第六次課、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)ppt課件

1、一、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)0 xf 在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)所謂連續(xù)函數(shù)局部性質(zhì)就是指所謂連續(xù)函數(shù)局部性質(zhì)就是指: :延續(xù)延續(xù)( (左連續(xù)或右連續(xù)左連續(xù)或右連續(xù)),),則可推知?jiǎng)t可推知 f f 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 x0 的某的某 號(hào)性、四則運(yùn)算的保連續(xù)性等性質(zhì)號(hào)性、四則運(yùn)算的保連續(xù)性等性質(zhì). 個(gè)局部鄰域個(gè)局部鄰域(左鄰域或右鄰域左鄰域或右鄰域)內(nèi)具有有界性、保內(nèi)具有有界性、保0|( )|()| 1.f xf x 0|,xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)0|( )()|1,f xf x 故故| f (x) | 的一個(gè)明確的上界的一個(gè)明確的上界.0fx因因?yàn)闉樵谠谶B連續(xù)續(xù)，存存在在所所以以對(duì)對(duì),1 證證,0 1, 取取這這個(gè)個(gè)特

2、特定定的的值值留意留意: :我們?cè)谧C明有界性時(shí)我們?cè)谧C明有界性時(shí), ,0, “對(duì)對(duì)于于任任意意的的” 這這樣樣可可求求得得而不是用術(shù)語(yǔ)而不是用術(shù)語(yǔ)00. . (, ).fxfU x3 2 1若函數(shù)在點(diǎn)連（局部有界性續(xù)，則 在某定鄰）域內(nèi)有界理00(,),xxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有, 0 存存在在000|( )()|(),f xf xf xr 0000000,()0()0 ),()(),(, ),(, ) 3.2.( )0).) ( 2 f xrfxf xf xrf xrf xUf xrxxU x 若若函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù) 且且或或則則對(duì)對(duì)任任何何正正數(shù)數(shù) 或或存存在在某某鄰鄰域域使使定定得得對(duì)

3、對(duì)一一切切皆皆有有（局局部部理理保保號(hào)號(hào)性性）或或 000,fxfxr 因因?yàn)闉樵谠谶B連續(xù)續(xù) 所所以以對(duì)對(duì)正正數(shù)數(shù)證證(2)( )( ),f xg x (1)( )( ),f xg x .2)(0 xfr 注注 在具體應(yīng)用保號(hào)性時(shí)在具體應(yīng)用保號(hào)性時(shí), ,我們經(jīng)常取我們經(jīng)常取 . 0)( rxf 于是證得于是證得0( ),( )連續(xù)函數(shù)若函數(shù)均在點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)的四則運(yùn)算:f xg xx0(4)( )/ ( ),()0f xg xg x(3)( )( ),f xg x 0.x在在點(diǎn)點(diǎn)也也是是連連續(xù)續(xù)的的此定理的證明可以直接從函數(shù)極限的四則運(yùn)算得此定理的證明可以直接從函數(shù)極限的四則運(yùn)算得01( )n

4、nP xaa xa x 也是連續(xù)函數(shù)也是連續(xù)函數(shù). .我們知道我們知道, ,常函數(shù)常函數(shù) 與線性函數(shù)與線性函數(shù) 都是都是 R R 上上 y = cy = x到到, 具體過(guò)程請(qǐng)讀者自行給出具體過(guò)程請(qǐng)讀者自行給出.的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù), 故由四則運(yùn)算性質(zhì)故由四則運(yùn)算性質(zhì), 易知多項(xiàng)式函數(shù)易知多項(xiàng)式函數(shù) 0101( )( )nnmmaa xa xP xQ xbb xb x 同理同理, ,有理函數(shù)有理函數(shù)( (分母不為零分母不為零) )同樣是連續(xù)函數(shù)同樣是連續(xù)函數(shù). .下面這個(gè)定理刻劃了連續(xù)這個(gè)性質(zhì)在復(fù)合運(yùn)算下下面這個(gè)定理刻劃了連續(xù)這個(gè)性質(zhì)在復(fù)合運(yùn)算下00,().uf x 連連續(xù)續(xù)0( ).g f x

5、x則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)0( )g uu在在點(diǎn)點(diǎn)0( )f xx若若函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)，定理定理3.2.33.2.3是不變的是不變的.,01 存存在在01|,uu 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有0| ( )()|,g ug u 證證 ,0 因因此此對(duì)對(duì)于于任任意意的的0( ),g uu由由于于在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)01( ),0 ,f xx 又又因因?yàn)闉樵谠邳c(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù) 故故對(duì)對(duì)上上述述00,|,xx存存在在當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)有有001|( )()| |,f xf xuu 00| ( ( )( ()| | ( )()|,g f xg f xg ug u 于是于是0( ( ).g f xx這這就就證證明明了

