第十四講 線性空間的同構(gòu)；商空間 ；總結(jié)ppt課件

1、第十四講5 線性空間的同構(gòu)滿足的雙射到如果存在從上的兩個線性空間，是域與：設(shè)定義,112121VVFVV3exp1:RX 三三 維維 幾幾 何何 空空 間間向向 量量坐坐 標標.,),()()2(,),()()() 1 (2111是同構(gòu)的與此時稱是同構(gòu)映射則稱VVFkVkkV(,).xyzxyza a aa ia ja knnxxXFV111對應(yīng)：對應(yīng)）（的雙射到是坐標是唯一11nFV).()()()()(),()()(.,1111kkXxkkYXyxyxyxYXniiiTnnniiii則設(shè)算且這個映射保持線性運1exp2:,()()nnnVFVF設(shè)設(shè) ，是是的的一一組組基基，任任，1niii

2、x 有有令令.)(17nnFFV同構(gòu)于：定理.11)(0000) 1 (）（）（）（）（）（）（）（）（，）（同構(gòu)映射的性質(zhì)：FkFVkkiniininiiii),()()(.)2(11對任不變同構(gòu)映射保持線性關(guān)系.)(,)()(,),(,)3(11211關(guān)無線性相關(guān)無線性相中向量則中向量是設(shè)nnnVVni, 10)()(00)(00:111111nnnnnnkkkkkkproof成立。僅當）（是雙射同構(gòu)的線性空間有相同的維數(shù).(4)同構(gòu)映射的逆映射,還是同構(gòu)映射.,)(,)(.)(,)(22111記定義設(shè)).()()()()()()()()()(1111211121211211211kkkk

3、k(5)兩個同構(gòu)映射的乘積還是同構(gòu)映射21V1V2V312記為).()()()()()()()()()(1212122121212211221kkkkk1)()(2121112)()(2221212121VVVFVn.dimdim2121VVVVF同構(gòu)與上兩個有限維線性空間定理：數(shù)域100111)(1:1expnnnnaaaxaxaxfxFn的多項式次數(shù).), 2 , 1(:2exp1111下在基階對角陣niEaaaaAniinnnn., 11nxx 在基.,11線性無關(guān)線性無關(guān)nnXX6 商空間,( mod)WVVWWW 定義12：設(shè)是的子空間，如滿足則稱與模同余 記作模 W 同余是線性空間

4、 V 上的一種等價關(guān)系VW),(mod自反性)(mod)(modWW則如對稱性).(mod)(mod)(modWWW則如傳遞性W)()(.,同余類的一個代表叫做這個而的一個同余類稱為模的子集合定義的子空間，是：設(shè)定義WWWVVVW13例21:xyWO.,2的直線是平行是過原點的直線WWWRVW模W的同余類的基本性質(zhì):.,)1 (WWW則若.,) 1 (使證WW.,2222右左左，右）（，使同理WWW,)()(,)2(WWWW則而若右；左）（，使WWW1111,.的商集是的集合同余關(guān)系所得等價類上按模線性空間VVWVWV.)(,)()()(WcWcWWWV：中定義加法和數(shù)乘如下在商集.)1(),

5、()()2(矛盾，與已知知則由若WWWWWWW./.WVVFV記作的商空間空間，稱為上的線性域?qū)τ谒x的運算構(gòu)成則./dim18mnWVmVWnV維子空間，則的是維線性空間，是：設(shè)定理若的基，的一組基，擴充為是設(shè)證.,:111nmmmVW,0)()()(2211WWkWkWknnmmmm,0)(22112211WkkkWWkkknnmmmmnnmmmmmmnnmmmmlllkkk22112211設(shè),022112211nnmmmmmmkkklll即有nnmmmmyyxxVWVW1111,/由于又設(shè)線性無關(guān)。WWWkkknmmnmm,. 02121.)(.)(1111WyyWWyynnmmnnm

6、m故),()()()(221111WyWyWyWyyWnnmmmmnnmm故33().()/VRWzVVRWL LZexp：中，軸是的子空間則商空間軸 ：./dim/,/,21mnWVWVWVWWWWnmm的一組基，是且線性無關(guān)，可以表示任XYZWWO./ )(03的基是商空間，有，向量平面上任兩個不共線的對WRVWWxy)()(WkWk21),(32132121989LWWP5681402221201111102352115681404573313461212352112131rrrr321321,)(124000000300111110235211124500000300111110235211324224rrrr2dim, 3dim. 4)dim(,2121211321WWWWWW的基，是22113322112121211)dim(dimdimdim令WWWWWW .43212120221122211332211），（，?。├茫▌t, 0, 1, 0123又的一組基求