【家教資料】高中數(shù)學必修一_第二章_基本初等函數(shù)(Ⅰ)_復習資料

1、必修1 第二章 基本初等函數(shù)()2.1指數(shù)函數(shù)【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運算（1）根式的概念如果，且，那么叫做的次方根當是奇數(shù)時，的次方根用符號表示；當是偶數(shù)時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示；0的次方根是0；負數(shù)沒有次方根式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)當為奇數(shù)時，為任意實數(shù)；當為偶數(shù)時，根式的性質：；當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時， （2）分數(shù)指數(shù)冪的概念正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)（3）分數(shù)指數(shù)冪的運算性質 【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質（4）指數(shù)函數(shù)函

2、數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)圖象定義域值域過定點圖象過定點，即當時，奇偶性非奇非偶單調性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，越大圖象越低2.2對數(shù)函數(shù)【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運算（1）對數(shù)的定義若，則叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)負數(shù)和零沒有對數(shù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：（2）幾個重要的對數(shù)恒等式，（3）常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：，即；自然對數(shù)：，即（其中）（4）對數(shù)的運算性質如果，那么加法： 減法：數(shù)乘：換底公式：【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質（5）對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)圖象0

3、101定義域值域過定點圖象過定點，即當時，奇偶性非奇非偶單調性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對圖象的 影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高(6)反函數(shù)的概念設函數(shù)的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子如果對于在中的任何一個值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習慣上改寫成（7）反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式中反解出；將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域（8）反函數(shù)的性質 原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關于直線對稱函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域若在原函數(shù)的圖象上，則在反函

4、數(shù)的圖象上一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調函數(shù)2.3冪函數(shù)（1）冪函數(shù)的定義 一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)（2）冪函數(shù)的圖象（3）冪函數(shù)的性質圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關于軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限 過定點：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點 單調性：如果，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在上為增函數(shù)如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與軸奇偶性：當為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當為偶數(shù)時，冪函數(shù)為

5、偶函數(shù)當（其中互質，和），若為奇數(shù)為奇數(shù)時，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時，則是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)時，則是非奇非偶函數(shù)圖象特征：冪函數(shù)，當時，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方補充知識二次函數(shù)（1）二次函數(shù)解析式的三種形式一般式： 頂點式：兩根式：（2）求二次函數(shù)解析式的方法已知三個點坐標時，宜用一般式已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（?。┲涤嘘P時，常使用頂點式若已知拋物線與軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求更方便（3）二次函數(shù)圖象的性質二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是當時，拋物線開口向上，函數(shù)在

6、上遞減，在上遞增，當時，；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當時，二次函數(shù)當時，圖象與軸有兩個交點（4）一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關系定理（韋達定理）的運用，下面結合二次函數(shù)圖象的性質，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布 設一元二次方程的兩實根為，且令，從以下四個方面來分析此類問題：開口方向： 對稱軸位置： 判別式： 端點函數(shù)值符號 kx1x2 x1x2k x1kx2 af(k)0 k1x1x2k2 有且僅有一個根x1（或x2）滿足k1x1（或x

7、2）k2 f(k1)f(k2)0，并同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合 k1x1k2p1x2p2 此結論可直接由推出 （5）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 設在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令（）當時（開口向上）最小值 若，則 若，則xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)若，則xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)最大值 若，則 ，則xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)()當時(開口向下)最大值若，則 若，則 xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(

8、p)f(q)若，則xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)最小值若，則 ，則xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy01，且. n次方根具有如下性質：（1）在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的奇次方根是一個負數(shù)；正數(shù)的偶次方根是兩個絕對值相等、符號相反的數(shù)，負數(shù)的偶次方根沒有意義；零的任何次方根都是零.（2）n次方根（）有如下恒等式：；，（a0）.2. 規(guī)定正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪： （）； . 例題精講：【例1】求下列各式的值：（1）（）； （2）.解：（1）當n為奇數(shù)時，； 當n為偶數(shù)時，.（2）. 當時，；當時，.【例2】已知，求的值.解：.【例3】化簡：（1）； （2）（a0

9、，b0）； （3）.解：（1）原式=.（2）原式=.（3）原式=.點評：根式化分數(shù)指數(shù)冪時，切記不能混淆，注意將根指數(shù)化為分母，冪指數(shù)化為分子，根號的嵌套，化為冪的冪. 正確轉化和運用冪的運算性質，是復雜根式化簡的關鍵.【例4】化簡與求值：（1）； （2）.解：（1）原式= = =4.（2）原式= =.點評：形如的雙重根式，當是一個平方數(shù)時，則能通過配方法去掉雙重根號，這也是雙重根號能否開方的判別技巧. 而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小題也體現(xiàn)了一種消去法的思想. 第（1）小題還可用平方法，即先算得原式的平方，再開方而得.第2講 2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質（一）學習目標：理解指

10、數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點，掌握指數(shù)函數(shù)的性質.知識要點：1. 定義：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)（exponential function），其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R.2. 以函數(shù)與的圖象為例，觀察這一對函數(shù)的圖象，可總結出如下性質：定義域為R，值域為；當時，即圖象過定點；當時，在R上是減函數(shù)，當時，在R上是增函數(shù).例題精講：【例1】求下列函數(shù)的定義域：（1）； （2）； （3）.解：（1）要使有意義，其中自變量x需滿足，即. 其定義域為.（2）要使有意義，其中自變量x需滿足，即. 其定義域為.（3）要使有意義，其中