6、了在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù) 對(duì)這個(gè)定理我們?cè)僮饕恍┯懻搶?duì)這個(gè)定理我們?cè)僮饕恍┯懻? ,以加深大家對(duì)該定以加深大家對(duì)該定000(1)lim ( ), lim( ),uuxxg uAf xu由由不不一一定定有有請(qǐng)大家仿照定理請(qǐng)大家仿照定理4.5 的證明的證明, 看看究竟哪里通不過(guò)看看究竟哪里通不過(guò).0lim( ).xxg f xA理的認(rèn)識(shí)理的認(rèn)識(shí). .1, 0,( )0, ( )( ( )0,0, 0,令 則 uuf xg ug f xu 0 lim ( )1.但 ug u ).(lim()()(lim000 xfgugxfgxxxx )*(應(yīng)用定理應(yīng)用定理4.5,4.5,就得到所就得到所0( ).f x

7、x使使得得在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)( (* *) )式相應(yīng)的結(jié)論仍舊是成立的式相應(yīng)的結(jié)論仍舊是成立的. .,)(lim,)()2(000uxfuugxx 連續(xù)連續(xù)在在若若則有則有00lim( )xxf xu 若若將將改為改為 需要的結(jié)論需要的結(jié)論. .,)(lim0uxfx 0)(limuxfx ,)(lim0uxfx 或或事實(shí)上事實(shí)上, ,只要補(bǔ)充定義或者重新定義）只要補(bǔ)充定義或者重新定義）00()f xu 上述上述(1)(1)和和(2)(2)究竟有什么本質(zhì)的區(qū)別呢究竟有什么本質(zhì)的區(qū)別呢? ? 請(qǐng)讀者請(qǐng)讀者作作. 0)1(limsin()1sin(lim2121xxxx).1sin(lim21xx

8、求求例例122sin(1)( )sin ,(1)xg uu ux可可視視為為的的復(fù)復(fù)解解合，所以合，所以出進(jìn)一步的討論出進(jìn)一步的討論. .例例2.sin2lim0 xxx求求解解( )1,g uuu 因因?yàn)闉樵谠谶B連續(xù)續(xù) 所所以以. 112)sin2(limsin2lim10 xxxxxx例例3.)11sin(limxxx 求求解解1lim(1)e ,sine,xxuux 因因?yàn)闉樵谠邳c(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)所以所以. esin)11sin(lim xxx113.2.1()( ):)ffffyf xDRfRDfy若函數(shù)在其定義域 上是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）的，是其值域，則存在定理反函數(shù)反函數(shù) ，并且反函數(shù)

9、也是嚴(yán)格單調(diào)增加（減存在定理少）的。1( ):fffff xfDRfRD由 的嚴(yán)格單調(diào)性不難證明 是雙射，從而從在逆映射證明：。1( )( )f xfy如果 是嚴(yán)格單調(diào)增加的，則 也是嚴(yán)格單調(diào)增加的。11( ), ( )fyyRxfyxfy事實(shí)上，若 ，記 ，則必有,xxxxxx因?yàn)槿绻蝗唬瑒t或者 ，或者 ，( )( ),xxf xyyf x如果 ，則與映射的定義相矛盾；, ( )( ),xxf xyyf xf如果 則與 的單調(diào)性相矛盾。1( ) , ( ),3.2.2( ) ,)( ),yf xa bf af bfy 若函數(shù)在閉區(qū)間 上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增加，則其值域是 ，并且它的反定理反函數(shù)

10、的函 數(shù)在 上連續(xù)且嚴(yán)格單連續(xù)性調(diào)增加。: , ,fa b i證明： )我們須證明 是滿射。 , , :( )yySxa bf xy 對(duì)任意的 ，記 ，yS則 非空，有上界，從而有上確界。supyxS記 ，則由上確界的性質(zhì)，1,nynnxSxxxn 使得 ，1(),nfxf xyn于是 1yxSn由于 ，11,fxyfxnn( )f x由于 連續(xù)，1fxyn因此 ，1( )fyii)我們還須證明 的連續(xù)性。000( ,)()0yf xy 設(shè) ，則對(duì)任意的 ，0000min(),()yf xf xy取 ，0yy則當(dāng) 時(shí)，00()(),f xyf x1 f由于 是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，因此100( ),

11、xfyx11100()( )(),fyfyfy即 110.( )()fyfy區(qū)間端點(diǎn)處的左、右連續(xù)性請(qǐng)讀者自（己完成。）11lim(0)(0)lim,nnfxf xf xfxnn1lim( ).nyfxf xn4 一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都定理3.2.是連續(xù)的。2limsinxx例4.計(jì)算的定義域?qū)儆诔醯群瘮?shù)解：因?yàn)閤xsin22limsinsin1.2xx所以 2211lim21xxxx例5.計(jì)算的定義域?qū)儆诤瘮?shù)且時(shí)，而的定義域，不屬于初等函數(shù)解：因?yàn)?211121) 12)(1() 1)(1(1210112112222xxxxxxxxxxxxxxxxx2211112limlim.21213xxxxxxx1lnlim1xxx例6.計(jì)算1111) 11ln