2019級第34-35次課ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)一、函數(shù)的泰勒級數(shù)一、函數(shù)的泰勒級數(shù)二、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的條件二、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的條件三、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法三、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法四、函數(shù)展開式的應(yīng)用舉例四、函數(shù)展開式的應(yīng)用舉例上一頁下一頁返回一、函數(shù)的泰勒級數(shù)一、函數(shù)的泰勒級數(shù)),(,00RxRxx .)(),()(000的冪級數(shù)的冪級數(shù)內(nèi)可展開成內(nèi)可展開成在在則稱則稱xxRxRxxf 問題問題: 1.如果能展開如果能展開, 是什么是什么?na2.展開式是否唯一展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?定義定義使使得得如如果果有有對對給給定定

2、的的,)(),(00 nnnxxaxfnnnxxaxf)()(00 上一頁下一頁返回證明證明即即內(nèi)收斂于內(nèi)收斂于在在),()()(000 xfxUxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010上一頁下一頁返回 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即即得得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系數(shù)是唯一的泰勒系數(shù)是唯一的,.)(的展開式是唯一的的展開式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐項求導(dǎo)任意次逐項求導(dǎo)任意次,得得泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)上一頁下一頁返回 如果如果)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處任意階可導(dǎo)處任意階可導(dǎo)

3、, ,則冪級數(shù)則冪級數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù). .問題問題nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 定義定義泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)? 不一定不一定.上一頁下一頁返回 0, 00,)(21xxexfx例例如如), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的的麥麥?zhǔn)鲜霞壖墧?shù)數(shù)為為. 0)(),( xs內(nèi)和函數(shù)內(nèi)和函數(shù)該級數(shù)在該級數(shù)在可見可見).()(,0 xfxfs于于的麥?zhǔn)霞墧?shù)處處不收斂的麥?zhǔn)霞墧?shù)處處不收斂外外除除 在在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo)點(diǎn)任意可導(dǎo),上一頁下一頁

4、返回三、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的條件三、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的條件定理定理 2 2 )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù), ,在在)(0 xU 內(nèi)收內(nèi)收 斂于斂于)(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)0)(lim xRnn. . 證明證明必要性必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn ,)(能展開為泰勒級數(shù)能展開為泰勒級數(shù)設(shè)設(shè)xf)()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 上一頁下一頁返回充分性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(lim

5、1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒級數(shù)收斂于的泰勒級數(shù)收斂于定理定理 3 3 設(shè)設(shè))(xf在在)(0 xU上有定義上有定義, ,0 M, ,對對),(00RxRxx , ,恒有恒有 Mxfn )()( ), 2 , 1 , 0( n, ,則則)(xf在在),(00RxRx 內(nèi)可展內(nèi)可展 開成點(diǎn)開成點(diǎn)0 x的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù). . 上一頁下一頁返回證明證明10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(010收收斂斂在在 nnnxx, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xRnn故故.0的泰勒級數(shù)的泰勒

6、級數(shù)可展成點(diǎn)可展成點(diǎn)x),(00RxRxx 上一頁下一頁返回三、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法三、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法1.1.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或討討論論).(xf斂斂于于則則級級數(shù)數(shù)在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)收收上一頁下一頁返回例例1解解.)(展展開開成成冪冪級級數(shù)數(shù)將將xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112, 0 M上上在在,MM xnexf )()(Me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!

7、1! 2112由于由于M的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx上一頁下一頁返回例例2.sin)(的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成將將xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x上一頁下一頁返回例例3.)()1()(的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成將將xRxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nf

8、n), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1lim nnn , 1 , 1 R上一頁下一頁返回若若內(nèi)內(nèi)在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)1()1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm 利利用用上一頁下一頁返回)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且兩邊積分兩邊積分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1(

9、 x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 上一頁下一頁返回即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2)1 , 1( x牛頓二項式展開式牛頓二項式展開式注意注意: :.1的取值有關(guān)的取值有關(guān)處收斂性與處收斂性與在在 x);1 , 1(1 收收斂斂域域為為 ;1 , 1(11 收收斂斂域域為為 .1 , 11 收收斂斂域域為為 上一頁下一頁返回有有時時當(dāng)當(dāng),21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx 1 ,

