中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)之反比例函數(shù)拓展

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載反比例函數(shù)【教學(xué)目標(biāo)】1. 理解反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)表達(dá)式k2. 能畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和解析式y(tǒng)(k = 0)理解其性質(zhì).X3. 能用反比例函數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題 【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：反比例函數(shù)增減性的應(yīng)用是本章的易錯(cuò)點(diǎn)，應(yīng)用增減性解題時(shí)要注意理解 “在每個(gè)象限內(nèi)這句話的含義，進(jìn)一步理解函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想難點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)、知識(shí)的綜合運(yùn)用是本章的難點(diǎn)，特別是反比例函數(shù)與一次函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用是中考的常見(jiàn)題型，復(fù)習(xí)時(shí)要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系，熟記二者的性質(zhì)，應(yīng)用其性質(zhì)解決問(wèn)題【教學(xué)內(nèi)容】k1.定義：形如y( k 是常數(shù)，k 工 0)的函

2、數(shù)，叫做反比例函數(shù).反比例函數(shù)還可以表示成y=kxx或 xy=k(k豐0)的形式【注意】(1)心 0; (2)自變量 x豐0; (3)函數(shù) 0;2.反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，關(guān)于直線y = x或直線y二-x對(duì)稱(chēng).(1)當(dāng) k 0 時(shí)，圖象的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限(2)當(dāng) kv0 時(shí)，圖象的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限。k【注意】由于反比例函數(shù)y k = 0中，x 工 0, yz0，故雙曲線與坐標(biāo)軸無(wú)限接近但永不相x交.k越大，雙曲線越遠(yuǎn)離原點(diǎn).3. 反比例函數(shù)的性質(zhì)：增減性(1)k 0 時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y 隨 x 的增大而減小(2)kv0 時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y

3、隨 x 的增大而增大學(xué)習(xí)必備歡迎下載k4. 反比例函數(shù)y k=0中比例系數(shù) k 的幾何意義x學(xué)習(xí)必備歡迎下載14如圖所示：過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)P,作 x 軸，y 軸的垂線 PA,PB 所得的矩形 OBPA 勺面積 S=PBPAk=x y=|xy.因?yàn)閥=，所以 xy=k,所以 S=k.x一 一1同時(shí)有它的演變圖形：s陽(yáng)A=k.所以在反比例函數(shù)圖象中常作的輔助線是:h 2過(guò)圖象上一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線段5.求反比例函數(shù)解析式k利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式：根據(jù)兩變量之間的反比例關(guān)系，設(shè)y = ，由已知x條件求出 k 的值，這個(gè)條件可以是圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，也可以是 x, y 的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，從而確定

4、函數(shù)解析式.【例題講解】例 1 : 2011 河北，12根據(jù)圖 5 中所示的程序，得到了y 與 x 的函數(shù)圖象，如圖 5 中，若點(diǎn)M 是 y 軸正半軸上任意一點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn) M 作 PQ / x 軸交圖象于點(diǎn) P、Q,連接 OP、OQ,則以下結(jié)論:21xv0 時(shí)，y=x2厶 OPQ 的面積為定值3x 0 時(shí)，y 隨 x 的增大而增大4MQ=2PM5/ POQ 可以等于 90其中正確結(jié)論是（）AB.C【分析】由程序得xv0 時(shí)，y=-xx 0 時(shí)，y=.由反比例函數(shù)xk 的幾何意義得OPQ勺面積恒為學(xué)習(xí)必備歡迎下載一4 2.所以正確.由圖象得 x0 時(shí)，y隨x的增大而減小.所以錯(cuò)誤.可設(shè) M（0,

5、m ,則 MQ,2m224PM=.所以正確.當(dāng)/POQ=90時(shí)，_則 OM=PMy2，則x的取值范圍是（）A. x：-1或0 : x :B.X：-1或x 2標(biāo)軸，點(diǎn) C 在2、【2011 湖北黃石,學(xué)習(xí)必備歡迎下載第 7 題圖6、【2011 樂(lè)山，10】如圖(6),直線y =6 X交 x 軸、y 軸于 A、B 兩點(diǎn),P 是反比例函數(shù)4、y (x 0)圖象上位于直線下方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)x過(guò)點(diǎn) P 作 y 軸的垂線，垂足為點(diǎn)P 作 x 軸的垂線，垂足為點(diǎn)M , 交 AB 于點(diǎn) E，7、【2012 銅仁)】如圖，正方形8、【2012 臨沂】y出(x 0)XN，交 AB 于點(diǎn) F。則AF BE二(A)62

