九年級(jí)數(shù)學(xué)一元二次方程帶答案

1、第二章 一元二次方程第1講 一元二次方程概念及解法【知識(shí)要點(diǎn)】一. 知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)二、一元二次方程的四種解法 直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法1. 直接開平方法是解一元二次方程的常用方法之一，適用于方程經(jīng)過適當(dāng)整理后，可化為或的形式的方程求解。當(dāng)時(shí)，可兩邊開平方求得方程的解；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。2. 因式分解法解方程的步驟：（1）將方程一邊化為0；（2）將方程另一邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；（3）令每個(gè)一次因式等于0，得到兩個(gè)一元一次方程后求解，它們的解就是原一元二次方程的解。3. 配方法解一元二次方程的步驟為：（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1（2）移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)。

2、（3）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方（4）原方程變?yōu)榈男问剑?）如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可用直接開平方法求出方程的解。4. 公式法解一元二次方程的基本步驟：（1）將方程化為一般形式，確定a、b、c的值；（2）計(jì)算的值并判別其符號(hào)；（3）若，則利用公式求方程的解，若，則方程無實(shí)數(shù)解?！镜湫屠}】（1）（用因式分解法） 解：（2）（用公式法） 解：（3）（用配方法）解：【經(jīng)典練習(xí)】一、直接開方法（1） （2）二、配方法注：（1） （2）二、公式法1. 用求根公式法解下列方程；解：； 解：；解： ； 解：； 解：；解：； 解：(7)方程無實(shí)數(shù)根； 解：； 解：(9)先在方程兩邊同乘以100，化為整

3、數(shù)系數(shù)，再代入求根公式， 解：。三、因式分解 1. 用因式分解法解下列各方程：（1）x25x240； 解：；（2）12x2x60；解：；（3）x24x1650 解：；（4）2x223x560；解：；（5）； 解： （6）；解：（7） 解：； （8）； 解： (x2)25(x2)60，(x22)(x23)0，x14，x25；（9）t(t3)28； 解：（9）t23t280，(t7)(t4)0，t17，t24；（10）(x1)(x3)15。解：x24x315，(x6)(x2)0，x16，x222. 用因式分解法解下列方程：（1）(y1)22y(y1)0； 解：； （2）(3x2)24(x3)2；

4、解： （3）9(2x3)24(2x5)20； 解：3(2x3)2(2x5)3(2x3)2(2x5)0，（4）(2y1)23(2y1)20。 解：(2y1)1(2y1)20，三、綜合練習(xí) 1. 下列方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的方程是（ B ） A. 7x2x10B. 9x24(3x1) C. D. 2. 若a，b，c互不相等，則方程(a2bc2)x22(abc)x30（ C ） A. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C. 沒有實(shí)數(shù)根D. 根的情況不確定 解析: 因?yàn)?(abc)212(a2b2c2) 4(2a22b22c22ab2ac2bc) 4(ab)2(bc)2(ca)203.

5、若方程的兩個(gè)實(shí)根的倒數(shù)和是S，求：S的取值范圍。 分析：本題是二次方程與不等式的綜合題，即利用方程有兩個(gè)實(shí)根，求出m的取值范圍，再用S的代數(shù)式表示m，借助m的取值范圍就可求出S的取值范圍。 解：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)根為 方程有兩個(gè)實(shí)根 。4. 已知關(guān)于x的方程x2(2m1)x(m2)20。m取什么值時(shí)， （1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？ （2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？ （3）方程沒有實(shí)數(shù)根？ 解析:(2m1)24(m2)25(4m3)。 （1）當(dāng)，即時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； （3）當(dāng)時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根。5. 已知關(guān)于x的方程 （1）求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)

6、k，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 （2）如果a是關(guān)于y的方程 的根，其中為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。 求：代數(shù)式的值。 分析：第（1）題直接運(yùn)用根的判別式即可得到結(jié)論，第（2）題首先利用根與系數(shù)關(guān)系可將方程化成，再利用根的定義得到，將代數(shù)式化簡(jiǎn)后，把整體代入即可求出代數(shù)式的值。 （1）證明： 對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 （2）解：是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 方程 a是方程的根， 注：第（2）問中的整體代換在恒等變形中有廣泛的應(yīng)用。6. 已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之差的平方為m （1）試分別判斷當(dāng)時(shí)，是否成立，并說明理由； （2）若對(duì)于任意一個(gè)非零的實(shí)數(shù)a，總成立，求實(shí)數(shù)c及m的值。

7、 解：（1）原方程化為 即成立 當(dāng)時(shí)，原方程化為 由，可設(shè)方程的兩根分別為 則 即不成立 （2）設(shè)原方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根是 則 對(duì)于任意一個(gè)非零的實(shí)數(shù)a，都有第2講 根的判別式【知識(shí)要點(diǎn)】1.根的判別式： 關(guān)于x的一元二次方程 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根 當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)根【典型例題】1. a，b，c是三角形的三條邊， 求證：關(guān)于x的方程b2x2(b2c2a2)xc20沒有實(shí)數(shù)根分析：此題需證出0。已知條件中a，b，c是三角形的三邊，所以有a0，b0，c0。還應(yīng)注意有一個(gè)隱含關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊”，“任意兩邊之差小于第三邊”。 證明：因?yàn)?b2c2a2)24b2c