10、1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx雙階乘雙階乘上一頁下一頁返回2.2.間接法間接法根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過變量代換通過變量代換, 四則運(yùn)算四則運(yùn)算, 恒等變形恒等變形, 逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo), 逐項積分等方逐項積分等方法法,求展開式求展開式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn上一頁下一頁返回 xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdx

11、x01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x上一頁下一頁返回例例4處處展展開開成成泰泰勒勒級級數(shù)數(shù)在在將將141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并并求求的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 x上一頁下一頁返回xxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 上一頁下一頁返回,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar誤誤差差兩類問題兩類問題: :1.給定項數(shù)給定項數(shù)

12、,求近似值并估計精度求近似值并估計精度;2.給出精度給出精度,確定項數(shù)確定項數(shù).關(guān)健關(guān)健: :通過估計余項通過估計余項,確定精度或項數(shù)確定精度或項數(shù).1.1.近似計算近似計算四、冪級數(shù)展開式的應(yīng)用舉例四、冪級數(shù)展開式的應(yīng)用舉例上一頁下一頁返回常用方法常用方法:1.若余項是交錯級數(shù)若余項是交錯級數(shù),則可用余和的首項來解決則可用余和的首項來解決;2.若不是交錯級數(shù)若不是交錯級數(shù),則放大余和中的各項則放大余和中的各項,使之成使之成為等比級數(shù)或其它易求和的級數(shù)為等比級數(shù)或其它易求和的級數(shù),從而求出其和從而求出其和.例例5 5.10,5 使其誤差不超過使其誤差不超過的近似值的近似值計算計算e解解,!1!

13、 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得上一頁下一頁返回余和余和: )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而! 81! 31! 2111 e71828. 2 上一頁下一頁返回.,ln1,sin,2難難以以計計算算其其定定積積分分函函數(shù)數(shù)表表示示原原函函數(shù)數(shù)不不能能用用初初等等例例如如函函數(shù)數(shù)xxxex 解法解法逐項積分逐項積分展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù)定積分的近似值定積分的近似值被積函數(shù)被積函數(shù)2.2.計算定積

14、分的近似值計算定積分的近似值上一頁下一頁返回第四項第四項352801!771 ,104 取前三項作為積分的近似值取前三項作為積分的近似值,得得! 551! 3311sin10 dxxx9461. 0 例例6 6.10,sin410 精精確確到到的的近近似似值值計計算算dxxx 642!71! 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311sin10dxxx收斂的交錯級數(shù)收斂的交錯級數(shù)上一頁下一頁返回例例7 7.2!12的的和和求求 nnnn解解,!)(12nnxnnxs 令令),(nnxnnnnxs 1!)1()(nnnnxnxnnn 12)!1(1!)1( 02

15、22!2nnnnnxxnxxxxxeex 2,)1(xxex 122 !nnnn)21( s 21)121(21 e.43e 3.3.求數(shù)項級數(shù)的和求數(shù)項級數(shù)的和上一頁下一頁返回復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù): )()()(2211nnjvujvujvu.), 3 , 2 , 1(,為為實實常常數(shù)數(shù)或或?qū)崒嵑瘮?shù)數(shù)其其中中 nvunn若若 1nnuu, 1nnvv,則則稱稱級級數(shù)數(shù) 1)(nnnivu收收斂斂, , 且且其其和和為為 ivu . .4.4.歐拉公式歐拉公式上一頁下一頁返回若若 2222222121nnvuvuvu收斂收斂, ,則則 1nnu, , 1nnv絕對收斂絕對收斂, ,稱復(fù)數(shù)項級數(shù)絕對收斂稱復(fù)數(shù)項級數(shù)絕對收斂. .復(fù)數(shù)項級數(shù)絕對收斂的概念復(fù)數(shù)項級數(shù)絕對收斂的概念三個基本展開式三個基本展開式,! 212 nxxxenx,)!12()1(! 5! 3sin12153 nxxxxxnn,)!2()1(! 4! 21cos242 nxxxxnn)( x)( x)( x上一頁下一頁返回的冪級數(shù)展開式的冪級數(shù)展開式由由xe njxjxnjxjxe)(!1)(! 2112)!12(