6、ABOC 的邊長(zhǎng)為 2,反比例函數(shù)ky的圖象過(guò)點(diǎn)xA， 貝 U k 的值是C. 4如圖，若點(diǎn) M 是 x 軸正半軸上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M 作 PQ/ y 軸，分別交函數(shù)的圖象于點(diǎn) P 和 Q,連接 OP 和 OQ.則下列結(jié)論正確的是(D )A .ZPOQ 不可能等于 90 PMB .kk2C 這兩個(gè)函數(shù)的圖象一定關(guān)于x 軸對(duì)稱(chēng)D . POQ 的面積是12k1+k2 )P0 xBy DODy=- y=_-9、【2012?德州】如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)：和：的圖象分別是 11 和 12 .設(shè)點(diǎn) P 在 11 上, PC學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載丄 x 軸，垂足為 C,交 12 于點(diǎn) A ,PD 丄

7、y 軸，垂足為 D，交 12 于點(diǎn) B,則三角形 PAB 的面積為(C )gA、3B、4C、一D、5210、【2012 洲門(mén)】如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=： (x0)的圖象上任意一點(diǎn)，AB/x軸交反比例x函數(shù)y=-J5的圖象于點(diǎn)B,以AB為邊作？ABCD其中C D在x軸上，則 &ABCD%(D )A .2B.3C.41y=-11、【2012 六盤(pán)水】如圖為反比例函數(shù)：，在第一象限的圖象，點(diǎn) A 為此圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A 分別作 AB 丄 x 軸和 AC 丄 y 軸，垂足分別為 B, C.則四邊形 OBAC 周長(zhǎng)的最小值為(A )A. 4 B. 3C. 2 D. 1、填空題C、D 在x軸上，若四

8、邊形 ABCD 為矩形，則它的面積為 _2_E 兩點(diǎn)，若平行四邊形 AOBC 勺面積為 18，貝 U k= _6.1、 【2011 湖北孝感,115】如圖，點(diǎn) A 在雙曲線y上,x3點(diǎn) B 在雙曲線y上，且 AB /x軸,x2、【2011 湖北十堰，16】如圖，平行四邊形 AOB(中 ,對(duì)角線交于點(diǎn)kE,雙曲線寄巨3、【2011 烏蘭察布，17】函數(shù) yi= x ( x 0 )丫2( x 0 )的圖象如圖所示，則結(jié)論:x經(jīng)過(guò) A、學(xué)習(xí)必備歡迎下載兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)A 的坐標(biāo)為(3 ,3 )當(dāng) x 3y2 y1時(shí),當(dāng) x = 1 時(shí)，BC = 8當(dāng)x 逐漸增大時(shí)，是_yi隨著 x 的增大而增大，y

9、2隨著 x 的增大而減小其中正確結(jié)論的序號(hào)學(xué)習(xí)必備歡迎下載4、【2011 福州，13】如圖， OPQ 是邊長(zhǎng)為 2 的等邊三角形，若反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)P,則它的解析式是25、【2011 河南，9】已知點(diǎn) P(a, b)在反比例函數(shù) y= 的圖象上，若點(diǎn) P 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)xk在反比例函數(shù)y的圖象上，貝 U k 的值為-2x力二丄x0,y4x 0，點(diǎn)P為雙曲線y-xxx1上的一點(diǎn)，且PAx軸于點(diǎn) A,PB 丄y軸于點(diǎn) B,PAPB 分別交雙曲線浙x 0于D、C 兩x159點(diǎn)，則 PCD 的面積為_(kāi) 3 -=9一8 87、【2011 湖北武漢，16】如圖，平行四邊形 ABCD 的頂點(diǎn) A

