【家教資料】高中數(shù)學(xué)必修一_第二章_基本初等函數(shù)(Ⅰ)_復(fù)習(xí)資料

1、必修1 第二章 基本初等函數(shù)()2.1指數(shù)函數(shù)【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（1）根式的概念如果，且，那么叫做的次方根當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，的次方根用符號(hào)表示；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號(hào)表示，負(fù)的次方根用符號(hào)表示；0的次方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有次方根式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開(kāi)方數(shù)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，根式的性質(zhì)：；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， （2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) 【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（4）指數(shù)函數(shù)函

2、數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)圖象定義域值域過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，越大圖象越低2.2對(duì)數(shù)函數(shù)【2.2.1】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（1）對(duì)數(shù)的定義若，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：（2）幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式，（3）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)：，即；自然對(duì)數(shù)：，即（其中）（4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，那么加法： 減法：數(shù)乘：換底公式：【2.2.2】對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（5）對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱對(duì)數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖象0

3、101定義域值域過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對(duì)圖象的 影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高(6)反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑥氖阶又薪獬?，得式子如果?duì)于在中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子，在中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習(xí)慣上改寫(xiě)成（7）反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式中反解出；將改寫(xiě)成，并注明反函數(shù)的定義域（8）反函數(shù)的性質(zhì) 原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域若在原函數(shù)的圖象上，則在反函

4、數(shù)的圖象上一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)2.3冪函數(shù)（1）冪函數(shù)的定義 一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)（2）冪函數(shù)的圖象（3）冪函數(shù)的性質(zhì)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對(duì)稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限 過(guò)定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn) 單調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在上為增函數(shù)如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近軸與軸奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為

5、偶函數(shù)當(dāng)（其中互質(zhì)，和），若為奇數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則是非奇非偶函數(shù)圖象特征：冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當(dāng)時(shí)，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方補(bǔ)充知識(shí)二次函數(shù)（1）二次函數(shù)解析式的三種形式一般式： 頂點(diǎn)式：兩根式：（2）求二次函數(shù)解析式的方法已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式若已知拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求更方便（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為頂點(diǎn)坐標(biāo)是當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在

6、上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)（4）一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來(lái)分析一元二次方程實(shí)根的分布 設(shè)一元二次方程的兩實(shí)根為，且令，從以下四個(gè)方面來(lái)分析此類問(wèn)題：開(kāi)口方向： 對(duì)稱軸位置： 判別式： 端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào) kx1x2 x1x2k x1kx2 af(k)0 k1x1x2k2 有且僅有一個(gè)根x1（或x2）滿足k1x1（或x

7、2）k2 f(k1)f(k2)0，并同時(shí)考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合 k1x1k2p1x2p2 此結(jié)論可直接由推出 （5）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 設(shè)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令（）當(dāng)時(shí)（開(kāi)口向上）最小值 若，則 若，則xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)若，則xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)最大值 若，則 ，則xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)()當(dāng)時(shí)(開(kāi)口向下)最大值若，則 若，則 xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(

8、p)f(q)若，則xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)最小值若，則 ，則xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy01，且. n次方根具有如下性質(zhì)：（1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)；正數(shù)的偶次方根是兩個(gè)絕對(duì)值相等、符號(hào)相反的數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次方根沒(méi)有意義；零的任何次方根都是零.（2）n次方根（）有如下恒等式：；，（a0）.2. 規(guī)定正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： （）； . 例題精講：【例1】求下列各式的值：（1）（）； （2）.解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，； 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.（2）. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【例2】已知，求的值.解：.【例3】化簡(jiǎn)：（1）； （2）（a0

9、，b0）； （3）.解：（1）原式=.（2）原式=.（3）原式=.點(diǎn)評(píng)：根式化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí)，切記不能混淆，注意將根指數(shù)化為分母，冪指數(shù)化為分子，根號(hào)的嵌套，化為冪的冪. 正確轉(zhuǎn)化和運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)，是復(fù)雜根式化簡(jiǎn)的關(guān)鍵.【例4】化簡(jiǎn)與求值：（1）； （2）.解：（1）原式= = =4.（2）原式= =.點(diǎn)評(píng)：形如的雙重根式，當(dāng)是一個(gè)平方數(shù)時(shí)，則能通過(guò)配方法去掉雙重根號(hào)，這也是雙重根號(hào)能否開(kāi)方的判別技巧. 而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小題也體現(xiàn)了一種消去法的思想. 第（1）小題還可用平方法，即先算得原式的平方，再開(kāi)方而得.第2講 2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解指

10、數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).知識(shí)要點(diǎn)：1. 定義：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)（exponential function），其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.2. 以函數(shù)與的圖象為例，觀察這一對(duì)函數(shù)的圖象，可總結(jié)出如下性質(zhì)：定義域?yàn)镽，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，即圖象過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在R上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在R上是增函數(shù).例題精講：【例1】求下列函數(shù)的定義域：（1）； （2）； （3）.解：（1）要使有意義，其中自變量x需滿足，即. 其定義域?yàn)?（2）要使有意義，其中自變量x需滿足，即. 其定義域?yàn)?（3）要使有意義，其中

