1）初始點 參數(shù)的選取和確定)0(x 的確定（教材：采用原機械有關參數(shù)作為初始點）由于內點法的搜索是在可行域內進行，所以初始點應嚴格滿足全部約束條件，即：muxgu2, 10)(初始點采用隨機方法確定初始點。先任選一個設計點 )(kx 作為初始點，一般情況下， )(kx 點不能滿足全部約束條件，可采用某種調整的方法將 )(kx點逐步引入到可行域內成為可行點。（2）初始懲罰因子)0(r的選擇初始懲罰因子)0(r的選擇對于計算效率影響很大.若)0(r 值得太小，則在懲罰函數(shù)中障礙項（

6、懲罰項）的作用就會很小， )(,)(xfrxk這時求懲罰函數(shù) )(,krx的無約束極值點。 猶如求原目標函數(shù))(xf本身的無約束極值點而這個極值點 x又不大可能接近 )(xf的約束極值點,且有跑出可行域的危險。 若)0(r值取得太大，則懲罰函數(shù) )(,krx中的障礙項（懲罰項）大。 )(,)(xfrxk因而求懲罰函數(shù) )(,krx 的無約束極值點就會離約束極值點過遠，需要花費較長的時間才能逐步逼近約束極值點，使計算效率降低。一般建議取501)0(r 但多數(shù)情況 1)0(r 或按下式確定muUxgxfr1)0()0()0()(1)(選取 )0(rmuuxg1)0()(1值，這主要是考慮使障礙項

7、在懲罰函數(shù)中所起的作用與原目標函數(shù)的作用相當。C.懲罰因子的縮減系數(shù)C的選擇由 )()1(kkCrr 可知，縮減系數(shù)C值選得較小，懲罰因子下降快，造成序列最優(yōu)點間隔大。遞減系數(shù)C值選得較大，造成序列最優(yōu)點間隔較密，無約束求優(yōu)次數(shù)必然增多。一般取c=0.10.7之間。D.收斂條件： 同時滿足:(1)相鄰兩次懲罰函數(shù)值相對變化 足夠?。?(2)相鄰兩次懲罰函數(shù)無約束最優(yōu) 點的距離足夠小。4322)1(*)1(*5411)1()1(*)1()1(*)()(1010)832(1010)822(,kkkkkkkkrxrxrrxrrxrrxE.內點法的迭代步驟：選取可行的初始點 )0(x 點不應在邊界上，

8、最好不要靠近任何一個約束邊界。)0(x選取適當?shù)膽土P因子的初值)0(r，縮減系數(shù)C以及收斂精度 21，令迭代次數(shù)K=0。構造懲罰函數(shù) ),()(krx),(min)(krx)(*krx，選擇某一適當?shù)?點。無約束優(yōu)化方法，求判別迭代是否收斂條件(2-82 2-83)若滿足，迭代終止，約束最優(yōu)解為：)()(),()(*)(*kkxxfxfxxx否則: 1,)(*)0()()1(kkrxxCrrkkk令轉。程序框圖如下開 始輸 入Cr,1)0(選 可 行 點)0(X1K從出 發(fā) ，求 解 ：得)1(kX),(min)0(rX)()(*KrX1)1(*)1(*)(*2)1(*)(*),(),(),(

9、)()(KKKKKrXrXrXrXrX輸 出)()()()(*)(*KKrXfXfrXX)()1(KKCrr1 KK結 束是否3.外點懲罰函數(shù)法（外點法） 外點法即可用來求解不等式約束優(yōu)化問題，又可用來求解等式約束優(yōu)化問題。(1)特點：懲罰函數(shù)定義在可行域的外部，從而在求解一系列無約束優(yōu)化問題的過程中，從可行域 的外部逐漸逼近原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。對于約束優(yōu)化問題npvxhmuxgstRxxfvun2, 10)(2, 10)()(min外點法求解時，懲罰函數(shù)的形式為：2, 1)()(, 0max)(),(21)(12)()(kxhrxgrxfrxpvvkmuukk)(kr式中：懲罰因子，是遞