10、, B 的坐標(biāo)分別是 A (-1 , 0) ,Bk(0, -2),頂點(diǎn) C, D 在雙曲線 y= 上，邊 AD 交 y 軸于點(diǎn) E,且四邊形 BCDE 的面積是厶 ABEx面積的 5 倍，貝 y k=_ 12_ .8【2012?聊城】如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點(diǎn)O,且正方形的一組對(duì)邊與x 軸平（UK6、 【2011 貴州遵義,18】如圖，已知雙曲線OjA學(xué)習(xí)必備歡迎下載行，點(diǎn) P (3a, a)是反比例函數(shù) y= (k0)的圖象上與正方形的一個(gè)交點(diǎn).若圖中陰影部分的面積等于 9，則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為 _ .學(xué)習(xí)必備歡迎下載ky=-9、【2012?衢州】如圖，已知函數(shù) y=2x

11、 和函數(shù)的圖象交于 A、B 兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A 作 AE 丄 x 軸于點(diǎn) AOE 的面積為 4, P 是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，且以點(diǎn)B、0、E、P 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則滿足條件的 P 點(diǎn)坐標(biāo)是 P1 ( 0, - 4) P2 (- 4,- 4) P3 (4, 4).10、【2012 紹興】如圖，矩形 0ABC 的兩條邊在坐標(biāo)軸上， 0A=1,0C=2 ,現(xiàn)將此矩形向右平移, 每次平移 1個(gè)單位，若第 1 次平移得到的矩形的邊與反比例函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，它們的縱坐標(biāo) 之差的絕對(duì)值為 0.6,則第 n 次(n 1)平移得到的矩形的邊與該反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的縱k11、【2012?揚(yáng)州】如圖，雙

12、曲線 y= 經(jīng)過(guò) Rt OMN 斗邊上的點(diǎn) A,與直角邊 MN 相交于點(diǎn) B,已知 OA= 2AN OAB 的面積為 5,貝 U k 的值是_12_ .坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為14或6一5n(n 1) 5n(n 1)(用含 n 的代數(shù)式表示)學(xué)習(xí)必備歡迎下載13y=-12、【2012?蘭州】如圖，點(diǎn) A 在雙曲線：上，點(diǎn) B 在雙曲線 y=，上，且 AB / x 軸，C、D在 x 軸上，若四邊形 ABCD 為矩形，則它的面積為 _ 2_學(xué)習(xí)必備歡迎下載13、【012?蘭州】如圖，M 為雙曲線 y=，:上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) M 作 x 軸、y 軸的垂線，分別交直 線 y= x+ m于點(diǎn) D、C 兩點(diǎn)，若直線

13、 y= x + m 與 y 軸交于點(diǎn) A，與 x 軸相交于點(diǎn) B,則 AD?BC的值為_(kāi) 2員足：當(dāng)x0 時(shí)，y 隨 x 的增大而減小若該反比例函數(shù)的圖象與直線y= -X，、3k都經(jīng)過(guò)點(diǎn) p.7且P = J7，則實(shí)數(shù) k=_3_三、簡(jiǎn)答題1、【四川宜賓，21】如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)-3(x0)的圖象相交于 A 點(diǎn),x與 y 軸、x 軸分別相交于 B、C 兩點(diǎn)，且 C (2, 0).當(dāng) x -1 時(shí)，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值.(1)求一次函數(shù)的解析式;a3a設(shè)函數(shù) y2=x(x0)的圖象與 y1= -x(x0)的圖象上取一點(diǎn)xxxP ( P 點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于 2),過(guò) P 作 PQ 丄

14、 x 軸，垂足是 Q,若四邊形 BCQP 的面積等于 2,求 P 點(diǎn)的坐標(biāo).解：(1)Vx- 1 時(shí)，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值. A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1,二A(- 1, 3)設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b,因直線過(guò)AC則4|2k+b=3，解之得：i：=11，二一次函數(shù)解析式為y= -x+2 (2)vy2= (x0)的圖象與y1= -x(x0)/B點(diǎn)是直線y=-x+2 與y軸的交點(diǎn)，B(0, 2)設(shè)P(n,-) ,n2Sx【2011 四川成都，25,4 分】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知反比例函數(shù)2ky (k = 0)x滿學(xué)習(xí)必備歡迎下載四邊形5二P(21BCQP -SBOC=2 2(2 +31-