11、自變量x需滿足，即. 其定義域為.【例2】求下列函數(shù)的值域：（1）； （2）解：（1）觀察易知， 則有. 原函數(shù)的值域為.（2）. 令，易知. 則. 結合二次函數(shù)的圖象，由其對稱軸觀察得到在上為增函數(shù)，所以. 原函數(shù)的值域為.【例3】（05年福建卷.理5文6）函數(shù)的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結論正確的是（ ）.ABCD解：從曲線的變化趨勢，可以得到函數(shù)為減函數(shù)，從而0a0，即b0. 所以選D.點評：觀察圖象變化趨勢，得到函數(shù)的單調性，結合指數(shù)函數(shù)的單調性，得到參數(shù)a的范圍. 根據(jù)所給函數(shù)式的平移變換規(guī)律，得到參數(shù)b的范圍. 也可以取x=1時的特殊點，得到，從而b 0, a1）知識要點：

12、1. 當一個函數(shù)是一一映射時, 可以把這個函數(shù)的因變量作為一個新函數(shù)的自變量, 而把這個函數(shù)的自變量新的函數(shù)的因變量. 我們稱這兩個函數(shù)為反函數(shù)（inverse function）. 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于直線對稱.2. 函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).3. 復合函數(shù)的單調性研究，口訣是“同增異減”，即兩個函數(shù)同增或同減，復合后結果為增函數(shù)；若兩個函數(shù)一增一減，則復合后結果為減函數(shù). 研究復合函數(shù)單調性的具體步驟是：（i）求定義域；（ii）拆分函數(shù)；（iii）分別求的單調性；（iv）按“同增異減”得出復合函數(shù)的單調性.例題精講：【例1】討論函數(shù)的單調性.解：先求定義域，由, 解得. 設，易知

13、為減函數(shù).又 函數(shù)是減函數(shù)，故函數(shù)在上單調遞增.【例2】（05年山東卷.文2）下列大小關系正確的是（ ）. A. B. C. D. 解：在同一坐標系中分別畫出的圖象，分別作出當自變量x取3，0.4，0.3時的函數(shù)值.觀察圖象容易得到：. 故選C.【例3】指數(shù)函數(shù)的圖象與對數(shù)函數(shù)的圖象有何關系？ 解：在指數(shù)函數(shù)的圖象上任取一點，則.由指對互化關系，有.所以，點在對數(shù)函數(shù)的圖象上.因為點與點關于直線對稱，所以指數(shù)函數(shù)的圖象與對數(shù)函數(shù)的圖象關于直線對稱.點評：兩個函數(shù)的對稱性，由任意點的對稱而推證出來. 這種對稱性實質是反函數(shù)的圖象特征，即函數(shù)與互為反函數(shù)，而互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關于直線對稱.

14、第8講 2.3 冪函數(shù)學習目標：通過實例，了解冪函數(shù)的概念；結合函數(shù)y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的圖像，了解它們的變化情況.知識要點：1. 冪函數(shù)的基本形式是，其中是自變量，是常數(shù). 要求掌握，這五個常用冪函數(shù)的圖象.2. 觀察出冪函數(shù)的共性，總結如下：（1）當時，圖象過定點；在上是增函數(shù).（2）當時，圖象過定點；在上是減函數(shù)；在第一象限內(nèi)，圖象向上及向右都與坐標軸無限趨近.3. 冪函數(shù)的圖象，在第一象限內(nèi)，直線的右側，圖象由下至上，指數(shù)由小到大. 軸和直線之間，圖象由上至下，指數(shù)由小到大.例題精講：【例1】已知冪函數(shù)的圖象過點，試討論其單調性.解：設，代入點

15、，得，解得，所以，在R上單調遞增.【例2】已知冪函數(shù)與的圖象都與、軸都沒有公共點，且的圖象關于y軸對稱，求的值解： 冪函數(shù)圖象與、軸都沒有公共點， ，解得.又 的圖象關于y軸對稱， 為偶數(shù)，即得.【例3】冪函數(shù)與在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則（ ）.A B C D 解：由冪函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的分布規(guī)律，觀察第一象限內(nèi)直線的右側，圖象由下至上，依次是，所以有. 選B.點評：觀察第一象限內(nèi)直線的右側，結合所記憶的分布規(guī)律. 注意比較兩個隱含的圖象與. 第9講 第二章 基本初等函數(shù)（） 復習學習目標：理解掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質、圖象及運算性質. 突出聯(lián)系與轉化、分類與討論、數(shù)與形結合

16、等重要的數(shù)學思想、能力. 通過對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等具體函數(shù)的研究，加深對函數(shù)概念的理解.例題精講：【例1】若，則. 證明：. . （注：此性質為函數(shù)的凹凸性）【例2】已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性； （2）若，求a，b的值.解：（1）定義域為R，故是奇函數(shù).（2）由，則.又log3(4a-b)=1，即4a-b=3. 由得a=1，b=1.【例3】（01天津卷.19）設a0， 是R上的偶函數(shù).（1）求a的值； （2）證明在上是增函數(shù)解：（1） 是R上的偶函數(shù)， . .exe-x不可能恒為“0”， 當a0時等式恒成立， a1（2）在上任取x1x2， e1，x1x2， ， 1，0， ， 是在上的增函數(shù)點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性以及單調性的基礎知識此題中的函數(shù)，也可以看成指數(shù)