10、增的正數(shù)序列，即)2()1()0(rrrpvvkmuukkxhrxgrrxB12)(21)()()()(, 0max,0,)(krxB懲罰項具體含義如下：（1）當x 在可行域內部和約束邊界上時，滿足所有約束條件：即nppvxhmuxgva,2, 102, 10無論 取何值0,)(krxB此時懲罰函數(shù))(),()(xfrxk等于原目標函數(shù)（2）當x違反這一約束條件，即pvvmuukkvaxhxgrrxBxhxg1221)()()(,00無論)(kr取任何正值，必定有)(krpvvkmuukkxhrxgrrxB12)(21)()()()(, 0max,xfrxrxBkk)()(,0,這表明x 在可

11、行域外面時,懲罰項起著懲罰作用. 離開約束邊界越遠，懲罰項值越大，相當于對違反約束條件的一種“懲罰”，懲罰項值越大，懲罰越重。（3）)(kr 懲罰因子，是一個遞增的正值數(shù)列，即 )(kr)()(*krx隨著迭代次數(shù)的增加， 值越來越大，迫使所求向原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解靠攏。迭代點*)(lim)(lim)2() 1 ()0(xkrxkkrkrrr）（即 2)(xgruk逐漸減小在約束面上時 02)(xgruk2）初始點懲罰因子)0(r及懲罰系數(shù)C如何選取初始點可以任意選擇，不受可行域限制)0(r)0(rmurru2, 1max)0()0(初始懲罰因子及懲罰系數(shù)C的選取初始懲可按下式計算 罰因子

12、式中muxfxmgruu2, 102. 0)0()0()0(105c101)0(crC一般取，一般推薦0)(,1)()(2)(xfrxrxgrkkuk ，因此，最后所求得的最優(yōu)點也就不可能收斂的原問題的最優(yōu)點，而且落在可行域 的外部，顯然這就不能嚴格滿足約束條件，為了克服外界函數(shù)的這一缺點，可對那些嚴格滿足的約束（如：強度，剛度等性能約束）引入約束容差帶)(kr在實際計算中，懲罰因子取值不可能達到3、約束容差帶由于懲罰函數(shù)無約束最優(yōu)點列：,)*()1*()0*(kxxx是從可行域外向約束最優(yōu)點逼近，但最終獲得的最優(yōu)點仍然在非可行域內，仍是非可行點。某些工程設計問題是不允許的為了解決這一問題,在

13、約束邊界的可行域一側加一條容差帶。muxgau2,10式中，a 約束容差，不宜迭取過大，以避免所得結果與最優(yōu)點相差太遠。一般取 431010或在程序中增設一個判據(jù)： muxgau2,1外點法收斂條件和內點法相同，其計算步驟，程序框圖與內點法相。外點法算法步驟g=g+aga0（1）選擇一個適當?shù)?)0(r)0(x210k值和初始點規(guī)定收斂精度 令 )()(*krx（2）用無約束極小化方法求懲罰函數(shù)的無約束極值點 即（3）按2, 1)()(, 0max)(),(21)(12)()(kxhrxgrxfrxpvvkmuukk832822)(*)0()()1(kkkrxxCrr105C1 kk 檢驗精度

14、，滿足精度停止 轉（2） 步 迭代，否則取 4、外點懲罰函數(shù)法和內點懲罰函數(shù)法比較 （1）外點懲罰函數(shù)法既可用來求解不等式約束優(yōu)化問題又可用來求解等式約束優(yōu)化問題，而內點法只能用來求解不等式及其約束優(yōu)化問題。（2）使用外點法時，初始點)0(x 以及以后的迭代所產生的點的軌跡可以位于可行域 內，也可以位于可行域 外。而內點法的初始點以及以后迭代所產生的點的軌跡都要保證在可行域內。 外點法求解的極小點序列位于可行域外逐漸向邊界逼近，但最終仍然為非可行點為了使最終迭代點能落入可行域，必須設置約束容差帶，而內點法求解的極小點序列位于可行域內向邊界逼近。5、混合懲罰函數(shù)法 內點法和外點法各有所長，取長補

