初等數(shù)論習(xí)題解答

1、初等數(shù)論習(xí)題解答作業(yè)3一選擇題1，B 2，C 3，D 4，A 二填空題1，自反律 2，對稱性 3，13 4，十進(jìn)位 5，3 6，2 7，1三計(jì)算題1， 解：由Euler定理知：（a,m）=1 則 a (m1 (mod m(3,100=1. 3 (100=3401336013364=33603434 (mod 1003481 (mod 100故：3364的末兩位數(shù)是81.2, 解：132=1694 （mod 5）134=161 (mod 513161 (mod 513321 (mod 513481 (mod 5 1350=1348132 13501324 (mod 5 3, 解： (7,9=1.

2、 只有一個(gè)解7X59Y (mod 97X9Y5 (mod 9解之得：X=2，Y=1X=2+911=2 (mod 94, 解： （24，59）=1 只有一個(gè)解24X7 (mod 5959Y7 (mod 2411Y=7 (mod 2424Z=7 (mod 112Z=7 (mod 1111W=7 (mod 2W =7 (mod 2W=1 (mod 2Z= 2Y=5X=12=47(mod595 解 （45，132）=3，同余式有三個(gè)解。45X21（mod32）15x7 (mod4444y-7 (mod1514y-7 (mod1515z-7 (mod14z7 (mod14y=7x=21x=21+=109

3、 (mod132x=21+=65 (mod132x=21 (mod1326、解 （12，45）=3, 同余式有三個(gè)解。4x+50 (mod154x15y-5由觀察法：x=10, y=3x=10 (mod45x=10+45=25 (mod45x=10+45=40 (mod457、解 37x=25 (mod107107y=-25 (mod3733y=-25 (mod3737z= -25 (mod374z= 25 (mod3733w= -25 (mod37w= -25 (mod37w=3z=31y=34x=99x=99 (mod321x=99+=206 (mod321x=99+=313 (mod32

4、18、解 (m1,m2 1, 即（15，6）1方程組無解9、解 1 （mod7）,72x1 (mod7,2x11 (mod7, x1 =41 （mod8）,63 x21 (mod8, 7x11 (mod8, x1 71 (mod9, 56 x31(mod9, 2x31 (mod9, x3 =5x=7241+6372+5653=288+882+840=2010498 (mod50410、解 x1 1， 315 x11，x1 (mod2 x2 1， 126 x11，x21 (mod5 x3 1， 90x31，6x31, x3 =6 (mod7 x4 1， 70x41，7x41 x4 =4 (mod

5、9x=31511+12512+9063+7045=315+252+1620+1400=3587437 (mod 630三、證明題1、證：設(shè)a=an10n+ an-110n-1+ a2102+ a110+a0an10n 0 （mod5）an-110n-1 0 （mod5）a110 0 （mod5）a0 =5 0 （mod5）a0 (mod55a2、證：設(shè) n=2m+1 m=0,1,2221 （mod3）22m1 （mod3）又2-1 （mod3）22m+1-1 （mod3）22m+12n +10（mod3）3(2n +1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)。3、見作業(yè)1初等數(shù)論習(xí)題解答作業(yè)4一、 計(jì)算題1、 解：=*

6、=所以，同余式x2438 (mod593無解2、 解：=所以，同余式有解。3、 解：=5121，224 329 42165，52= 253所以1、2、3、4、59是11的平方剩余。2、6、7、8、是11的平方非剩余。4、解：=8121，224，329，4216528，622，7215，8213所以 1、2、4、8、9、13、15、16是17的平方剩余3、5、6、7、10、11、12、14是17的平方非剩余。5、解：=6、解：=二、證明題：1、 證設(shè)相鄰兩整數(shù)分別為n,n+1(n+13-n=n3+3n2+3n+1-n3=3n23n+1設(shè)：3n2+3n+10 （mod5）21n2+2m+70 n2

7、+(21+5n+70(n+132132-7=1622(mod5又設(shè)x2=2(mod5=(-1=-1,故x22(mod5無解故（n+13）22(mod 5無解。故相鄰兩整數(shù)的立方差不能被5整除。2、 證：設(shè)m-1(mod4又設(shè) m=x2+y2.對于模4，X與y的剩余的解是-1，1，2，0，x2與y2對模4的剩余僅是0，1因此，m=x2+y2(mod4僅能與0,2同余，即m=0,m=2(mod4這與m=-1(mod4相矛盾，故m=4n-1不能寫成兩平方數(shù)之和。3、 證：（1）m=a2+b2,n=r2m,n=(a2+b2r2=r2a2+r2b2=(ra2+(rb2(2 m=a2+b2, n=c2+d2m,n=(a2+b2(c2+d2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+b2d2+2abcd+(a2d2+b2c2-2abcd=(ac+bd2+(ad-bc24、 證：設(shè) p=a2+b2=c2+d2p2=(a2+b2(c2+d2=(ac+bd2+(ad-bc2 -(1=(ac-bd2+(ad+bc2 -(2又(ac+bd(ad+bc=a2cd+b2cd+abc2+abd2=(a2+b2cd+(c2+d2ab=p(ab+cd -(3 故p(ac+bd 或p(ad+bc。4、 如果p(ac+bd則ac+bd=kp,由此代入(1則p2=k2p2=(ad-bc2于是 ad-bc