分?jǐn)?shù)階傅里葉變換

1、 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換簡介簡介定義與特點(diǎn)發(fā)展與現(xiàn)狀 應(yīng)用Definition & Characteristics 傅里葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法, 傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。 例如在信號(hào)處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成幅值分量和頻率分量分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，是經(jīng)典傅里葉分析法的一種改進(jìn)方式，是基于坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)思想提出的，從分?jǐn)?shù)階傅里葉域與時(shí)、頻域間的關(guān)系可以看出分?jǐn)?shù)階傅里葉變換實(shí)質(zhì)上是一種統(tǒng)一的時(shí)頻變換同時(shí)反映了信號(hào)在時(shí)、頻域的信息。由于它是線性變換，因此避免了傳統(tǒng)時(shí)頻分布

2、的二次變換的交叉項(xiàng)問題。分?jǐn)?shù)階傅里葉變換對(duì)許多種信號(hào)都具有能量聚集特性，通過把信號(hào)聚集在一起，能夠更加合理的去進(jìn)行信號(hào)分析，是一種非常有效的方法。 分?jǐn)?shù)階Fourier變換是信號(hào)在時(shí)頻平面內(nèi)坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度后構(gòu)成的分?jǐn)?shù)階Fourier域上的表示方法，是一種廣義的Fourier變換。現(xiàn)在很多人總喜歡拿分?jǐn)?shù)階傅里葉變換與短時(shí)傅里葉變換、小波變換以及威格納變換這些時(shí)頻分析做比較，從此懷疑分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的實(shí)用價(jià)值。這是對(duì)分?jǐn)?shù)階傅里葉變化的廣義時(shí)頻分析特點(diǎn)認(rèn)識(shí)不足所致。首先，必須聲明的一點(diǎn)是分?jǐn)?shù)階傅里葉變換并不是傳統(tǒng)意義上的時(shí)頻分析，它只是一種廣義的時(shí)頻分析，它并沒有完全解決傳統(tǒng)傅里葉變

3、換在時(shí)頻定位以及分辨率上的局限性。所以，我們要做的工作是在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的基礎(chǔ)上構(gòu)建新的時(shí)頻分析體系，例如短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換、分?jǐn)?shù)階小波包變換等。關(guān)于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換階次的表示問題。很多人都習(xí)慣用分?jǐn)?shù)階傅里葉域相對(duì)時(shí)域的旋轉(zhuǎn)角度來表示相對(duì)分?jǐn)?shù)階傅里葉域的階次，這沒有對(duì)“分?jǐn)?shù)階”三字的進(jìn)行充分認(rèn)識(shí)。所謂分?jǐn)?shù)階傅里葉域是指該變換域相對(duì)時(shí)域的旋轉(zhuǎn)角度是90度的分?jǐn)?shù)倍，不同于以往的FFT、IFFT分別為90度的+1、-1倍，因此稱該種變換為分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，因此，使用旋轉(zhuǎn)角度來表示分?jǐn)?shù)階的階次極為不妥。Development & Current Situation1807年法國科學(xué)家傅里葉

4、為了得到熱傳導(dǎo)方程的簡便解法首次提出了傅里葉分析，由此傅里葉分析被廣泛的應(yīng)用在各種科學(xué)研究和工程技術(shù)方面，并且在這些領(lǐng)域中發(fā)揮了非常關(guān)鍵的作用傅里葉變換對(duì)于分析和處理平穩(wěn)信號(hào)是一種非常準(zhǔn)確和有效地工具，可隨著所研究的對(duì)象和范圍不斷地?cái)U(kuò)展，傅里葉變換的局限性也逐漸的顯現(xiàn)出來，傅里葉變換將信號(hào)在整體上分解為具有不同頻率的正弦（復(fù)指數(shù)）分量，所得的是信號(hào)的整體頻譜，而得不到信號(hào)的局部特性，不能對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行有效地分離，而局部特性對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)是最基本最關(guān)鍵的性質(zhì)。所以人們?yōu)榱四軌蚪鉀Q這一難題，提出并且在所提出的觀點(diǎn)上發(fā)展了一系列有效信號(hào)分析的方法，如分?jǐn)?shù)階傅里葉變換.、小波變換等等，而其中作為傅里

5、葉變換的廣義形式，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換以自身的旋轉(zhuǎn)特性和值的靈活運(yùn)用，受到了業(yè)界人士的高度重視并廣泛的應(yīng)用在眾多領(lǐng)域中。分?jǐn)?shù)階傅里葉變換實(shí)際是一種統(tǒng)一的時(shí)頻變換，同時(shí)也反映出了信號(hào)在時(shí)域和頻域的信息，而與常用的二次型時(shí)頻分布的不同在于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換用單一的變量來表示時(shí)頻信息，并且還沒有交叉項(xiàng)的干擾。相比于傳統(tǒng)的傅里葉變換，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換十分的適用于處理非平穩(wěn)信號(hào)，尤其大部分的類信號(hào)，并且多了一個(gè)自由的變換階數(shù)。所以分?jǐn)?shù)階傅里葉變換在同等條件下能夠得到傳統(tǒng)時(shí)頻分析或者傅里葉變換得到不同的效果，并且所得到的效果比其它方法有著更高的分辨率并且提高了性噪比，而且有力的消除了帶來的一些噪聲。由于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換具有比較成熟的快速離散算法，因此在得到更好效果的同時(shí)還不需要付出更多的計(jì)算代價(jià)。Applicat