15、短將這兩種方法結合起來使用，便形成了混合懲罰函數(shù)法，即對P個等式約束條件,構造外罰函數(shù)，對M個不等式的約束條件，構造內罰函數(shù)。 等約束優(yōu)化問題：npvxhmuxgRxxfvun2, 102, 10min這樣構造的混合罰函數(shù)為：mupvvkukkxhrxgrxfrx112)()()(1)(1)(,式中muukxgr1)()(1障礙項,懲罰因子 )(kr0)2()1()0(rrr按內點法選取即pvvkxhr12)(1)(1kr)()0(10krr懲罰項，懲罰因子當滿足外點法對懲罰因子的要求混合法的求解特點與內點法相同，迭代過程在可行域內進行。 )0(x)0(r初始點懲罰因子初始值均可參考內點混合罰

16、函數(shù)綜合了內外罰函數(shù)法的特點及長0 x)0(r)0(r（1）先在可行域內選擇一個嚴格滿足所有不等選擇適當?shù)膽土P因子初始值，通常可取=1)(1,minkrx)(*krx（2）求得 法選取。計算步驟及程序框圖與內點法相近。處，因而應用非常廣泛。式約束的初始點迭代步驟：)(*krx)()(*,kkrrx（3）如 和 滿足收斂精度，則停止迭代，否則轉入下一步。（4）取)(*)0()()1(;kkkrxxrr轉向第二步。)(,krx)(*krx問題： 外點法：初始點X在可行域內時，不管r0取何值，懲罰項總為零，因此懲罰函數(shù)的極小點，必為原問題的最優(yōu)解。即:)(),(, 0max),(, 0max)(,*

17、)(*12)()(*12)()(xfrxfxgrrxfxgrxfrxknuukknuukk因為： 0, 0max12)(muukxgr所以：)( ,(,)(*)(*kkrxfrx這就說明了)()(*krx為原問題的最優(yōu)解。2, 1, 0max)(),(21)(12)()(kxhrxgrxfrxpvvkmuukk約束優(yōu)化設計方法小結： 1.復合形法 復合形法:是求解約束優(yōu)化問題的一種重要的直接方法。由于這種方法在迭代計算中不必計較目標函數(shù)的一階和二階導數(shù)，也不用一維搜索方法，因此對目標函數(shù)和約束函數(shù)的性態(tài)無特殊要求，程序比較簡單，適用性較廣。但是當設計變量和約束條件較多時計算效率較低，另外還需要

18、給出多變量的區(qū) 間及初始內點。2.內懲罰函數(shù)法 內懲罰函數(shù)法是求解不等式約束優(yōu)化的一種十分有效的方法，它要求初始點必須在可行域內，迭代過程中所產生的多點均為可行設計方案，因此使設計人員有挑選的余地，但這種方法與外點法相比一般收斂較慢，遞減系數(shù)C應滿足0c1 c=0.10.73.外點懲罰函數(shù)法 外點法既可求解不等式又可求解等式約束優(yōu)化問題。這種方法對初始點選擇無特殊要求，由于這種方法的收斂過程是從可行域外向可行域邊界逼近的，因此僅有最優(yōu)解為可行設計方案，設計人員無挑選余地。但這種方法與內點法相比，一般收斂較快，另外，初始罰因子也要選擇適當。罰因子為遞增，遞增系數(shù)1051cc4.混合懲罰函數(shù)法 既

19、可求解不等式約束又可求解等式約束，它是將內點法和外點法的懲罰函數(shù)形式結合在一起，綜合了兩種方法的長處，初始點應在可行域內，懲罰因子按內點法選取，具有內點法特點。 總之，每一種約束優(yōu)化方法都有其各自的特點，有時一種優(yōu)化方法對其一優(yōu)化問題有效而對另一個優(yōu)化問題就不一定有效，這就要求設計人員在掌握各種優(yōu)化方法的特點的基礎上，對具體問題進行具體分析，靈活適用優(yōu)化方法，直至得出最優(yōu)設計方案。第六節(jié) 優(yōu)化設計中應注意的的幾個問題.優(yōu)化方法的選擇二.離散型變量的處理三.多目標函數(shù)優(yōu)化問題的處理四 . 優(yōu)化結果分析 前面幾節(jié)所講的優(yōu)化方法；沒有哪一種方法是萬能的，幾種優(yōu)化方法各有優(yōu)缺點，究竟哪一種方法好，經結