15、)-2 2 = 2 ,學(xué)習(xí)必備歡迎下載2、【甘肅蘭州，24】如圖，一次函數(shù)y=kx3的圖像與反比例函數(shù)y二田(x0)的圖像交x與點(diǎn) P, PUx軸于點(diǎn) A, PB 丄y軸于點(diǎn) B.一次函數(shù)的圖像分別交x軸、y軸于點(diǎn) C、點(diǎn) D,且(1) 求點(diǎn) D 的坐標(biāo)；(2)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式;(3) 根據(jù)圖像寫(xiě)出當(dāng) x 取何值時(shí)，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值?函數(shù)的值.y= ( k0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(2 , m),過(guò)點(diǎn) A 作 AB 丄 x 軸于點(diǎn) B ,且厶 AOB 的面積為(1) 求 k 和 m 的值；kSDBP=27,OC 1CA 2(1)由一次函數(shù)y =kx 3,當(dāng) x=0 時(shí)，y

16、=3，則點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(0, 3) .(2)可證DOSAPAC,OC 1得 AP=2DO=2X3=6 , 又可證四邊形 OBPA 是矩AP=0B=6,所以由CA 2BD=9,由11SDBP=BP BD BP 9=27,BP=6.所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為22(6,-6 ).所以y - -36.把點(diǎn)xP 的坐標(biāo)(6,3-6)代入y =kx - 3得-6=6k+3，得k，把點(diǎn)P的坐標(biāo)(26, -6)代入y=巴得 m=- 36,x所以一次函數(shù)3表達(dá)式為yx 3.反比例函數(shù)表達(dá)式為y2-36由圖象可知，當(dāng) x6 時(shí)一次函數(shù)的值小于反比例x3、【2011 浙江義烏】如圖，在直角坐標(biāo)系中,O 為坐標(biāo)原點(diǎn).已知

17、反比例函數(shù)學(xué)習(xí)必備歡迎下載x(2)點(diǎn) C (x, y)在反比例函數(shù) y=的圖象上，求當(dāng)k(3)過(guò)原點(diǎn) 0 的直線 I 與反比例函數(shù) y=的圖象交于 P、Q 兩點(diǎn)，試根據(jù)圖象直接寫(xiě)出線段PQ長(zhǎng)度的最小值.111 1 1(1) / A(2 , m)/ 0B=2 AB=m / SAAOB=2?OB?AB=2乂 xm=2m=2.點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(2,2)1k 1 k11把 A ( 2,2)代入 y=X，得2=2. k=1(2)丁當(dāng) x=1 時(shí)，y=1 ;當(dāng) x=3 時(shí)，y=3又T反比例函數(shù) y=X1在 x0 時(shí)，y 隨 x 的增大而減小，.當(dāng) 1x時(shí)，y 的取值范圍為3y 0)經(jīng)過(guò)邊xOB的中點(diǎn)C和A

18、E的中點(diǎn)D.已知等邊厶O(píng)AB勺邊長(zhǎng)為 4.(1)求該雙曲線所表示的函數(shù)解析式；求等邊AEF的邊長(zhǎng).K xw時(shí)函數(shù)值 y 的取值范圍;學(xué)習(xí)必備歡迎下載解：（1）過(guò)點(diǎn)c作CG丄OA于點(diǎn)G,v點(diǎn)C是等邊AOAB的邊OB的中點(diǎn)，二OC= 2，/AOB=60 ,-OG= 1 ,CG=m,.點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1 ,V-7），由5二=二，得：k=；,.該雙曲線所表示的函數(shù)解析式為y=；（2）過(guò)點(diǎn)D作DH丄AF于點(diǎn)H，設(shè)AH=a,貝UDH=.x點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4 +a,引，點(diǎn)D是雙曲線y=迪上的點(diǎn)，由xy= ；，得. ： |（4 +a）=； ,x即：a2+ 4a 1 = 0,解得：ai=v-； 2,a2=好三一 2

19、（舍去）,.AD= 2AH=2呂一 4,等邊AEF的邊長(zhǎng)是 2AD= 4， 8 .2【2012 泰安】如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與坐標(biāo)軸分別交于 代B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù) 丫 =衛(wèi)x的圖象在第二象限的交點(diǎn)為C, CDL x軸，垂足為D,若O號(hào) 2,OD4,AAOB勺面積為 1 . （1）求k一次函數(shù)與反比例的解析式；（2）直接寫(xiě)出當(dāng)x：0時(shí)，kx b 0的解集.1b _ -1k =解答：解: (1)VOB=2, AOB勺面積為 1.B(- 2, 0),OA=1, A(0, - 1) , 2,g+b芯 一1學(xué)習(xí)必備歡迎下載11my = x1又O=4,ODL X軸， 二(4,y)， 將x =