11、自變量x需滿足，即. 其定義域?yàn)?【例2】求下列函數(shù)的值域：（1）； （2）解：（1）觀察易知， 則有. 原函數(shù)的值域?yàn)?（2）. 令，易知. 則. 結(jié)合二次函數(shù)的圖象，由其對(duì)稱軸觀察得到在上為增函數(shù)，所以. 原函數(shù)的值域?yàn)?【例3】（05年福建卷.理5文6）函數(shù)的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）.ABCD解：從曲線的變化趨勢(shì)，可以得到函數(shù)為減函數(shù)，從而0a0，即b0. 所以選D.點(diǎn)評(píng)：觀察圖象變化趨勢(shì)，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到參數(shù)a的范圍. 根據(jù)所給函數(shù)式的平移變換規(guī)律，得到參數(shù)b的范圍. 也可以取x=1時(shí)的特殊點(diǎn)，得到，從而b 0, a1）知識(shí)要點(diǎn)：

12、1. 當(dāng)一個(gè)函數(shù)是一一映射時(shí), 可以把這個(gè)函數(shù)的因變量作為一個(gè)新函數(shù)的自變量, 而把這個(gè)函數(shù)的自變量新的函數(shù)的因變量. 我們稱這兩個(gè)函數(shù)為反函數(shù)（inverse function）. 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.2. 函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).3. 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性研究，口訣是“同增異減”，即兩個(gè)函數(shù)同增或同減，復(fù)合后結(jié)果為增函數(shù)；若兩個(gè)函數(shù)一增一減，則復(fù)合后結(jié)果為減函數(shù). 研究復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的具體步驟是：（i）求定義域；（ii）拆分函數(shù)；（iii）分別求的單調(diào)性；（iv）按“同增異減”得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.例題精講：【例1】討論函數(shù)的單調(diào)性.解：先求定義域，由, 解得. 設(shè)，易知

13、為減函數(shù).又 函數(shù)是減函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.【例2】（05年山東卷.文2）下列大小關(guān)系正確的是（ ）. A. B. C. D. 解：在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出的圖象，分別作出當(dāng)自變量x取3，0.4，0.3時(shí)的函數(shù)值.觀察圖象容易得到：. 故選C.【例3】指數(shù)函數(shù)的圖象與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象有何關(guān)系？ 解：在指數(shù)函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)，則.由指對(duì)互化關(guān)系，有.所以，點(diǎn)在對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象上.因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以指數(shù)函數(shù)的圖象與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性，由任意點(diǎn)的對(duì)稱而推證出來(lái). 這種對(duì)稱性實(shí)質(zhì)是反函數(shù)的圖象特征，即函數(shù)與互為反函數(shù)，而互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.

14、第8講 2.3 冪函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過(guò)實(shí)例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的圖像，了解它們的變化情況.知識(shí)要點(diǎn)：1. 冪函數(shù)的基本形式是，其中是自變量，是常數(shù). 要求掌握，這五個(gè)常用冪函數(shù)的圖象.2. 觀察出冪函數(shù)的共性，總結(jié)如下：（1）當(dāng)時(shí)，圖象過(guò)定點(diǎn)；在上是增函數(shù).（2）當(dāng)時(shí)，圖象過(guò)定點(diǎn)；在上是減函數(shù)；在第一象限內(nèi)，圖象向上及向右都與坐標(biāo)軸無(wú)限趨近.3. 冪函數(shù)的圖象，在第一象限內(nèi)，直線的右側(cè)，圖象由下至上，指數(shù)由小到大. 軸和直線之間，圖象由上至下，指數(shù)由小到大.例題精講：【例1】已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，試討論其單調(diào)性.解：設(shè)，代入點(diǎn)

15、，得，解得，所以，在R上單調(diào)遞增.【例2】已知冪函數(shù)與的圖象都與、軸都沒(méi)有公共點(diǎn)，且的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求的值解： 冪函數(shù)圖象與、軸都沒(méi)有公共點(diǎn)， ，解得.又 的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱， 為偶數(shù)，即得.【例3】?jī)绾瘮?shù)與在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則（ ）.A B C D 解：由冪函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的分布規(guī)律，觀察第一象限內(nèi)直線的右側(cè)，圖象由下至上，依次是，所以有. 選B.點(diǎn)評(píng)：觀察第一象限內(nèi)直線的右側(cè)，結(jié)合所記憶的分布規(guī)律. 注意比較兩個(gè)隱含的圖象與. 第9講 第二章 基本初等函數(shù)（） 復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)、圖象及運(yùn)算性質(zhì). 突出聯(lián)系與轉(zhuǎn)化、分類與討論、數(shù)與形結(jié)合

16、等重要的數(shù)學(xué)思想、能力. 通過(guò)對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等具體函數(shù)的研究，加深對(duì)函數(shù)概念的理解.例題精講：【例1】若，則. 證明：. . （注：此性質(zhì)為函數(shù)的凹凸性）【例2】已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性； （2）若，求a，b的值.解：（1）定義域?yàn)镽，故是奇函數(shù).（2）由，則.又log3(4a-b)=1，即4a-b=3. 由得a=1，b=1.【例3】（01天津卷.19）設(shè)a0， 是R上的偶函數(shù).（1）求a的值； （2）證明在上是增函數(shù)解：（1） 是R上的偶函數(shù)， . .exe-x不可能恒為“0”， 當(dāng)a0時(shí)等式恒成立， a1（2）在上任取x1x2， e1，x1x2， ， 1，0， ， 是在上的增函數(shù)點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的基礎(chǔ)知識(shí)此題中的函數(shù)，也可以看成指數(shù)