20、合具體實際問題的數(shù)學模型及約束條件。實際運用中，往往不是選擇具體的某一種最優(yōu)方法，而是把幾種方法結合起來。揚長避短，以獲得較好的設計結果。一般在選擇最優(yōu)化方法時，主要考慮兩方面的問題：明確所建立的數(shù)學模型的特點： 如:優(yōu)化問題的維數(shù)，目標函數(shù)的連續(xù)性及其一階、二階偏導數(shù)是否存在，是否容易求解，有無約束，約束條件是不等式約束；還是等式約束，或者兩者兼有。 如具有等式約束，顯然不能直接用復合形法和內點懲罰函數(shù)法。優(yōu)化方法特點及其計算程序特點： 如：該方法的收斂速度，計算精度，可靠性、穩(wěn)定性。通用及普遍性。有無現(xiàn)成程序可用。二.離散型變量的處理 在實際工程優(yōu)化設計問題中，有些變量只能是離散變量。如齒

21、輪的模型，齒數(shù)，型材的規(guī)格。設計手冊中的一些標準化、規(guī)范化離散變量如何處理。離散設計變量及優(yōu)化所得離散變量的處理。1) 曲線擬合技術： 選定一種曲線去折合那些離散點，從而獲得可以描述該點列離散規(guī)律的近似函數(shù)表達式，建立數(shù)學模型。 (擬合曲線近似描述離散點的變化規(guī)律)（1） 平均法： 找出這些離散點的公共值。這些離散點相對于公共值，上下偏差代數(shù)和為零。以這些公共值構造的代表表征這些離散數(shù)值的規(guī)律。具體步驟如下：a)有m組數(shù)值,預選一個用以擬合的方程式。將此組數(shù)值分別代入 得到m個方程。cbxaxy 2b)如預選方程中有J個待定常數(shù)，則將m個方 程分為J組。c)對每組方程兩端各自相加，合并為一式，

22、 得到J個方程。d) J個方程聯(lián)立求解。得J個待定常數(shù)，從而求得具體擬合方程。最小二乘法。（上學期講過，在此不在重復）三.多目標函數(shù)優(yōu)化問題的處理 在實際中，對于一個零件、部件、機構及分析設計，常常期望幾項設計指標達到最優(yōu)值。這就提出了多目標優(yōu)化設計問題。 例如：車床齒輪變速箱的設計。 提出下列要求： 1）所有齒輪的體積盡可能小。2）齒輪的最大圓周速度盡可能低。3）變速箱的寬度盡可能小。4）各傳動軸間的中心距的布局盡可能小。 在工程實際中的確存在大量的多目標優(yōu)化問題。此類問題往往比較復雜。目前求解這一類問題的方法還不夠完美，有許多理論性問題尚待進一步探討。 這里簡單介紹幾種多目標函數(shù)最優(yōu)化問題

23、所處理方法：多目標函數(shù)的最優(yōu)化問題，其數(shù)學模型的一般表達式為：nTnRxxxxx21求解： )2,1(0)(.)(min)(min)(min21muxgstxfxfxfaq 統(tǒng)一目標法：1）基本思想：人為地構成一種新函數(shù),將多目標優(yōu)化問題轉化為求統(tǒng)一目標函數(shù)的單目標函數(shù)優(yōu)化問題.)()()()(21xfxfxffxfq轉為求 )2, 1(0)(.)()(minmuxgstRxxfan2）統(tǒng)一目標函數(shù)的構成加數(shù)組合法(線性組合,加數(shù)因子法) 基本思想:對多目標函數(shù)問題的各單目標函數(shù)按其重要程度,對應地給出加權系數(shù) )(21qjwwww且 qjwwjqij2, 1011再取 )(xfjjw 與的線