8、2 (b2c2a2)2bc(b2c2a2)2bc (bc)2a2(bc)2a2 (bca)(bca)(bca)(bca)。 (要判斷這個(gè)乘積是不是負(fù)的，應(yīng)審查每個(gè)因式的正、負(fù)) 因?yàn)閎ca，即bca0， 同理bca0，又cab，即bca0。 又abc0，所以(bca)(bca)(bca)(bca)0。 所以，原方程沒有實(shí)數(shù)根。【經(jīng)典習(xí)題】為三邊長(zhǎng)的三角形是（ ） A. 以a為斜邊的直角三角形 B. 以c為斜邊的直角三角形 C. 以b為底邊的等腰三角形 D. 以c為底邊的等腰三角形 2. 已知關(guān)于x的一元二次方程（1）k取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足，求k的值。 解

9、：（1） 解得時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 （2），分兩種情況 當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。 當(dāng) 由根與系數(shù)關(guān)系，得 3. 已知方程的兩根的平方和為11，求k的值。 解：設(shè)方程的兩根為 則有 當(dāng)。 注：用根與系數(shù)關(guān)系后，要計(jì)算判別式檢驗(yàn)是否有實(shí)根。4含有絕對(duì)值的一元二次方程 （1）. 方程x|x|8|x|40的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 解： 顯然x0不是方程的根。 當(dāng)x0時(shí)，xx8x40。 x0的任何實(shí)數(shù)不可能是方程的根。 當(dāng)x0時(shí)，方程為x28x40。 此方程兩根之積為40，可見兩根為一正一負(fù)。又因x0， 故負(fù)根舍去。所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。應(yīng)選A。 （2）. 求方程x

10、2|2x1|40的實(shí)數(shù)根。 解：令得 顯然不是方程的解 當(dāng)時(shí)，方程是 即 x1舍去，x3 當(dāng)時(shí)，方程是 即解得 舍去， 故方程的實(shí)數(shù)根是。5a，b，c，d為有理數(shù)，先規(guī)定一種新的運(yùn)算：，那么=18時(shí)，x= 。6. 已知是方程的兩根，求代數(shù)式的值。7.（廣東廣州，19，10分）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求的值。【分析】由于這個(gè)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，因此，可得出a、b之間的關(guān)系，然后將化簡(jiǎn)后，用含b的代數(shù)式表示a，即可求出這個(gè)分式的值【答案】解：有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即 全品中考網(wǎng)，8.（四川樂山中考）若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根（1） 求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2） 設(shè)，求t的最小

11、值（3） 解：（1）一元二次方程有實(shí)數(shù)根，（4） ， 2分（5） 即，（6） 解得4分（7） （3）由根與系數(shù)的關(guān)系得：， 6分（8） ， 7分（9） ，（10） ，（11） 即t的最小值為4 10分9.（ 四川綿陽中考）已知關(guān)于x的一元二次方程x2 = 2（1m）xm2 的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2（1）求m的取值范圍；（2）設(shè)y = x1 + x2，當(dāng)y取得最小值時(shí)，求相應(yīng)m的值，并求出最小值【答案】（1）將原方程整理為 x2 + 2（m1）x + m2 = 0 原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， = 2（m1）24m2 =8m + 40，得 m（2） x1，x2為x2 + 2（m1）x + m2 = 0的兩

12、根， y = x1 + x2 =2m + 2，且m因而y隨m的增大而減小，故當(dāng)m =時(shí)，取得極小值110.（ 湖北孝感中考）關(guān)于x的一元二次方程、 （1）求p的取值范圍；（4分） （2）若的值.（6分）【答案】解：（1）由題意得：2分解得：4分 （2）由得，6分8分9分10分說明：1可利用代入原求值式中求解；11.（山東淄博中考）已知關(guān)于x的方程（1）若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；（2）若這個(gè)方程有一個(gè)根為1，求k的值；（3）若以方程的兩個(gè)根為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的點(diǎn)恰在反比例函數(shù)的圖象上，求滿足條件的m的最小值【答案】解: （1）由題意得0化簡(jiǎn)得 0，解得k5（2）將1代入方程，整理得，解這

13、個(gè)方程得 ，.（3）設(shè)方程的兩個(gè)根為，根據(jù)題意得又由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，那么，所以，當(dāng)k2時(shí)m取得最小值512.（廣東茂名中考）已知關(guān)于的一元二次方程（為常數(shù)）（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）設(shè)，為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，試求出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根和的值 【答案】解：（1），·················2分因此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根······