20、-4代入y = X1得y=1,二(4,) /1 =22-44km = -4，二y(2)當(dāng)x 0時(shí)，kx b0的解集是x：-4.Xx3、【2012?德陽(yáng)】已知一次函數(shù)y1=x+m的圖象與反比例函數(shù)x 1 時(shí)，屮y2；當(dāng) 0vxv1 時(shí)，y1 1 時(shí)，y1y2;當(dāng) 0vxv1 時(shí)，yvy2，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 1，代入反比例函數(shù) 解析式，彳=y，解得y=6，二點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，6），又點(diǎn)A在一次函數(shù)圖象上， 1+m=6，解得m=5，二一次函數(shù)的解析式為y1=x+5 ; （2） 第一象限內(nèi)點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為3，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為 3，.y= =2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2 ），過(guò)點(diǎn)C作CD/x 軸交直線AB于D

21、，則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為 2，.x+5=2，解得x= - 3，二點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，2 ），CD=3 -( - 3) =3+3=6 ，點(diǎn)A到CD的距離為 6 - 2=4，SzABC= S/ACD+SZBCD=-；X6X4+X6X3=12+9=214、【2012 南昌】如圖，等腰梯形ABCD置在平面坐標(biāo)系中，已知A（- 2，0）、B（ 6，0）、D（ 0， 3） ，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) C.（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式；的圖象交于A B兩點(diǎn).已知當(dāng)聯(lián)立卩二1心（舍去），I垃2二 &Vi，點(diǎn)B的6，- 1），點(diǎn)B到CD的距離為2 -( -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）將等腰梯形ABCD0上平移 2

22、個(gè)單位后，問(wèn)點(diǎn)B是否落在雙曲線上？解：(1)過(guò)點(diǎn)C作CE丄AB于點(diǎn)E,V四邊形ABCD是等腰梯形，二AD=BC,DO=CE,ZAOD也EC,.AO=BE=2,TB0=6 ,.DC=0E=4 ,.C(4 , 3);kk1 9設(shè)反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)= (k工 0)根據(jù)題意得：3=二解得k=12 ； 反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=；(2)將等腰梯形ABCD向上平移 2 個(gè)單位后得到梯形ABCD得點(diǎn)B 6, 2 ),故當(dāng)x=6 時(shí)，1 9y=2，即點(diǎn)B恰好落在雙曲線上.6【課后作業(yè)】一、填空題1.【2011 浙江金華，16 ,4 分】如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標(biāo)系中，B(2, 0),k/AOC

23、=60，點(diǎn)A在第一象限，過(guò)點(diǎn)A的雙曲線為y=-，在x軸上取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線I，以直線I為對(duì)稱(chēng)軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)稱(chēng)變換后的像是O B.(1)_ 當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是.(2) 設(shè)P( t, 0)當(dāng)O B與雙曲線有交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍是 _學(xué)習(xí)必備歡迎下載【答案】(1) (4, 0); ( 2) 4Wt25 或一2 季tW 442、 【2011 山東濱州，18, 4 分】若點(diǎn)A(m 2)在反比例函數(shù)y的圖像上，則當(dāng)函數(shù)值y一x2 時(shí)，自變量x的取值范圍是_.【答案】x023、 【2011 寧波市，18, 3 分】如圖，正方形ABRP2 的頂點(diǎn)R、R在反比例函數(shù)y=x(x0)的z.圖像上，頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，再在其右側(cè)作正方形P2RAB，頂點(diǎn)Ps 在反比2 一例函數(shù)y=-(x 0)的圖象上，頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，則點(diǎn)Ps 的坐標(biāo)為【答案】C. 3+ 1,3 1)24、 【2011 湖北荊州，16, 4 分】如圖，雙曲線y (x - 0)經(jīng)過(guò)四邊形OABC勺頂點(diǎn)A C,ZABCx=90,OC平分OA與x軸正半軸的夾角，AB/x軸，將ABC沿AC翻折后得到AB C, B，點(diǎn) 落在OA上，則四邊形OABC勺面積是_.【答案】2二、簡(jiǎn)答題學(xué)習(xí)必備歡迎下載k1、【2