24、性組合為統(tǒng)一目標函數(shù) 即 qjjjxfwxf1)()(然后,求解單目標優(yōu)化問題.)2, 1(0)(.)(min)(min1mjxgstxfwxfjqjjj此解,即為多目標問題的最優(yōu)解關鍵是:確定加權因子,如何選擇這些加數(shù)因子是一個比較復雜的問題,至今在理論上尚未得到完善的解決.加權因子由設計者選定。目標規(guī)劃法: 基本思想:先求出各分目標函數(shù)的最優(yōu)值)(*xfj根據(jù)多 目標優(yōu)化設計的總體要求 對這些最優(yōu)值作適當調整.定出各分目標函數(shù)最合理的值. )2, 1()0(pjfj然后按如下的平方和法來構造統(tǒng)一目標函數(shù) 21)0()0()()( pjjjjffxfxf這就意味著各個分目標函數(shù)分別達到各自最

25、合理值 )0(jf統(tǒng)一目標函數(shù) )(xf為最小 式中除 以 )0(jf是使i無量綱化.理該法關鍵是如何)0(jf制定恰當?shù)淖詈侠碇倒πШ瘮?shù)法: 每個分目標函數(shù) )2, 1()(qjxfj用功效系數(shù) j表示該項設計指標的好壞 (j1表示最好 j0表示最壞) 10j那總功效求數(shù) qq21:表示設計方案的好壞因此max21qqj1表示取得最理想的設計方案.0表明這種設計方案不可行,此時j必有某分目標函數(shù).j0需要調整約束條件或分目標函數(shù)“統(tǒng)一目標函數(shù)”的界值.用總功效系數(shù).j作為max)(:)(21qqxfxf此法計算較繁.但較為有效,比較直觀且調整不易.功效函數(shù)法適用于: 目標函數(shù)既不是愈大愈好,

26、也不是愈小愈好的情況. 此法將一多目標函數(shù)最優(yōu)化問題中的全部q個目標分為: 目標函數(shù)愈小愈好的所謂基用類(材料,工時,成本,重量等)目標函數(shù)值愈大愈好的所謂效益類(產量,產值,利潤,效益等) 則:統(tǒng)一目標函數(shù)可取 qsjjsjjxfxfxf11)()()(s項最小函數(shù) q - s項最大函數(shù))乘除法2)主要目標法3)協(xié)調曲線法4)設計分析法見教材9796P四 優(yōu)化結果分析 優(yōu)化設計計算完成后,必須對計算好結果,進行仔細分析.比較,檢查其合理性,發(fā)現(xiàn)和改正一切可能的錯誤,以便得到一個符合工程實際的最優(yōu)化設計方案,檢查優(yōu)化設計結果可行性和全理性. 1)與原始設計方案的目標函數(shù)作比較,通過作圖,曲線或

27、列表,等原始方案的目標函數(shù)進行比較,查看優(yōu)化結果是否正常.2)檢查最優(yōu)設計變量滿足約束條件 查找原因,數(shù)學模型是否有誤,選擇其它優(yōu)化方法重新計算.3)優(yōu)化結果是否合理: 優(yōu)化所得的結果一般只能認為是局部最優(yōu)解,并一定是全局最優(yōu)解,處理方法:一是選幾個初始點進行試計算或選用不同的優(yōu)化方法進行試計算,從所得各個最優(yōu)解中篩選出最佳的結果作為最優(yōu)解,這時雖然還不能確定為全局最優(yōu)解,但能肯定是幾個局部最優(yōu)解最佳的結果.4)設計變量的處理: 工程實際設計中的.設計變量即有連續(xù)型,又有離散型, 1)對于設計變量全為整數(shù)型的最優(yōu)化設計問題,可用整數(shù)規(guī)劃方法去求解. 2)對于混合型設計變量的最優(yōu)化設計問題:將全部設計變量都假定為連續(xù)型,取得最優(yōu)解后,再進行處理.將原為整數(shù)型和離散型的設計變量的非整數(shù)值和非應有的離散數(shù)值,調整到離它最近的整數(shù)值和離散值(在可行域內進行)無約束優(yōu)化方法小結 前面我們一共介紹了六種較為常用的無