14、;···························3分（2），······················

15、;···············4分又，解方程組： 解得：·····················5分方法一：將代入原方程得：，·········&

16、#183;······6分解得：··········································&#

17、183;······7分方法二：將代入，得：，······················6分解得：··················&#

18、183;······························7分第3講 根與系數(shù)的關(guān)系【知識(shí)要點(diǎn)】 1. 根與系數(shù)關(guān)系關(guān)于x的一元二次方程 當(dāng)推論1：推論2：【典型例題】1. 已知方程的兩個(gè)實(shí)根中，其中一個(gè)是另一個(gè)的2倍，求m的值。 解：設(shè)方程的一個(gè)根為x，另一根2x 由根系關(guān)系知： 解得：

19、2. 已知方程的兩根不解方程，求和的值。解：由題設(shè)條件【經(jīng)典習(xí)題】一. 選擇題。 1. 已知是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，則k與另一根分別為（ ） A. 2，-1B. -1，2C. -2，1D. 1，-2 2. 已知方程的兩根互為相反數(shù)，則m的值是（ ） A. 4B. -4C. 1D. -1 3. 若方程有兩負(fù)根，則k的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 4. 若方程的兩根中，只有一個(gè)是0，那么（ ） A. B. C. D. 不能確定 5. 方程的大根與小根之差等于（ ） A. B. C. 1D. 6. 以為根的，且二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 二. 填

20、空題。 7. 關(guān)于x的一元二次方程的兩根互為倒數(shù)，則m_。 8. 已知一元二次方程兩根比2：3，則a，b，c之間的關(guān)系是_。 9. 已知方程的兩根，且，則 _。 10. 已知是方程的兩根，不解方程可得：_，_，_。 11. 已知，則以為根的一元二次方程是_。三. 解答題。 12. 已知方程的兩根，求作以為兩根的方程。13. 設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，且兩實(shí)根的倒數(shù)和等于3，試求m的值?！驹囶}答案】一. 選擇題。 1. A2. B3. D4. B5. C6. B二. 填空題。 7. 8. 設(shè)，則 9. 或 時(shí)，原方程0，故舍去， 10. 11. 由此 或 或 所求方程或三. 解答題。 12. 解：由題

21、意 即 故所求方程是，即 13. 解： 由 由 不符合題意，舍去第4講 一元二次方程的應(yīng)用【知識(shí)要點(diǎn)】1. 列一元二次方程解實(shí)際問題的步驟：（1） 設(shè)：設(shè)好未知數(shù)，根據(jù)實(shí)際問題，可直接設(shè)未知數(shù)，也可間接設(shè)未知數(shù)，不要漏泄單位。（2） 列：根據(jù)題意，利用所蘊(yùn)含的相等關(guān)系列出一元二次方程，注意等號(hào)兩邊的單位要一致。（3） 解：解所列的一元二次方程。（4） 驗(yàn)：檢驗(yàn)所列方程的解是否符合實(shí)際問題情境，將不符合題意的方程的解舍去。（5） 答：根據(jù)題意，寫出答案?！镜湫屠}】1. 某農(nóng)戶種植花生，原來種植的花生的畝產(chǎn)量為200kg，出油率為50%（即每100kg花生可加工成花生油50kg），現(xiàn)在種植新品種

22、花生后，每畝收獲的花生可加工成花生油132kg，其中花生出油率的增長(zhǎng)率是畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率的，求：新品種花生畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率。解：設(shè)新品種花生畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為x， 則有 解得（不合題意，舍去） 答：新品種花生畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率是20%。 注：對(duì)于增長(zhǎng)率問題，解這類問題的公式是，其中，a是原來的量，x是平均增長(zhǎng)率，n是增長(zhǎng)的次數(shù)，b為增長(zhǎng)的量。2. 某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加贏利，盡快減少庫存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件。 求：（1）若商場(chǎng)平均每天要贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？ （

23、2）每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)平均每天贏利最多？ 解：（1）設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，則有 解得 根據(jù)題意，取x=20， 每件襯衫應(yīng)降低20元。 （2）商場(chǎng)每天贏利 當(dāng)時(shí)，商場(chǎng)贏利最多，共1250元 每件襯衫降價(jià)15元時(shí)，商場(chǎng)平均每天獲利最多。【經(jīng)典習(xí)題】1. 一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是5，把這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)位置后，所得的新兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)的乘積為736，求原來的兩位數(shù)。2一次會(huì)議上，每?jī)蓚€(gè)參加會(huì)議的人都相互握了一次手，有人統(tǒng)計(jì)一共握了66次手。這次會(huì)議到會(huì)的有多少人？3某水果批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克贏利10元，每天可售出500千克。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)格不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克?，F(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天贏利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元?【模擬試題】（一）填空題 1. 一元二次方程化為一般式后，_，_，_。 2. 若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的值是_。 3. 關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是_。 4. 關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是1，另一個(gè)根是_，m=_。 5. 若是方程的兩個(gè)根，